教材一覧
SEQUENCE OF NUMBERS

定数数列の極限

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

定数数列

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、ある実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=c
\end{equation*}という形で表すことができるとき、\(\left\{x_{n}\right\} \)を定数数列(constant sequence)や定数列などと呼びます。つまり、定数数列とはすべての項が等しい数列です。

定数数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を再帰的に表現する場合、実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=c \\
x_{n}=x_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(定数数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=5
\end{equation*}で与えられているとき、この\(\left\{ x_{n}\right\} \)は定数数列です。
例(定数数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\pi
\end{equation*}で与えられているとき、この\(\left\{ x_{n}\right\} \)は定数数列です。

 

定数数列の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は定数数列であるものとします。つまり、その一般項が、ある実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=c
\end{equation*}という形で表されるということです。\(\left\{x_{n}\right\} \)の項は常に一定の値\(c\)をとることを踏まえると\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(c\)へ収束しそうです。実際、これは正しい主張ですが、念のためイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に証明します。

命題(定数数列の極限)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、ある実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=c
\end{equation*}という形で表されるとき、この数列は有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=c
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(定数数列の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=5
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)は定数数列であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=5
\end{equation*}が成り立ちます。
例(定数数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\pi
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)は定数数列であるため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=\pi
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(定数数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が定数数列であることとは、その一般項が、ある実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=c
\end{equation*}という形で表されることを意味します。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n+1}=x_{n}
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が定数数列であるための必要十分条件であることを証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(定数数列の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項が、\begin{equation*}1,2,3,2,3,4,5,5,5,5,5,5,5,\cdots
\end{equation*}のように、ある項から先が定数になる場合、すなわち、\begin{equation*}
\exists c\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}=c\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、このような数列を eventually constant 数列と呼びます。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{N+n}=x_{N}
\end{equation*}が成り立つことは\(\left\{x_{n}\right\} \)が eventually constant 数列であるための必要十分条件であることを証明してください。さらに、eventually constant 数列は有限な実数へ収束することを証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は収束する数列の定数倍として定義される数列が収束することを示します。

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

数列