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数列

コーシー列と有界数列の関係

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コーシー列は有界

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることとは、ある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくことを意味しますが、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right] \end{equation*}となります。コーシー列は有界であることが保証されます。

命題(コーシー列は有界)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である。
証明

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例(コーシー列は有界)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。これを示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \leq \frac{2}{N} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。そこで、\begin{equation}
\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\)を適当に選べば、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad
\because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。すると先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であることが保証されます。実際、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq \frac{1}{n}\leq 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。

 

有界な数列はコーシー列であるとは限らない

数列がコーシー列である場合、その点列は有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、有界な数列はコーシー列であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有界だがコーシー列ではない数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ですが収束しません。実際、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界である一方、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動するため収束しません。

 

数列がコーシー列ではないことの判定

コーシー列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない数列はコーシー列ではありません。したがって、数列が有界ではないことを証明できれば、その数列がコーシー列ではないことを示したことになります。

例(数列がコーシー列ではないことの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は有界ではありません。実際、アルキメデスの性質より、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :n>x
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義よりこのとき、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x_{n}>x
\end{equation*}であり、したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界ではなく、有界でもありません。有界ではない数列はコーシー列ではないため\(\left\{x_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。

 

演習問題

問題(有界なコーシー列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{x_{n}\right\} \)が有界なコーシー列であることを示してください。
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問題(有界なコーシー列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{3}}
\end{equation*}で与えられるものとします。この数列はコーシー列でしょうか。議論してください。

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