コーシー列と有界性

コーシー列は有界です。一方、有界な数列はコーシー列であるとは限りません。コーシー列が有界であるという事実は、後にコーシー列が収束することを示す上で重要な役割を果たします。
コーシー列  基本列  有界
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コーシー列は有界

コーシー列は有界です。実際、コーシー列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、ある正の実数\(\varepsilon >0\)を具体的に選ぶと、それに対して番号\(N\in \mathbb{N}\)が存在して、それ以上の任意の番号\(m,n\geq N\)について、\begin{equation*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。\(m\)は\(N\)以上の任意の番号であるため、\(m=N\)の場合にも上の不等式は成り立ちます。つまり、任意の番号\(n\geq N\)について、\begin{equation*}
\left\vert x_{N}-x_{n}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{N}-\varepsilon <x_{n}<x_{N}+\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。これは、数列\(\{x_{n}\}\)の第\(N\)項以降の項からなる部分列が有界であることを意味します。ちなみに、その上界は\(x_{N}+\varepsilon \)であり、下界は\(x_{N}-\varepsilon \)です。

数列\(\{x_{n}\}\)の残りの項、すなわち初項から第\(N-1\)項までの有限\(N-1\)個の項\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N-1}\)の中には最大値\(M\)と最小値\(m\)がそれぞれ存在します。したがって、\(\max \{x_{N}+\varepsilon ,\ M\}\)は数列\(\{x_{n}\}\)の上界であり、\(\min \{x_{N}-\varepsilon ,\ m\}\)は数列\(\{x_{n}\}\)の下界です。以上でコーシー列\(\{x_{n}\}\)が有界であることが示されました。

命題(コーシー列は有界)
コーシー列は有界である。
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例(コーシー列は有界)
一般項が\(x_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることは先に示しました。したがって上の命題より、この数列\(\{x_{n}\}\)は有界です。実際、この数列の任意の項は、例えば、\begin{equation*}
0\leq x_{n}=\frac{1}{2^{n}}\leq \frac{1}{2}
\end{equation*}を明らかに満たすため、この\(\{x_{n}\}\)は有界です。この結果は先の命題と整合的です。
例(コーシー列は有界)
一般項が\(x_{n}=\frac{1}{n^{2}}\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることは先に示しました。したがって上の命題より、この数列\(\{x_{n}\}\)は有界です。実際、この数列の任意の項は、例えば、\begin{equation*}
0\leq x_{n}=\frac{1}{n^{2}}\leq 1
\end{equation*}を明らかに満たすため、この\(\{x_{n}\}\)は有界です。この結果は先の命題と整合的です。

 

有界な数列はコーシー列であるとは限らない

上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、有界な数列はコーシー列であるとは限りません。

例(有界な数列はコーシー列であるとは限らない)
一般項が\(x_{n}=\left( -1\right) ^{n}\)で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)がコーシー列でないことは先に示しました。一方、この数列の任意の項は、\begin{equation*}
-1\leq x_{n}=\left( -1\right) ^{n}\leq 1
\end{equation*}を満たすため、この\(\{x_{n}\}\)は有界です。したがって、これは有界だがコーシー列ではない数列の例です。

コーシー列が有界であるという事実は、コーシー列の収束について考える際に重要な役割を果たします。

次回はコーシー列と収束列の関係について解説します。
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