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SEQUENCE OF NUMBERS

有界単調数列と実数の連続性

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復習:実数の連続性

復習になりますが、実数の公理系は\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理と\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理に分類されます。特に、実数の連続性を特徴づける公理としてデデキントの公理を採用しました。

公理(連続性の公理)
\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が成り立つことを公理として定める。

\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認めるとき、デデキントの公理は上限性質と必要十分であることを示しました。ただし、上限性質とは以下のような命題です。

命題(上限性質)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合、その上限\(\sup A\)に相当する有限な実数が存在する。

加えて、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認める場合には、上限性質と下限性質は必要十分であることを示しました。ただし、下限性質とは以下のような命題です。

命題(下限性質)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が下に有界である場合、その下限\(\inf A\)に相当する有限な実数が存在する。

したがって、下限性質とデデキントの公理もまた必要十分になります。すると以下の命題を得ます。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の3つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質}
\end{eqnarray*}

つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理としてデデキントの公理、上限性質、そして下限性質の中のどれを採用しても問題ないこということです。以下では、単調増加数列の収束定理を用いて実数の連続性を表現することもできることを解説します。

 

有界単調数列の収束定理と実数の連続性

復習になりますが、実数の連続性の中でも上限性質を採用したとき、上に有界な単調増加数列は必ず収束することが示されました。具体的には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加かつ上に有界である場合、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は上に有界であるため、上限性質より上限\(\sup A\)の存在が保証されますが、この上限こそが数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限であることを示しました。それとは逆に、上に有界な単調増加数列が収束することを公理として認めたとき、そこから上限性質を示すことができます。

命題(上限性質の言い換え)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、上に有界な単調増加数列が収束することと上限性質は必要十分である。
証明

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下に有界な単調減少数列が収束することと下限性質の間にも同様の関係が成り立ちます。証明の方針は上の命題と同様です。

命題(下限性質の言い換え)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、下に有界な単調減少数列が収束することと下限性質は必要十分である。

以上の諸命題より、実数の連続性は以下のような様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の5つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理}
\end{eqnarray*}

つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理として上の5つの命題の中のどれを採用しても問題ないこということです。

有界単調数列の収束定理によって\(\mathbb{R} \)の連続性が表現できるのであれば、連続性を満たさない\(\mathbb{Q} \)は有界単調数列の収束定理を満たさないはずです。つまり、有理数を項とする上に有界な単調増加数列は収束するとは限らず、同様に、有理数を項とする下に有界な単調増加数列は収束するとは限らないはずです。以下で確認しましょう。

例(有理数の非連続性)
無理数\(\sqrt{2}\)は以下の非循環小数\begin{equation*}\sqrt{2}=1.41421356\cdots
\end{equation*}として表現されます。そこで、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&1 \\
x_{2} &=&1.4 \\
x_{3} &=&1.41 \\
x_{4} &=&1.4142 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などと定義します。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項は有限小数であるため有理数です。加えて、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は明らかに上に有界な単調増加数列です。その一方で、この数列は\(\mathbb{Q} \)上の点に収束しません。なぜなら、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は\(\sqrt{2}\)であり(演習問題にします)、これは無理数だからです。したがって、\(\mathbb{Q} \)上において上に有界な単調増加数列の収束定理が成り立たないことが明らかになりました。

次回から区間列について学びます。

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