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点列コンパクト集合

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点列コンパクト集合

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。その上で、\(A\)の点を項とする数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このような任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(A\)の点に収束する部分列を持つならば、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{l\left( n\right) }\in A
\end{equation*}を満たす部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)が存在する場合には、\(A\)を\(\mathbb{R}\)上の点列コンパクト集合(sequentially compact set)と呼びます。

例(点列コンパクト集合)
\(\mathbb{R}\)上の有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が点列コンパクト集合であることを示します。この区間\(\left[ a,b\right] \)を\(\left[ a,\frac{a+b}{2}\right] \)と\(\left[ \frac{a+b}{2},b\right] \)に分割します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\left[ a,b\right] \)の無限個の項を持つため、先の2つの区間の少なくとも一方は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を要素として持つため、そのような区間を\(I_{1}=\left[ a_{1},b_{1}\right] \)で表記します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( A_{1}\right) \ I_{1}\subset \left[ a,b\right] \\
&&\left( B_{1}\right) \ b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます(確認してください)。区間\(I_{1}\)の要素である数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項を1つ任意に選び、それを\(x_{l\left( 1\right) }\in I_{1}\)で表記します。その上で、区間\(I_{1}\)を\(\left[ a_{1},\frac{a_{1}+b_{1}}{2}\right] \)と\(\left[ \frac{a_{1}+b_{1}}{2},b_{1}\right] \)に分割します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\left[ a_{1},b_{1}\right] \)の無限個の項を持つため、先の2つの区間の少なくとも一方は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を要素として持つため、そのような区間を\(I_{2}=\left[ a_{2},b_{2}\right] \)で表記します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( A_{2}\right) \ I_{2}\subset I_{1}\subset \left[ a,b\right] \\
&&\left( B_{2}\right) \ b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{2^{2}}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます(確認してください)。区間\(I_{2}\)には数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項が含まれているため、\(l\left( 1\right) <l\left( 2\right) \)かつ\(x_{l\left( 2\right) }\in I_{2}\)を満たすような\(\left\{ x_{n}\right\} \)の要素を選ぶことができます。以上のプロセスを繰り返すことにより、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \cdots \subset I_{n}\subset \cdots \subset I_{2}\subset
I_{1}\subset \left[ a,b\right] \\
&&\left( B\right) \ b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}
\end{eqnarray*}を満たす区間列\(\left\{ I_{n}\right\} =\left\{ \left[ a_{n},b_{n}\right] \right\} \)と、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{l\left( n\right) }\in I_{n} \quad\cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)が得られます。\(\left( B\right) \)より、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( b_{n}-a_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{b-a}{2^{n}}\right) =0 \quad\cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。これと\(\left( A\right) \)よりカントールの区間縮小定理が適用できるため、ある実数\(\alpha \in \mathbb{R}\)が存在して、\begin{equation}
\alpha \in \bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }I_{n} \quad\cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)は有界な単調増加数列、\(\left\{ b_{n}\right\} \)は有界な単調減少数列であるため、有界な単調数列の収束定理よりこれらはともに収束しますが、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)より、これらの数列の極限はともに\(\alpha \)です。以上の事実と\(\left( 3\right) \)、そしてはさみうちの定理より、部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた\(A\)の点である\(\alpha \)に収束することが示されました。

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が点列コンパクト集合であるためには、\(A\)の要素を項として持つ「任意の」数列に対して、それが\(A\)の要素へ収束する部分列を持つことを示す必要があります。\(A\)の要素を項として持つ数列の中に、\(A\)の要素へ収束する部分列を持つものが「存在する」ことを示しただけでは不十分です。逆に、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が点列コンパクトでないことを示すためには、\(A\)の要素を項として持つ数列の中に、\(A\)の要素へ収束する部分列を持たないものが存在することを示せばよいということになります。以下の例から明らかであるように、\(\mathbb{R}\)の部分集合は点列コンパクトであるとは限りません。

例(点列コンパクト集合)
\(\mathbb{R}\)自身は\(\mathbb{R}\)の部分集合であるため、\(\mathbb{R}\)が点列コンパクト集合であるか否かを検討できます。\(\mathbb{R}\)は点列コンパクト集合ではありません。実際、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}=n
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目したとき、これは上に有界ではないため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列は収束しません。

 

コンパクト集合と点列コンパクト集合の関係

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合が点列コンパクト集合であることの意味を定義した上で、その具体例として、\(\mathbb{R}\)上の有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が点列コンパクトであることを示しました。有界な閉区間は\(\mathbb{R}\)上の有界な閉集合ですが、一般に、有界な閉集合もまた点列コンパクトです。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が有界な閉集合であるものとします。\(A\)が有界であることから、\begin{equation*}
A\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}を満たす有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が存在します。先に示したように\(\left[ a,b\right] \)は点列コンパクト集合です。したがって、\(A\)の要素を項とする数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の要素は点列コンパクト集合\(\left[ a,b\right] \)の要素でもあるため、点列コンパクト集合の定義より、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\left[ a,b\right] \)の点に収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を持ちます。同時に、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は閉集合\(A\)の要素を項とする数列であるため、その部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた\(A\)の要素を項とする数列です。つまり、\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)は閉集合\(A\)の要素を項とする収束数列であるため、閉集合の定義より、\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の極限もまた\(A\)の点です。したがって\(A\)は点列コンパクトです。

命題(有界な閉集合は点列コンパクト集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R}\)上の有界な閉集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R}\)上の点列コンパクト集合である。
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実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R}\)上の点列コンパクト集合は有界な閉集合です(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(点列コンパクト集合は有界な閉集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R}\)上の点列コンパクト集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R}\)上の有界な閉集合である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

以上の2つの命題により、\(\mathbb{R}\)の部分集合が点列コンパクトであることと、その集合が\(\mathbb{R}\)上の有界な閉集合であることが必要十分になりました。さらに、\(\mathbb{R}\)の部分集合が有界な閉集合であることと、その集合が\(\mathbb{R}\)上のコンパクト集合であることは必要十分であるため、以下の命題が成り立ちます。

命題(コンパクト性の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の3つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\text{は}\mathbb{R}\text{上のコンパクト集合である} \\
&&\left( b\right) \ A\text{は}\mathbb{R}\text{上の有界な閉集合である} \\
&&\left( c\right) \ A\text{は}\mathbb{R}\text{上の点列コンパクト集合である}
\end{eqnarray*}
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次回はコンパクト集合どうしの集合演算について解説します。

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