実数の連続性についての復習
実数の公理系は\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理と\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理に分類されます。特に、実数の連続性を特徴づける公理としてデデキントの公理を採用しました。
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が成り立つことを公理として定める。
\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認めるとき、デデキントの公理は上限性質と必要十分であることを示しました。ただし、上限性質とは以下のような命題です。
加えて、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認める場合には、上限性質と下限性質は必要十分であることを示しました。ただし、下限性質とは以下のような命題です。
したがって、下限性質とデデキントの公理もまた必要十分になります。以上の議論を踏まえると以下を得ます。
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質}
\end{eqnarray*}
つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理としてデデキントの公理、上限性質、そして下限性質の中のどれを採用しても問題ないこということです。以下では、単調増加数列の収束定理を用いて実数の連続性を表現することもできることを解説します。
上に有界な単調増加数列の収束定理と実数の連続性
実数の連続性の中でも上限性質を採用した場合、上に有界な単調増加数列は必ず収束することを示しました。具体的には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加かつ上に有界である場合、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は上に有界であるため、上限性質より上限\(\sup A\)に相当する有限な実数が存在しますが、この上限こそが数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限であることを示しました。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup A
\end{equation*}が成り立つということです。これを上に有界な単調増加数列の収束定理と呼ぶこととします。
実は、上の命題とは逆に、上に有界な単調増加数列の収束定理を公理として認めたとき、そこから上限性質を導くことができます。
以上の2つの命題より、上に有界な単調増加数列の収束定理と上限性質は必要十分であることが明らかになりました。
実数の連続性の公理としての下に有界な単調減少数列の収束定理
下に有界な単調減少数列の収束定理と下限性質の間にも同様の関係が成り立ちます。
実数の連続性の中でも下限性質を採用した場合、下に有界な単調減少数列は必ず収束することを示しました。具体的には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少かつ下に有界である場合、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は下に有界であるため、下限性質より下限\(\inf A\)に相当する有限な実数が存在しますが、この下限こそが数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限であることを示しました。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf A
\end{equation*}が成り立つということです。これを下に有界な単調減少数列の収束定理と呼ぶこととします。
上の命題とは逆に、下に有界な単調減少数列の収束定理を公理として認めたとき、そこから下限性質を導くことができます。証明は先の命題と同様です。
以上の2つの命題より、下に有界な単調減少数列の収束定理と下限性質は必要十分であることが明らかになりました。
実数の連続性
上限性質や下限性質は実数の連続性を規定する公理として位置付けられますが、これまでの議論から明らかになったように、上限性質は上に有界な単調増加数列の収束定理と必要十分であり、下限性質は下に有界な単調減少数列の収束定理と必要十分です。したがって、実数の連続性は以下のような様々な形で表現可能であることが明らかになりました。
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理}
\end{eqnarray*}
つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理として上の5つの命題の中のどれを採用しても問題ないこということです。
有界単調数列の収束定理によって\(\mathbb{R} \)の連続性が表現できるのであれば、連続性を満たさない\(\mathbb{Q} \)は有界単調数列の収束定理を満たさないはずです。つまり、有理数を項とする上に有界な単調増加数列は有限な有理数に収束するとは限らず、同様に、有理数を項とする下に有界な単調増加数列は有限な有理数に収束するとは限らないということです。実際、これは正しい主張です。
\end{equation*}として表現されます。そこで、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&1 \\
x_{2} &=&1.4 \\
x_{3} &=&1.41 \\
x_{4} &=&1.4142 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}と定義します。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項は有限小数であるため有理数です。加えて、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は明らかに上に有界な単調増加数列です。その一方で、この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の極限は無理数\(\sqrt{2}\)であり（演習問題）、この極限は有理数ではありません。このような数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が存在することは、\(\mathbb{Q} \)上では上に有界な単調増加数列の収束定理が成り立たないことを意味します。
演習問題
\end{equation*}として表現されます。そこで、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&1 \\
x_{2} &=&1.4 \\
x_{3} &=&1.41 \\
x_{4} &=&1.4142 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}と定義します。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を用いて、\(\mathbb{Q} \)が上に有界な単調増加数列の収束定理を満たさないことを示してください。
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}
\end{eqnarray*}として表すことができます。以上の事実を利用した上で、\(\mathbb{Q} \)が上に有界な単調増加数列の収束定理を満たさないことを示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】