有界単調数列と実数の連続性

実数の連続性についての復習

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。

\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{15}\right) \)までは\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理であるため、これらを全順序体の公理と呼ぶこととします。一方、\(\left( R_{16}\right) \)はデデキントの公理と呼ばれますが、これは\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理です。

加えて、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認める場合、デデキントの公理は上限性質と必要十分であることを示しました。ただし、上限性質とは以下のような命題です。

加えて、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認める場合には、上限性質と下限性質は必要十分であることを示しました。ただし、下限性質とは以下のような命題です。

したがって、下限性質とデデキントの公理もまた必要十分になります。以上の議論を踏まえると以下を得ます。

つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理としてデデキントの公理、上限性質、そして下限性質の中のどれを採用しても問題ないこということです。以下では、単調増加数列の収束定理を用いて実数の連続性を表現することもできることを解説します。

上に有界な単調増加数列の収束定理と実数の連続性

実数の連続性の中でも上限性質を採用した場合、上に有界な単調増加数列は必ず収束することを示しました。具体的には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加かつ上に有界である場合、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は上に有界であるため、上限性質より上限\(\sup A\)に相当する有限な実数が存在しますが、この上限こそが数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限であることを示しました。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup A
\end{equation*}が成り立つということです。これを上に有界な単調増加数列の収束定理と呼ぶこととします。

実は、上の命題とは逆に、上に有界な単調増加数列の収束定理を公理として認めた場合、そこから上限性質を導くこともできます。

以上の2つの命題より、上に有界な単調増加数列の収束定理と上限性質は必要十分であることが明らかになりました。

実数の連続性の公理としての下に有界な単調減少数列の収束定理

下に有界な単調減少数列の収束定理と下限性質の間にも同様の関係が成り立ちます。

実数の連続性の中でも下限性質を採用した場合、下に有界な単調減少数列は必ず収束することを示しました。具体的には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少かつ下に有界である場合、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は下に有界であるため、下限性質より下限\(\inf A\)に相当する有限な実数が存在しますが、この下限こそが数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限であることを示しました。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf A
\end{equation*}が成り立つということです。これを下に有界な単調減少数列の収束定理と呼ぶこととします。

上の命題とは逆に、下に有界な単調減少数列の収束定理を公理として認めたとき、そこから下限性質を導くことができます。証明は先の命題と同様です。

以上の2つの命題より、下に有界な単調減少数列の収束定理と下限性質は必要十分であることが明らかになりました。

実数の連続性

上限性質や下限性質は実数の連続性を規定する公理として位置付けられますが、これまでの議論から明らかになったように、上限性質は上に有界な単調増加数列の収束定理と必要十分であり、下限性質は下に有界な単調減少数列の収束定理と必要十分です。したがって、実数の連続性は以下のような様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理として上の5つの命題の中のどれを採用しても問題ないこということです。

有界単調数列の収束定理によって\(\mathbb{R} \)の連続性が表現できるのであれば、連続性を満たさない\(\mathbb{Q} \)は有界単調数列の収束定理を満たさないはずです。つまり、有理数を項とする上に有界な単調増加数列は有限な有理数に収束するとは限らず、同様に、有理数を項とする下に有界な単調増加数列は有限な有理数に収束するとは限らないということです。実際、これは正しい主張です。

演習問題