境界点・境界
実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある\(\mathbb{R} \)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}です。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の任意の近傍が集合\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left[ \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\cap A\not=\phi \wedge \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の境界点（frontier point）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素と\(A^{c}\)の要素の双方が存在することを意味します。
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界（frontier）と呼び、\begin{equation*}A^{f},\quad \partial A
\end{equation*}などで表記します。任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{f} &\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon
}(x)\cap A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(x)\cap A^{c}\not=\phi \right]
\quad \because \text{境界の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:\left[ \left( x-\varepsilon
,x+\varepsilon \right) \cap A\not=\phi \wedge \left( x-\varepsilon
,x+\varepsilon \right) \cap A^{c}\not=\phi \right] \quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の境界点\(a\in A^{f}\)が与えられたとき、境界点の定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(A^{c}\right) ^{c}=A\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A^{c}\)の境界点であること、すなわち\(a\in \left( A^{c}\right) ^{f}\)であることを意味します。以上より、\begin{equation*}a\in A^{f}\Leftrightarrow a\in \left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{f}=\left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A\)の補集合の境界点であることは必要十分です。集合\(A\)とその補集合\(A^{c}\)は同一の境界を共有するということです。したがって、集合\(A\)の境界を特定する代わりにその補集合\(A^{c}\)の境界を特定しても問題はありません。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{f}\)は\(A\)の境界であり、\(A^{c}\)は\(A\)の補集合である。
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であること、すなわち\(a\in A^{f}\)が成り立つことは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の境界点でないこと、すなわち\(a\in \left( A^{f}\right) ^{c}\)が成り立つことは、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}=\phi \vee
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。さらに、任意の集合\(X,Y\)について、\begin{equation*}X\cap Y^{c}=\phi \Leftrightarrow X\subset Y
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\subset A\vee
N_{\varepsilon }(a)\subset A^{c}\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(a)\subset A\right) \vee
\left( \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(a)\subset A^{c}\right)
\end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A\)の内点または外点であること、すなわち\(a\in A^{i}\cup A^{e}\)であることを意味します。以上より、\begin{equation*}a\in \left( A^{f}\right) ^{c}\Leftrightarrow a\in A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることと必要十分です。言い換えると、\(A\)の境界の補集合は\(A\)の内部と外部の和集合と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{e}\)は\(A\)の外部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。
上の命題を踏まえると、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}もまた成立します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の境界点であることと、点\(a\)が集合\(A\)の内点と外点のどちらでもないことは必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点や外点ではない場合、その点\(a\)は集合\(A\)の境界点であることが保証されます。言い換えると、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(\mathbb{R} \)上の点として定義できます。
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内点は常に\(A\)の点であり、\(A\)の外点は常に\(A^{c}\)の点です。つまり、\begin{eqnarray*}A^{i} &\subset &A \\
A^{e} &\subset &A^{c}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。一方、集合\(A\)の境界点については、それが\(A\)の点である場合と\(A^{c}\)の点である場合の双方が起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。\(\left( a,b\right) \)の境界点\(a,b\)はいずれも\(\left( a,b\right) \)の要素ではありません。
\end{equation*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。\(\left[ a,b\right] \)の境界点\(a,b\)はともに\(\left[ a,b\right] \)の要素です。
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\lbrack a,b)^{f}=(a,b]^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。\([a,b)\)の境界点\(a\)は\([a,b)\)の要素である一方、もう一方の境界点\(b\)は\([a,b)\)の要素ではありません。また、\((a,b]\)の境界点\(a\)は\((a,b]\)の要素ではない一方、もう一方の境界点\(b\)は\((a,b]\)の要素です。
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。境界は、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{f} &=&\left\{ a\right\} \\
\left( -\infty ,b\right) ^{f} &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}となります（演習問題）。\(\left( a,+\infty \right) \)の境界点\(a\)は\(\left( a,+\infty \right) \)の要素ではなく、\(\left( -\infty ,b\right) \)の境界点\(b\)は\(\left( -\infty ,b\right) \)の要素ではありません。
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。境界は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty )^{f} &=&\left\{ a\right\} \\
(-\infty ,b]^{f} &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}となります（演習問題）。\([a,+\infty )\)の境界点\(a\)は\([a,+\infty )\)の要素であり、\((-\infty ,b]\)の境界点\(b\)は\((-\infty,b]\)の要素です。
境界点は存在するとは限らない
\(\mathbb{R} \)の部分集合は境界点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
ちなみに、境界が空集合であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合は\(\phi\)と\(\mathbb{R} \)だけです（演習問題）。
内部・外部・境界の関係
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。加えて、集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるため、\(A^{i}\)と\(A^{e}\)は交わりません。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} \)は\(A\)の内部、外部、境界に分割することができ、なおかつそれら3つの集合が互いに交わらないことが保証されます。
&&\left( b\right) \ A^{i}\cap A^{e}=\phi \\
&&\left( c\right) \ A^{i}\cap A^{f}=\phi \\
&&\left( d\right) \ A^{e}\cap A^{f}=\phi
\end{eqnarray*}が同時に成り立つ。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{e}\)は\(A\)の外部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。
\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部や外部はいずれも\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、\(\mathbb{R} \)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能な概念ということになります。
境界を用いた閉集合の定義
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A^{f} &\subset &A \\
A &\subset &A^{f}
\end{eqnarray*}はともに成り立つとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとで以上の包含関係が成り立つのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{f}\subset A\)という関係が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の任意の境界点が\(A\)の要素であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。
境界を用いた閉集合であることの判定
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示してもよいということになります。
\end{equation*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left[ a,b\right] \)は閉集合です。
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。境界は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty )^{f} &=&\left\{ a\right\} \\
(-\infty ,b]^{f} &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty )^{f} &\subset &[a,+\infty ) \\
(-\infty ,b]^{f} &\subset &(-\infty ,b] \end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって、\([a,+\infty )\)と\((-\infty ,b]\)はともに閉集合です。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\phi ^{f}\subset \phi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\phi \)は閉集合です。
境界を用いた閉集合ではないことの判定
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の命題\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{f}\not\subset A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合ではないことを示してもよいということになります。つまり、\(A\)の境界点の中に\(A\)の要素ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合です。
\end{equation*}を定義します。境界は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}\subset \left( a,b\right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\left( a,b\right) \)は閉集合ではありません。
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。境界は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{f} &=&\left\{ a,b\right\} \\
(a,b]^{f} &=&\left\{ a,b\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{f} &\subset &[a,b) \\
(a,b]^{f} &\subset &(a,b] \end{eqnarray*}はともに成り立たず、したがって、\([a,b)\)と\((a,b]\)はともに閉集合ではありません。
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。境界は、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{f} &=&\left\{ a\right\} \\
\left( -\infty ,b\right) ^{f} &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{f} &\subset &\left( a,+\infty \right) \\
\left( -\infty ,b\right) ^{f} &\subset &\left( -\infty ,b\right)
\end{eqnarray*}はともに成り立たず、したがって、\(\left( a,+\infty\right) \)と\(\left( -\infty ,b\right) \)はともに閉集合ではありません。
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right) ^{f}\subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{equation*}は成り立たず、したがって\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)は閉集合ではありません。
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{f}\subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}は成り立たず、したがって\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は閉集合ではありません。
境界は閉集合
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。集合\(A\)の内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であり、開集合どうしの和集合は開集合であるため\(A^{i}\cup A^{e}\)は開集合です。したがって、それと一致する\(\left( A^{f}\right) ^{c}\)は開集合であるため、その補集合である境界\(A^{f}\)は閉集合です。つまり、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合の境界は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。
演習問題
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\lbrack a,b)^{f}=(a,b]^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{f} &=&\left\{ a\right\} \\
\left( -\infty ,b\right) ^{f} &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つことを証明してください。
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty )^{f} &=&\left\{ a\right\} \\
(-\infty ,b]^{f} &=&\left\{ b\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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