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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

境界点・境界

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境界点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の任意の近傍が\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left[ \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\cap A\not=\phi \wedge \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の境界点(frontier point)と呼びます。つまり、点\(a\)を中心とする任意の有界開区間が\(A\)と\(A^{c}\)の双方と交わるのであれば\(a\)は\(A\)の境界点です。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の境界点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立ちます。\(\left(A^{c}\right) ^{c}=A\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A^{c}\)の境界点であることを意味します。つまり、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分です。

命題(集合と補集合は境界点を共有する)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分である。

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と必要十分です。したがって、\(a\)が\(A\)の境界点でないことは上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}=\phi \vee
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}=\phi \right] \end{equation*}が成り立つこととして表現されます。さらに、集合\(X,Y\)について\(X\subset Y\)と\(X\cap Y^{c}=\phi \)は必要十分であることを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\subset A\vee
N_{\varepsilon }(a)\subset A^{c}\right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは\(a\)が\(A\)の内点または外点であることを意味します。つまり、\(a\)が\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることと必要十分です。

命題(内点・外点・境界点の関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点でないことと、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることは必要十分である。

上の命題より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A\)の内点と外点のどちらでもないことは必要十分です。つまり、\(\mathbb{R} \)のある点が\(A\)の内点や外点でないことが分かっている場合、その点が\(A\)の境界点であることが保証されます。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内点は常に\(A\)の点であり、外点は常に\(A^{c}\)の点である一方、\(A\)の境界点については、それが\(A\)の点である場合と\(A^{c}\)の点である場合の両方が可能性として起こり得ます。以下の例から明らかです。

例(有界開区間の境界点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。\(\left( a,b\right) \)の内部は\(\left( a,b\right) \)であり外部は\(\left[ a,b\right] ^{c}\)であるため、先の命題より、\(\left( a,b\right) \)の境界点は\(\left( a,b\right) \)と\(\left[ a,b\right] ^{c}\)のどちらにも属さない点、すなわち点\(a,b\)です。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。\(\left(a,b\right) \)の内点や外点が\(\left(a,b\right) \)の境界点でないことは定義から明らかです。点\(a\)については、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、その近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、これは\(\left( a,b\right) \)と\(\left( a,b\right) ^{c}\)の双方と交わるため(演習問題にします)、やはり\(a\)は\(\left( a,b\right) \)の境界点です。点\(b\)については、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、その近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( b\right) =\left( b-\varepsilon ,b+\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、これは\(\left( a,b\right) \)と\(\left( a,b\right) ^{c}\)の双方と交わるため(演習問題にします)、やはり\(b\)は\(\left( a,b\right) \)の境界点です。したがって、\(\left( a,b\right) \)のすべての境界点からなる集合は\(\left\{ a,b\right\} \)です。つまり、\(\left( a,b\right) \)は自身の境界点を要素として持たない\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。
例(有界閉区間の境界点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\left[ a,b\right] \)の内部は\(\left( a,b\right) \)であり外部は\(\left[ a,b\right] ^{c}\)であるため、先の命題より、\(\left[ a,b\right] \)の境界点は\(\left( a,b\right) \)と\(\left[ a,b\right] ^{c}\)のどちらにも属さない点、すなわち点\(a,b\)です。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。\(\left[ a,b\right] \)の内点や外点が\(\left[ a,b\right] \)の境界点でないことは定義から明らかです。点\(a\)については、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、その近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、これは\(\left[ a,b\right] \)と\(\left[ a,b\right] ^{c}\)の双方と交わるため(演習問題にします)、やはり\(a\)は\(\left[ a,b\right] \)の境界点です。点\(b\)については、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、その近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( b\right) =\left( b-\varepsilon ,b+\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、これは\(\left[ a,b\right] \)と\(\left[ a,b\right] ^{c}\)の双方と交わるため(演習問題にします)、やはり\(b\)は\(\left[ a,b\right] \)の境界点です。したがって、\(\left[ a,b\right] \)のすべての境界点からなる集合は\(\left\{ a,b\right\} \)です。つまり、\(\left[ a,b\right] \)は自身の境界点を要素として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。
例(有理数空間の境界点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\mathbb{Q} \)は内点や外点を持たないため、先の命題より、\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{Q} \)の境界点です。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、有理数の稠密性より\(N_{\varepsilon}\left( x\right) \)の中には有理数が存在し、無理数の稠密性より\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には無理数が存在するため、\(N_{\varepsilon }\left(x\right) \)は\(\mathbb{Q} \)およびその補集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の双方と交わることが保証されます。したがって\(x\)は\(\mathbb{Q} \)の境界点です(演習問題にします)。\(\mathbb{Q} \)のすべての境界点からなる集合は\(\mathbb{R} \)です。
例(無理数空間の境界点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は内点や外点を持たないため、先の命題より、\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の境界点です。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、無理数の稠密性より\(N_{\varepsilon}\left( x\right) \)の中には無理数が存在し、有理数の稠密性より\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には有理数が存在するため、\(N_{\varepsilon }\left(x\right) \)は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)およびその補集合\(\mathbb{Q} \)の双方と交わることが保証されます。したがって\(x\)は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の境界点です(演習問題にします)。\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)のすべての境界点からなる集合は\(\mathbb{R} \)です。
例(実数空間の境界点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\mathbb{R} \)の内部は\(\mathbb{R} \)であり、\(\mathbb{R} \)は外点を持ちません。したがって先の命題より\(\mathbb{R} \)は境界点を持ちません。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)と交わる一方、その補集合である空集合\(\phi \)とは交わらないため、\(x\)は\(\mathbb{R} \)の境界点ではありません。\(\mathbb{R} \)の境界点は存在しません。

 

境界

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界(frontier)と呼び、\begin{equation*}A^{f},\quad \partial A
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{f} &\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon
}(a)\cap A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \\
&\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:\left[ \left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \cap A\not=\phi \wedge \left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \cap A^{c}\not=\phi \right] \end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分です。したがって以下が成り立ちます。

命題(集合と補集合は境界を共有する)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}が成り立つ。

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点でないことと、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることは必要十分であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash A^{f}=A^{i}\cup A^{e}\end{equation*}という関係が成り立ちます。加えて、集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるため、\(A^{i}\)と\(A^{e}\)は交わりません。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} \)は\(A\)の内部、外部、境界に分割することができ、なおかつそれら3つの集合が互いに交わらないことが保証されます。

命題(内部・外部・境界の関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(\mathbb{R} \)は\(A\)の内部、外部、そして境界に分割される。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathbb{R} =A^{i}\cup A^{e}\cup A^{f} \\
&&\left( b\right) \ A^{i}\cap A^{e}=\phi \wedge A^{i}\cap A^{f}=\phi \wedge
A^{e}\cap A^{f}=\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
証明

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上の命題より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(\mathbb{R} \)上の点として定義することもできます。同じことですが、\(A\)の境界を\(A\)の内部と外部の和集合の補集合\(\left(A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}\)と定義することもできます。以前に指摘したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部や外部はいずれも\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、\(\mathbb{R} \)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能な概念ということになります。

例(有界開区間の境界)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(\left( a,b\right) \)のすべての境界点からなる集合は\(\left\{ a,b\right\} \)であるため、\begin{equation*}\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}となります。
例(有界閉区間の境界)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(\left[ a,b\right] \)のすべての境界点からなる集合は\(\left\{ a,b\right\} \)であるため、\begin{equation*}\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}となります。
例(有理数空間の境界)
先に確認したように、任意の実数は有理数空間\(\mathbb{Q} \)の境界点であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{f}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。この例が示唆するように、一般に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して\(A^{f}\subset A\)や\(A\subset A^{f}\)などの関係は成り立つとは限りません。
例(無理数空間の境界)
先に確認したように、任意の実数は無理数空間\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の境界点であるため、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{f}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。
例(実数空間の境界)
先に確認したように、実数空間\(\mathbb{R} \)は境界点を持たないため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{f}=\phi \end{equation*}となります。

 

境界は閉集合

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} \)は\(A\)の内部・外部・境界に分割されることから、\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、それらの和集合\(A^{i}\cup A^{e}\)もまた開集合です。したがって、その補集合\(\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}\)と一致する境界\(A^{f}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

命題(境界は閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その境界\(A^{f}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合である。

 

境界を用いた閉集合の定義

先に例を通じて確認したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について\(A^{f}\subset A\)や\(A\subset A^{f}\)などは成り立つとは限りません。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{f}\subset A\)という関係が成り立ちます。つまり\(A\)の任意の境界点が\(A\)の要素であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることは必要十分です。

命題(境界による閉集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。
証明

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演習問題

問題(有界開区間の境界)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}が成り立つことを境界の定義から証明してください。
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問題(有界閉区間の境界)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}が成り立つことを境界の定義から証明してください。
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問題(有理数空間の境界)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{f}=\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを境界の定義から証明してください。
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問題(有理数空間の境界)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{f}=\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを境界の定義から証明してください。
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次回は境界を用いて閉集合であることを判定する方法について解説します。

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境界を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の境界が A の部分集合であることは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の境界が A の部分集合であれば A は閉集合であり、A の境界が A の部分集合でなければ A は閉集合ではありません。

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ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。

DISCUSSION

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