カントールの縮小区間定理

実数の連続性を公理として認めるとき、そこから区間列に関するカントールの縮小区間定理という命題を示すことができます。これは、有界閉区間からなる単調減少列について、その区間の長さが 0 に収束する場合には、その区間列に属するすべての区間に属する実数は1つだけであるという主張です。
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カントールの縮小区間定理

以下の3つの性質を満たす実数空間\(\mathbb{R}\)上の区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)について考えます。1つ目の性質は、この区間列のすべての項が有界な閉区間であるということです。つまり、それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、この区間列の第\(n\)項である\(I_{n}\)は、\(a_{n}<b_{n}\)を満たす実数\(a_{n},b_{n}\in \mathbb{R}\)を用いて、\begin{eqnarray*}
I_{n} &=&\left[ a_{n},b_{n}\right] \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a_{n}\leq x\leq b_{n}\right\}
\end{eqnarray*}という形で表されるということです。2つ目の性質は、この区間列が減少列であるということ、すなわち、\begin{equation*}
I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。3つ目の性質は、この区間列の項である区間\(I_{n}\)の長さ\(b_{n}-a_{n}\)は、\(n\)が限りなく大きくなるにつれて\(0\)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( b_{n}-a_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。以上の3つの性質を満たす区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、その共通部分\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}
\end{equation*}は1点集合になります。言い換えると、このような区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)のすべての項の要素であるような実数が必ず1つだけ存在するということです。これをカントールの縮小区間定理(Cantor’s nested interval theorem)やカントールの共通部分定理(Cantor’s intersection theorem)、もしくはカントールの区間縮小法の原理などと呼びます。証明のスケッチは以下の通りです。

まず、以上の3つの条件を満たす区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素の候補を絞ります。\(\left\{ I_{n}\right\} \)の一般項\(I_{n}=\left[ a_{n},b_{n}\right] \)の端点である\(a_{n}\)と\(b_{n}\)をそれぞれ一般項とする数列\(\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} \)を構成すると、これらの数列の間には、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :a_{n}<b_{n}
\end{equation*}が成立します。さらに、\(\left\{ I_{n}\right\} \)は単調減少列であることから、\begin{equation*}
a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots \leq a_{n}\leq \cdots \leq b_{n}\leq
\cdots \leq b_{3}\leq b_{2}\leq b_{1}
\end{equation*}が成立します。つまり、\(\left\{ a_{n}\right\} \)は上に有界な単調増加列であり、\(\left\{ b_{n}\right\} \)は下に有界な単調減少列です。したがって、実数の連続性(単調有界数列の収束定理)より\(\left\{ a_{n}\right\} \)と\(\left\{ b_{n}\right\} \)はともに収束し、その極限は、\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} &=&\sup \left\{ a_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \tag{1} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n} &=&\inf \left\{ b_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \tag{2}
\end{eqnarray}となります。さらに、\begin{align*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }(b_{n}-a_{n})& =\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }b_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}\quad \because \text{収束する数列の差の極限} \\
& =\inf \left\{ b_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} -\sup \left\{ a_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{align*}となりますが、\(\left\{ I_{n}\right\} \)に関する3つ目の仮定よりこれは\(0\)と一致します。すなわち、\begin{equation*}
\inf \left\{ b_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} =\sup \left\{ a_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が成り立つということです。そこで、この実数を、\begin{equation*}
\alpha =\inf \left\{ b_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} =\sup \left\{ a_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}とおきます。この実数\(\alpha \)が\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素の候補です。実際に、\(\alpha \)が\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素であることを示しましょう。上限と下限の定義より、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
a_{n}\leq \sup \left\{ a_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} =\alpha =\inf \left\{ b_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \leq b_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\alpha \in \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}が成り立ちますが、これは\(\alpha \)が\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素であることに他なりません。

最後に、\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素が1つだけであることを示すために、\(\alpha \)とは異なる実数\(\beta \)が\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素であるものと仮定して矛盾を導きます。仮定より、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\beta \in \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :a_{n}\leq \beta \leq b_{n} \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。任意の項が定数\(\beta \)であるような数列\(\left\{ \beta \right\} \)に注目すると、その極限は明らかに\(\beta \)です。一方、数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)と\(\left\{ b_{n}\right\} \)がともに極限\(\alpha \)へ収束することと\(\left( 3\right) \)を踏まえると、はさみうちの定理より、数列\(\left\{ \beta \right\} \)もまた\(\alpha \)へ収束しますが、これは矛盾です。したがって、背理法より、\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素が1つだけであることが示されました。

命題(カントールの縮小区間定理)
実数空間\(\mathbb{R}\)における区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)が以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ I_{n}=\left[ a_{n},b_{n}\right] \\
&&\left( b\right) \ I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\left( b_{n}-a_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすならば、その共通部分\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}
\end{equation*}は1点集合である。
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縮小区間定理と実数の連続性

復習になりますが、実数の公理系とは、\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理に分類されます。特に、実数の連続性を特徴づける公理としてデデキントの公理を採用しましたが、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき以下の命題が成り立ちます。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の5つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理}
\end{eqnarray*}

上の命題より、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理としては、上の5つの性質の中のどれを採用しても問題ないことになります。加えて、連続性の公理は区間列を使って表現することも可能です。先に示したように、実数の連続性(有界単調数列の収束定理)を公理として認めるとき、カントールの縮小区間定理が証明可能です。実は、それとは逆に、カントールの縮小区間定理を公理として認めたとき、そこから実数の連続性を示すことができます。ただし、この証明にはアルキメデスの性質もまた必要です。アルキメデスの性質は実数の連続性から導かれる性質であるため、結局、カントールの縮小区間定理とアルキメデスの性質がともに成り立つことが実数の連続性と必要十分であるということになります。証明のスケッチは以下の通りです。

カントールの縮小区間定理とアルキメデスの性質が成り立つものと仮定した上で、実数の連続性の1つの表現である上限性質が成り立つことを示します。そこで、実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)のうち、非空かつ上に有界なものを任意に選びます。\(A\)の上限が存在することを示すことが目標です。まずは、\(A\)の上限となり得る実数の候補を絞ります。\(a_{1}\in A\)と\(b_{1}\in U\left( A\right) \)をそれぞれに任意に選びます。ただし、\(U\left( A\right) \)は\(A\)の上界からなる集合ですが、仮定より\(U\left( A\right) \)は非空であるため、先のような\(b_{1}\)をとることができます。続いて、以下のルール\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \frac{a_{1}+b_{1}}{2} &\in &U(A) \Rightarrow a_{2}=a_{1},\ b_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2} \\
\left( b\right) \ \frac{a_{1}+b_{1}}{2} &\not\in &U(A) \Rightarrow
a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2},\ b_{2}=b_{1}
\end{eqnarray*}のもとで\(a_{2}\)と\(b_{2}\)を選びます。いずれの場合にも\(a_{2}\in A\)かつ\(b_{2}\in U\left( A\right) \)が成り立つとともに、\(a_{1}\leq a_{2}\)かつ\(b_{2}\leq b_{1}\)もまた成り立ちます(確認してください)。上と同様のルールにより、すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \frac{a_{2}+b_{2}}{2} &\in &U(A) \Rightarrow a_{3}=a_{2},\ b_{3}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2} \\
\left( b\right) \ \frac{a_{2}+b_{2}}{2} &\not\in &U(A) \Rightarrow
a_{3}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2},\ b_{3}=b_{2}
\end{eqnarray*}というルールのもとで\(a_{3}\)と\(b_{3}\)を選んだとき、いずれの場合にも\(a_{3}\in A\)かつ\(b_{3}\in U\left( A\right) \)が成り立つとともに、\(a_{2}\leq a_{3}\)かつ\(b_{3}\leq b_{2}\)もまた成り立ちます。同様のプロセスを繰り返すことにより2つの数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)と\(\left\{ b_{n}\right\} \)を得ます。ただし、\(\left\{ a_{n}\right\} \)はそのすべての項が\(A\)の要素であるような単調増加数列であり、\(\left\{ b_{n}\right\} \)はすべての項が\(U\left( A\right) \)の要素で単調減少数列です。したがって、一般項が有界な閉区間\(I_{n}=\left[ a_{n},b_{n}\right] \)であるような区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)を作ると、これは単調減少列になります。さらに、任意の番号\(n\)について、\begin{equation*}
b_{n}-a_{n}=\frac{b_{n-1}-a_{n-1}}{2}=\frac{b_{n-2}-a_{n-2}}{2^{2}}=\cdots =\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{n-1}}
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると(確認してください)。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( b_{n}-a_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{b_{1}-a_{1}}{2^{n-1}}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、カントールの縮小区間定理より、すべての有界閉区間\(I_{n}\ \left( n\in \mathbb{N} \right) \)の要素である実数\(\alpha \in \mathbb{R}\)が1つだけ存在します。アルキメデスの性質を利用すると、この実数\(\alpha \)が先の集合\(A\)の上限であることが示されるため(演習問題にします)目標は達成されました。

命題(上限性質の言い換え)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、カントールの縮小区間定理とアルキメデスの性質がともに成り立つことと上限性質は必要十分である。
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以上の命題より、実数の連続性は以下の様な様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の6つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理} \\
&&\left( f\right) \ \text{カントールの縮小区間定理+アルキメデスの性質}
\end{eqnarray*}

次回は部分列について解説します。

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