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SEQUENCE OF NUMBERS

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

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収束する数列の部分列

ある数列が有限な実数へ収束するとき、その任意の部分列もまたもとの数列と同じ極限に収束します。

命題(収束する数列の部分列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束するとき、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{l\left( n\right) }=\lim_{n\rightarrow \infty
}x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、数列の部分列の中に有限な収束するものが存在する場合でも、もとの数列は収束するとは限りません。以下の例から明らかです。

例(収束する部分列を持つ数列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。この数列は振動するため収束しません。一方、この数列の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の中でも、一般項が、\begin{equation*}x_{l\left( n\right) }=1
\end{equation*}で与えられるものに注目します。この部分列は定数数列であるため有限な実数\(1\)へ収束します。したがって、収束する部分列を持つ数列は収束するとは限らないことが明らかになりました。

 

部分列を利用した数列の収束判定

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する場合、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまたもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と同一の極限に収束します。この事実を踏まえると、数列の収束に関する様々な判定条件を導くことができます。まず、対偶より、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分列の中に有限な実数へ収束しないものが存在する場合、もとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束しません。

命題(数列が収束しないことの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束しない部分列を持つならば、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しない。

上の命題より、与えられた数列が収束しないことを示すためには、有限な実数へ収束しない部分列を見つければよいことになります。以下が具体例です。

例(数列が判定しないことの判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}+n
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。この数列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&x_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n}+n \\
&=&1+n
\end{eqnarray*}です。この部分列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} \)は明らかに正の無限大へ発散するため有限な実数へは収束しません。したがって、先の命題より、もとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)もまた有限な実数へは収束しません。

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する場合、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまたもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と同一の極限に収束します。したがって、対偶より、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する複数の部分列持つとともにそれらの極限が異なる場合、もとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は収束しません。

命題(数列が収束しないことの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する複数の部分列を持ち、なおかつそれらの極限が異なるならば、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束しない。

上の命題より、与えられた数列が有限な実数へ収束しないことを示すためには、異なる極限へ収束する複数の部分列を見つければよいということになります。以下が具体例です。

例(数列が判定しないことの判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&x_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n}+\frac{1}{2n} \\
&=&1+\frac{1}{2n}
\end{eqnarray*}です。この部分列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} \)は有限な実数\(1\)へ収束します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{k\left( n\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{k\left( n\right) } &=&x_{2n-1} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n-1}+\frac{1}{2n-1} \\
&=&-1+\frac{1}{2n-1}
\end{eqnarray*}です。この部分列\(\left\{x_{k\left( n\right) }\right\} \)は有限な実数\(-1\)へ収束します。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は異なる極限へ収束する複数の部分列を持つため、先の命題より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な収束しません。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することは分かっているものの、その極限が明らかになっていない状況を想定します。この場合、この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の部分列は\(\left\{ x_{n}\right\} \)と同一の極限に収束することが保証されているため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を求めるかわりに、何らかの部分列の極限を求めてもよいことになります。

命題(収束する数列の極限を特定する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束し、なおかつその部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)が極限\(a\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限もまた\(\alpha \)である。

つまり、数列が収束することが分かっている場合には、その極限を求めるために部分列の極限を特定してもよいということです。ちなみに、この条件はもとの数列が収束することが分かっている場合にのみ利用可能です。なぜなら、先に指摘したように、もとの数列が収束しない場合でもその部分列が収束することは有り得るからです。

 

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

収束する数列の任意の部分列は収束することが明らかになりましたが、収束しない数列の部分列の収束可能性に関してどのようなことが言えるでしょうか。一般に、収束しない数列に関しては、部分列が収束するケースと収束しないケースがともに起こり得ます。しかし、有界な数列に関しては、たとえそれが収束しない場合でも、必ず収束する部分列を持つことが保証されます。これをボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrauss thorem)と呼びます。証明には実数の連続性(カントールの縮小区間定理)が必要です。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
有界な数列は有限な実数へ収束する部分列を持つ。
証明

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以上の命題より、数列が与えられたとき、その数列が有限な実数へ収束するかどうかが分からない場合でも、その数列が有界であることさえ保証できれば、その数列から有限な実数へ収束する部分列を取り出すことができることが保証されます。

例(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は有界です。実際、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つからです。したがって、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する部分列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} \)を持ちます。実際、一般項が\begin{equation*}x_{l\left( n\right) }=1
\end{equation*}として与えられる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)は定数数列であるため有限な実数\(1\)へ収束します。

有界ではない数列に対してボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を適用することはできません。つまり、有界でない数列は、有限な実数へ収束する部分列を持つとは限らないということです。

例(有界ではない数列の部分列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left[ \left( -1\right) ^{n}+1\right] n
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は有界ではありません。この数列の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&x_{2n+1} \\
&=&\left[ \left( -1\right) ^{2n+1}+1\right] \left( 2n+1\right)
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。この部分列は有限な実数\(0\)へ収束します。これは有限な実数へ収束する部分列を持つ非有界な数列の例です。
例(有界ではない数列の部分列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は有界ではありません。この数列の任意の部分列は収束しません。この数列の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を任意に選ぶと、その一般項は、\begin{equation*}x_{l\left( n\right) }=l\left( n\right)
\end{equation*}となりますが、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義の単調増加関数であるため、\(\left\{ x_{l\left(n\right) }\right\} \)は正の無限大へ発散し、したがって有限な実数へは収束しません。これは有限な実数へ収束する部分列を持たない非有界な数列の例です。

次回は部分列と実数の連続性の関係について解説します。

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DISCUSSION

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