ベルヌーイの不等式
整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ n^{z}\right\} =\left\{ 1^{z},2^{z},3^{z},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義することができます。
実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ c^{n}\right\} =\left\{ c^{1},c^{2},c^{3},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義することができます。
これらの数列の極限を判定するための準備として、まずは以下の命題を示します。これをベルヌーイの不等式（Bernoulli’s inequality）と呼びます。
指数が整数である場合の累乗の極限
整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ n^{z}\right\} =\left\{ 1^{z},2^{z},3^{z},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義することができます。
この数列の極限は\(z\)の値に応じて以下のように定まります。
\end{equation*}を定義する。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ z<0\text{ならば}\left\{ n^{z}\right\}
\text{は収束するとともに、}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{z}=0\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ z=0\text{ならば}\left\{ n^{z}\right\}
\text{は収束するとともに、}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{z}=1\text{が成り立つ} \\
&&\left( c\right) \ z>0\text{ならば}\left\{ n^{z}\right\}
\text{は発散するとともに、}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{z}=+\infty \text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\left\{ n^{-2}\right\} =\left\{ 1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(-2<0\)であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{-2}=0
\end{equation*}となります。
\left\{ n^{2}\right\} =\left\{ 1,4,9,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(2>0\)であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty
\end{equation*}となります。
累乗の極限
実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ c^{n}\right\} =\left\{ c^{1},c^{2},c^{3},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義することができます。
この数列の極限は\(c\)の値に応じて以下のように定まります。証明ではベルヌーイの不等式を利用します。
\end{equation*}を定義する。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left\vert c\right\vert <1\text{ならば}\left\{ c^{n}\right\} \text{は収束するとともに、}\lim_{n\rightarrow \infty }c^{n}=0\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ c=1\text{ならば}\left\{ c^{n}\right\}
\text{は収束するとともに、}\lim_{n\rightarrow \infty }c^{n}=1\text{が成り立つ} \\
&&\left( c\right) \ c\leq -1\text{ならば}\left\{
c^{n}\right\} \text{は振動する} \\
&&\left( d\right) \ c>1\text{ならば}\left\{ c^{n}\right\}
\text{は発散するとともに、}\lim_{n\rightarrow \infty }c^{n}=+\infty \text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\left\{ \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right\} =\left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(\left\vert \frac{1}{2}\right\vert <1\)であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}=0
\end{equation*}となります。
\left\{ \left( -\frac{1}{2}\right) ^{n}\right\} =\left\{ -\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(\left\vert -\frac{1}{2}\right\vert <1\)であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{2}\right) ^{n}=0
\end{equation*}となります。
\left\{ \left( -2\right) ^{n}\right\} =\left\{ -2,4,-8,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(-2\leq -1\)であるため、先の命題より、この数列は振動します。
\left\{ 2^{n}\right\} =\left\{ 2,4,8,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。\(2>1\)であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }2^{n}=+\infty
\end{equation*}となります。
