コーシー列と有界数列の関係

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \leq \frac{2}{N}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。アルキメデスの性質より、それに対して、\begin{equation}\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left(3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad
\because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。すると先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であることが保証されます。実際、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq \frac{1}{n}\leq 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は有界です。実際、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立ちます。一方、この数列は振動列であるため収束しません。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は有界ではありません。実際、アルキメデスの性質より、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :n>x
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義よりこのとき、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x_{n}>x
\end{equation*}であり、したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界ではなく、有界でもありません。有界ではない数列はコーシー列ではないため\(\left\{x_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列の中に有限な実数へ収束するものが存在する。

一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{x_{n}\right\} \)が有界なコーシー列であることを示してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{3}}
\end{equation*}で与えられるものとします。この数列はコーシー列でしょうか。また、有界でしょうか。議論してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)はいずれもコーシー列であるものとします。さらに、ある正の定数\(a>0\)が存在して、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert y_{n}\right\vert \geq a
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまたコーシー列であることを証明してください。