ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

収束列の任意の部分列はもとの収束列と同じ極限に収束します。また、有界な数列に関しては、たとえそれが収束しない場合でも、必ず収束する部分列を持ちます。後者の性質をボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理と呼びます。
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収束する数列の部分列

ある数列が収束するとき、その任意の部分列もまたもとの数列と同じ極限に収束します。証明は以下の通りです。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するものとし、その極限を\(\alpha \in \mathbb{R}\)で表します。収束数列の定義より、これは、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :(n\geq N\ \Rightarrow \ |x_{n}-\alpha |<\varepsilon ) \tag{1}
\end{equation}が成り立つことを意味します。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を任意に選びます。部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義の単調増加関数であるため、上の番号\(N\)に対して、\begin{equation}
\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :(n>N_{1}\Rightarrow l\left( n\right) >N) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。以上より、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して番号\(N,N_{1}\in \mathbb{N} \)が存在して、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}
n\geq N_{1} &\Rightarrow &l\left( n\right) >N\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\left\vert x_{l\left( n\right) }-\alpha \right\vert
<\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)が極限\(\alpha \)へ収束することを意味します。

命題(収束する数列の部分列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するとき、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{l\left( n\right) }=\lim_{n\rightarrow \infty
}x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、数列の部分列の中に収束するものが存在する場合でも、もとの数列は収束するとは限りません。以下の例から明らかです。

例(収束する部分列を持つ数列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。この数列は振動するため収束しません。一方、この数列の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の中でも、一般項が、\begin{equation*}
x_{l\left( n\right) }=1
\end{equation*}で与えられるものに注目します。この部分列は極限\(1\)へ収束します。したがって、収束する部分列を持つ数列は収束するとは限らないことが明らかになりました。

 

部分列を利用した数列の収束判定条件

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する場合、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と同一の極限に収束します。この事実を踏まえると、数列の収束に関する様々な判定条件を導くことができます。まず、対偶より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列の中に収束しないものが存在する場合、その数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。

命題(数列が収束しないことの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束しない部分列を持つならば、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しない。
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したがって、与えられた数列が収束しないことを示すためには、収束しない部分列を見つければよいことになります。以下が具体例です。

例(数列が判定しないことの判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}+n
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。この数列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{equation*}
x_{l\left( n\right) }=1+n
\end{equation*}です。この部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)は明らかに正の無限大へ発散するため、収束しません。したがって、先の命題より、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する場合、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と同一の極限に収束します。したがって、対偶より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が異なる極限へ収束する複数の部分列を持つ場合、その数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。

命題(数列が収束しないことの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する複数の部分列を持ち、なおかつそれらの極限が異なるならば、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しない。
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したがって、与えられた数列が収束しないことを示すためには、異なる極限へ収束する複数の部分列を見つければよいということになります。以下が具体例です。

例(数列が判定しないことの判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{equation*}
x_{l\left( n\right) }=1+\frac{1}{n}
\end{equation*}です。この部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)は極限\(1\)へ収束します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{k\left( n\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{equation*}
x_{k\left( n\right) }=-1+\frac{1}{n}
\end{equation*}です。この部分列\(\left\{ x_{k\left( n\right) }\right\} \)は極限\(-1\)へ収束します。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は異なる極限へ収束する複数の部分列を持つため、先の命題より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することは分かっているものの、その極限が明らかになっていない状況を想定します。この場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列は\(\left\{ x_{n}\right\} \)と同一の極限に収束することが保証されているため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を求める代わりに、何らかの部分列の極限を求めてもよいことになります。

命題(収束する数列の極限を特定する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束し、なおかつその部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)が極限\(\alpha \in \mathbb{R}\)へ収束するならば、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限もまた\(\alpha \)である。
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つまり、数列が収束することが分かっている場合には、その極限を求めるために部分列の極限を特定してもよいということです。ちなみに、この条件はもとの数列が収束することが分かっている場合にのみ利用可能です。なぜなら、先に指摘したように、もとの数列が収束しない場合でもその部分列が収束することは有り得るからです。

 

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

収束する数列の任意の部分列は収束することが明らかになりましたが、収束しない数列の部分列の収束可能性に関してどのようなことが言えるでしょうか。一般に、収束しない数列に関しては、部分列が収束するケースと収束しないケースがともに起こり得ます。しかし、有界な数列に関しては、たとえそれが収束しない場合でも、必ず収束する部分列を持ちます。したがって、数列が与えられたとき、その数列が収束するかどうかが分からない場合でも、その数列が有界であることさえ保証できれば、その数列から収束する部分列を取り出すことができます。これをボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrauss thorem)と呼びます。証明のスケッチは以下の通りです。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であるものとします。この場合、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が存在して、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちます。この区間\(\left[ a,b\right] \)を\(\left[ a,\frac{a+b}{2}\right] \)と\(\left[ \frac{a+b}{2},b\right] \)に分割します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は無限個の項を持つため、先の2つの区間の少なくとも一方は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を要素として持つため、そのような区間を\(I_{1}=\left[ a_{1},b_{1}\right] \)で表記します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{1}\right) \ I\supset I_{1} \\
&&\left( b_{1}\right) \ b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}
\end{eqnarray*}がとも成り立ちます(確認してください)。区間\(I_{1}\)の要素である数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の要素の中から1つを任意に選び、それを\(x_{l\left( 1\right) }\in I_{1}\)で表記します。その上で、区間\(I_{1}\)を\(\left[ a_{1},\frac{a_{1}+b_{1}}{2}\right] \)と\(\left[ \frac{a_{1}+b_{1}}{2},b_{1}\right] \)に分割します。\(I_{1}\)には数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項が含まれるため、先の2つの区間の少なくとも一方は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を要素として持ちます。そこで、そのような区間を\(I_{2}=\left[ a_{2},b_{2}\right] \)で表記します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ I_{1}\supset I_{2} \\
&&\left( b_{2}\right) \ b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{2^{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます(確認してください)。区間\(I_{2}\)には数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項が含まれるため、\(l\left( 1\right) <l\left( 2\right) \)かつ\(x_{l\left( 2\right) }\in I_{2}\)を満たすような\(\left\{ x_{n}\right\} \)の要素を選ぶことができます。

以上のプロセスを繰り返すことにより、\begin{eqnarray}
&&I\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \cdots \supset I_{n}\supset \cdots
\tag{1} \\
&&b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}} \tag{2}
\end{eqnarray}を満たす区間列\(\left\{ I_{n}\right\} =\left\{ \left[ a_{n},b_{n}\right] \right\} \)と、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{l\left( n\right) }\in I_{n} \tag{3}
\end{equation}を満たす\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)が得られます。\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( b_{n}-a_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{b-a}{2^{n}}\right) =0 \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 4\right) \)のもとではカントールの縮小区間定理が適用できるため、区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)のすべての項に属する実数が1つだけ存在します。つまり、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :\alpha \in I_{n} \tag{5}
\end{equation}を満たす実数\(\alpha \in \mathbb{R}\)が1つだけ存在するということです。\(\left( 3\right) \)と\(\left( 5\right) \)より部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)は\(\alpha \)に収束するため(確認してください)、目標は達成されました。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
有界な数列は収束する部分列を持つ。
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例(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。この数列に関しては、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため有界です。したがって、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を持ちます。実際、一般項が\begin{equation*}
x_{l\left( n\right) }=1
\end{equation*}として与えられる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)は極限\(1\)へ収束します。

数列が有界でない場合にはボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を適用できません。つまり、有界でない数列に関しては、収束する部分列を持つ場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。

例(有界ではない数列の部分列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left[ \left( -1\right) ^{n}+1\right] n
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ではありません。この数列の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の中でも、一般項が、\begin{equation*}
x_{l\left( n\right) }=\left[ \left( -1\right) ^{2n+1}+1\right] \left(
2n+1\right)
\end{equation*}であるものに注目すると、この部分列は極限\(0\)に収束します。一方、一般項が、\begin{equation*}
y_{n}=n
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた有界ではありませんが、その任意の部分列は収束しません。

 

部分列と実数の連続性

復習になりますが、実数の公理系とは、\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理に分類されます。特に、実数の連続性を特徴づける公理としてデデキントの公理を採用しましたが、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき以下の命題が成り立ちます。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の6つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理} \\
&&\left( f\right) \ \text{カントールの縮小区間定理+アルキメデスの性質}
\end{eqnarray*}
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上の命題より、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理としては、上の6つの性質の中のどれを採用しても問題ないことになります。加えて、連続性の公理は部分列を使って表現することも可能です。先に示したように、カントールの縮小区間定理を利用することでボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を示すことができます。実は、それとは逆に、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理からカントールの縮小区間定理を示すことができます。したがって、カントールの縮小区間定理とボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理は必要十分であるため、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理とアルキメデスの性質がともに成り立つことが実数の連続性と必要十分であるということになります。証明のスケッチは以下の通りです。

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理からカントールの縮小区間定理を導きます。そこで、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ I_{n}=\left[ a_{n},b_{n}\right] \\
&&\left( b\right) \ I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\left( b_{n}-a_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)を任意に選びます。\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :a_{1}<b_{n}\leq b_{1}
\end{equation*}が成り立つため、数列\(\left\{ b_{n}\right\} \)は有界です。したがって、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、\(\left\{ b_{n}\right\} \)は収束する部分列\(\left\{ b_{l\left( n\right) }\right\} \)を持ちます。このとき、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :\lim_{n\rightarrow \infty }b_{l\left( n\right) }\leq b_{n} \tag{1}
\end{equation}が成り立つことを示すために、上の命題が成り立たないものと仮定して、すなわち、\begin{equation}
\exists m\in \mathbb{N} :\lim_{n\rightarrow \infty }b_{l\left( n\right) }>b_{m} \tag{2}
\end{equation}が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。\(\left( b\right) \)より\(\left\{ b_{n}\right\} \)は単調減少列であることを踏まえると、\(k\geq m\)を満たす任意の番号\(k\)について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }b_{l\left( n\right) } &>&b_{m}\quad \because
\left( 2\right) \\
&\geq &b_{l\left( m\right) }\quad \because l\left( m\right) \geq m \\
&\geq &b_{l\left( k\right) }\quad \because k\geq m
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(k\geq m\)を満たす任意の番号\(k\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert b_{l\left( k\right) }-\lim_{n\rightarrow \infty }b_{l\left(
n\right) }\right\vert &=&\lim_{n\rightarrow \infty }b_{l\left( n\right)
}-b_{l\left( k\right) } \\
&\geq &\lim_{n\rightarrow \infty }b_{l\left( n\right) }-b_{m} \\
&>&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは部分列\(\left\{ b_{l\left( n\right) }\right\} \)が収束することと矛盾です。したがって\(\left( 2\right) \)は成り立たず、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。再び\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)と\(\left\{ b_{n}\right\} \)の間には、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :a_{n}<b_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left\{ b_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ b_{l\left( n\right) }\right\} \)についても、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :a_{n}<b_{l\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。すると、極限について、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :a_{n}<\lim_{n\rightarrow \infty }b_{l\left( n\right) } \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :a_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }b_{l\left( n\right) }\leq b_{n}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }b_{l\left( n\right) }\)が区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)のすべての項の要素であることを意味します。さらにこのような要素は一意的であるため(確認してください)、カントールの縮小区間定理が成り立つことが示されました。

命題(カントールの縮小区間定理の言い換え)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、カントールの縮小区間定理とボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理は必要十分である。
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以上の命題より、実数の連続性は以下の様な様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の7つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理} \\
&&\left( f\right) \ \text{カントールの縮小区間定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( g\right) \ \text{ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理+アルキメデスの性質}
\end{eqnarray*}
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次回はコーシー列について学びます。

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