実数集合の被覆
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、これに対して\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が存在して、\(A\)が\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合の部分集合になる場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の被覆（covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)は\(A\)を被覆する（cover）と言うこともできます。
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( -\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \\
A_{2} &=&\left( 0,\frac{2}{3}\right) \\
A_{3} &=&\left( \frac{1}{3},1\right) \\
A_{4} &=&\left( \frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。集合族\begin{equation*}
\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\}
\end{equation*}の和集合は、\begin{equation*}
A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}=\left( -\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \left( -\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。また、集合族\begin{equation*}\left\{ A_{2},A_{3}\right\}
\end{equation*}の和集合は、\begin{equation*}
A_{2}\cup A_{3}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A_{2},A_{3}\right\} \)もまた\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。その一方で、集合族\begin{equation*}\left\{ A_{1},A_{2}\right\}
\end{equation*}の和集合は、\begin{equation*}
A_{1}\cup A_{2}=\left( -\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \not\subset \left( -\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆ではありません。
\end{equation*}が与えられているものとします。それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+1},\frac{2}{i+1}\right)
\end{equation*}を定義します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の和集合は、\begin{equation*}\bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A\right\} \)は\(A\)の被覆です。また、\begin{equation*}A\subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つため、\(\left\{ \mathbb{R} \right\} \)は\(A\)の被覆です。この例が示唆するように、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合は被覆を持ちます。
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が有限集合である場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \Lambda \text{は有限集合}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の有限被覆（finite covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)を有限被覆する（finitely cover）と言うこともできます。有限集合\(\Lambda \)は何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と表現できるため、\(A\)の有限被覆を\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)と表現できます。このような事情を踏まえると、\(A\)の有限被覆\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が満たすべき条件を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i} \\
&&\left( c\right) \ n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}と表現できます。
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( -\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \\
A_{2} &=&\left( 0,\frac{2}{3}\right) \\
A_{3} &=&\left( \frac{1}{3},1\right) \\
A_{4} &=&\left( \frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。先に確認したように、以下の集合族\begin{eqnarray*}
&&\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\} \\
&&\left\{ A_{2},A_{3}\right\}
\end{eqnarray*}はともに\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。加えて、これらはいずれも有限集合であるため、これらは\(\left( 0,1\right) \)の有限被覆です。
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が可算集合である場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \Lambda \text{は可算集合}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の可算被覆（countable covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)を可算被覆する（countably cover）と言うこともできます。可算集合\(\Lambda \)として、\begin{equation*}\Lambda =\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}を採用すれば、\(A\)の可算被覆を\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)や\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{+\infty }\)などで表記できます。このような事情を踏まえると、\(A\)の可算被覆\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が満たすべき条件を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathbb{N} :A_{i}\subset \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{eqnarray*}と表現できます。
\end{equation*}が与えられているものとします。それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+1},\frac{2}{i+1}\right)
\end{equation*}を定義します。先に確認したように集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。加えて、これは可算集合であるため\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の可算被覆です。
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素がいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の開被覆（open covering）と呼びます。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)の開集合系を表す記号です。
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( -\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \\
A_{2} &=&\left( 0,\frac{2}{3}\right) \\
A_{3} &=&\left( \frac{1}{3},1\right) \\
A_{4} &=&\left( \frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。先に確認したように、以下の集合族\begin{eqnarray*}
&&\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\} \\
&&\left\{ A_{2},A_{3}\right\}
\end{eqnarray*}はともに\(\left( 0,1\right) \)の有限被覆です。加えて、\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、先の集合族はともに\(\left( 0,1\right) \)の開被覆です。
\end{equation*}が与えられているものとします。それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+1},\frac{2}{i+1}\right)
\end{equation*}を定義します。先に確認したように集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の可算被覆です。加えて、任意の\(i\)について\(A_{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の開被覆です。
被覆の部分被覆
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。それに対して、やはり\(A\)の被覆であるような\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分集合が存在する場合には、つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \exists M\subset \Lambda :A\subset \bigcup_{\lambda \in
M}A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つ場合、このような集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in M}\)を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の部分被覆（subcovering）と呼びます。これは、被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合によって\(A\)が覆われている場合、実際には、部分被覆\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in M}\)の要素である集合さえあれば\(A\)を覆うのに十分であることを意味します。
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( -\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \\
A_{2} &=&\left( 0,\frac{2}{3}\right) \\
A_{3} &=&\left( \frac{1}{3},1\right) \\
A_{4} &=&\left( \frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。先に確認したように、以下の集合族\begin{eqnarray*}
&&\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\} \\
&&\left\{ A_{2},A_{3}\right\}
\end{eqnarray*}はともに\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。加えて、\begin{equation*}\left\{ A_{2},A_{3}\right\} \subset \left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\} \)の部分被覆です。以上の事実は、\(\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\} \)に属する集合\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)によって\(A\)を覆うことができるものの、実際には、その部分集合族である\(\left\{ A_{2},A_{3}\right\} \)に属する集合\(A_{2},A_{3}\)さえあれば\(A\)を覆うのに十分であることを意味します。
\end{equation*}が与えられているものとします。それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A_{i}=\left( -\frac{i}{2},\frac{i}{2}\right)
\end{equation*}を定義します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の和集合は、\begin{equation*}\bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。この被覆の部分集合\begin{equation*}\left\{ A_{1},A_{2}\right\}
\end{equation*}に注目すると、その和集合は、\begin{eqnarray*}
A_{1}\cup A_{2} &=&\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \cup \left(
-1,1\right) \\
&=&\left( -1,1\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \left( -1,1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。以上より、\(\left\{A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の部分被覆であることが明らかになりました。ちなみに、\(\left\{A_{2}\right\} \)もまた\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の部分被覆です。
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。それに対して、有限集合であるような\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists M\subset \Lambda :A\subset \bigcup_{\lambda \in
M}A_{\lambda } \\
&&\left( d\right) \ M\text{は有限集合}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、このような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆（finite subcover）と呼びます。また、被覆に対してその有限部分被覆が存在する場合、その被覆は有限被覆に落とせる（reducible to a finite cover）と言います。これは、被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合によって\(A\)が覆われている場合、実際には、部分被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)の要素である有限個の集合さえあれば\(A\)を覆うのに十分であることを意味します。
\end{equation*}が与えられているものとします。それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A_{i}=\left( -\frac{i}{2},\frac{i}{2}\right)
\end{equation*}を定義します。先に確認したように\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。さらに、この被覆の部分集合\begin{equation*}\left\{ A_{1},A_{2}\right\}
\end{equation*}は\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の部分被覆です。\(\left\{A_{1},A_{2}\right\} \)は有限集合であるため、\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の有限部分被覆です。
コンパクト集合
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在するのであれば、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合（compact set）と呼びます。より正確には、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であるとは、\(\mathbb{R} \)上の開集合からなる集合族によって\(A\)を覆ったつもりでも、実はそれらの中の有限個の開集合によって\(A\)が覆えていることを意味します。
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であるためには、\(A\)の「任意の」開被覆がそれぞれ有限部分被覆が持つ必要があります。言い換えると、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持つものが「存在する」ことを示しただけでは、\(A\)がコンパクト集合であることを示したことになりません。\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の「任意の」開被覆がそれぞれ有限部分被覆を持つことを示す必要があります。
&&\left( b\right) \ \phi \subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶということです。この集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合\(A_{\lambda ^{\prime }}\)を1つ選びます。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}\phi \subset A_{\lambda ^{\prime }}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left\{ A_{\lambda ^{\prime}}\right\} \)は\(\phi \)の被覆であり、なおかつ\(\left\{ A_{\lambda ^{\prime}}\right\} \)は有限集合であるため、\(\left\{ A_{\lambda ^{\prime }}\right\} \)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆であることが明らかになりました。\(\phi \)の任意の開被覆について同様の議論が成立するため、\(\phi \)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることが明らかになりました。
集合はコンパクトであるとは限らない
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを意味します。したがって、逆に、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないこととは、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持たないものが存在することを意味します。
\(\mathbb{R} \)の部分集合はコンパクト集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことを示します。つまり、有限部分被覆を持たないような\(\left( 0,1\right) \)の開被覆を具体的に提示します。それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、以下の集合\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+2},\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}を定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、任意の\(i\in \mathbb{N} \)について\(A_{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。集合族\begin{equation*}\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}の和集合は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}であり、したがって\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(A\)の開被覆であることが明らかになりました。その一方で、\(\left( 0,1\right) \)は有限個の開区間\(\left( \frac{1}{i+2},\frac{1}{i}\right) \)によって覆うことはできないため（演習問題）、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は有限部分被覆を持ちません。以上より、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことが明らかになりました。
\end{equation*}を定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、任意の\(i\in \mathbb{Z} \)について\(A_{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。その上で、集合族\begin{equation*}\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{Z} }
\end{equation*}を定義します。整数空間\(\mathbb{N} \)は可算集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{Z} }\)は可算集合族です。和集合は、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{Z} }A_{i}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} \subset \bigcup\limits_{i\in \mathbb{Z} }A_{i}
\end{equation*}であり、したがって\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{Z} }\)は\(A\)の開被覆であることが明らかになりました。その一方で、\(\mathbb{R} \)を有限個の開区間\(\left(i,i+2\right) \)によって覆うことができないため（演習問題）、\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{Z} }\)は有限部分被覆を持ちません。以上より、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことが明らかになりました。
コンパクト集合どうしの共通部分はコンパクト集合
実数空間\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだ場合、その共通部分\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されます。
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
上の命題中のコンパクト集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合\(\Lambda \)は任意の集合であることに注意してください。したがって、以下がいずれも成り立ちます。
\end{equation}をとります。これはコンパクト集合族\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }\)の共通部分に他ならないため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。つまり、コンパクト集合どうしの共通部分はコンパクト集合になることが保証されます。
\end{equation}をとります。これはコンパクト集合族\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} }\)の共通部分に他ならないため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。つまり、有限個のコンパクト集合どうしの共通部分はコンパクト集合になることが保証されます。
\end{equation}をとります。これはコンパクト集合族\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \mathbb{N} }\)の共通部分に他ならないため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。つまり、可算個のコンパクト集合どうしの共通部分はコンパクト集合になることが保証されます。
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
コンパクト集合どうしの和集合はコンパクト集合
実数空間\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合を要素として持つ有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選んだ場合、その和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されます。
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
\end{equation}をとります。これはコンパクト集合族\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }\)の和集合に他ならないため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。つまり、コンパクト集合どうしの和集合はコンパクト集合になることが保証されます。
先の命題は「有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合である」という主張に相当します。一方、以下の例から明らかであるように、無限個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合になるとは限りません。これはコンパクト集合族の共通部分とは異なる点です。
\end{equation*}について考えます。この集合族の和集合は、\begin{equation}
\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。後ほど示すように、\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(A_{i}\)はコンパクト集合です。したがって、\(\left( 1\right) \)の左辺は無限個のコンパクト集合の和集合です。他方で、\(\mathbb{R} \)自身は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。それにも関わらず\(\left( 1\right) \)が成り立つということは、無限個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合になるとは限らないことを意味します。
ちなみに、無限個のコンパクト集合の和集合がコンパクト集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。
\end{equation*}について考えます。この集合族の和集合は、\begin{equation}
\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ -1,1\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。後ほど示すように、\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(A_{i}\)はコンパクト集合です。したがって、\(\left( 1\right) \)の左辺は無限個のコンパクト集合の和集合であり、\(\left( 1\right) \)の右辺はコンパクト集合です。
演習問題
A_{2} &=&\left( \frac{1}{2},2\right) \\
A_{3} &=&\left( \frac{3}{2},\frac{7}{2}\right)
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。このとき、以下の主張の真偽を確かめてください。
- \(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の被覆である。
- \(\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の被覆である。
- \(\left\{ A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の被覆である。
- \(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の被覆である。
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。この集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が有界開区間\(\left( 0,1\right) \)の被覆であることを示してください。
&=&\left\{ 0,\pm 1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{3},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることを証明してください。
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