確認テスト I（数列）

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調増加数列であるとともに、有限な実数へ収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right)}\right\} \)を持つものとします。この場合、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束することを示してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\sin \left( n\right)
\end{equation*}であるものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を持つことを証明してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ち、数列\(\left\{y_{n}\right\} \)は有界であるものとします。このとき、数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}y_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)が同じ極限\(L\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}=L
\end{equation*}が成り立つということです。数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
x_{n} & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
y_{n} & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ x_{1},y_{2},x_{3},y_{4},\cdots \right\}
\end{equation*}です。このとき、数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた\(L\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=L
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

以下の問いに答えてください。

1. 数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることの定義を述べてください（10点）。
2. 数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert <\frac{1}{2^{n}}\end{equation*}を満たすものとします。このとき、\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列であることを示してください。ただし、以下の事実\begin{equation*}\sum_{k=0}^{N}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{N+1}}{1-\left( \frac{1}{2}\right) }<2
   \end{equation*}を利用しても構いません（20点）。