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実数空間におけるコンパクト集合

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被覆

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の間に、\begin{equation*}A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、つまり、\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合によって\(A\)を覆うことができる場合には\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を\(A\)の被覆(covering)と呼びます。またこのとき\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)を被覆する(cover)とも言います。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆が\(\mathbb{R} \)の有限部分集合族である場合には、そのような被覆を\(A\)の有限被覆(finite covering)と呼びます。つまり、有限個の\(\mathbb{R} \)の部分集合を要素として持つ集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}を満たす場合、\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を\(A\)の有限被覆と呼びます。またこのとき、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(A\)を有限被覆する(finite cover)と言います。

例(有限被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である有界な開区間\(\left( 0,3\right) \)と、以下の3つの\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( 0,1\right) \\
A_{2} &=&\left( \frac{1}{2},2\right) \\
A_{3} &=&\left( \frac{3}{2},\frac{7}{2}\right)
\end{eqnarray*}を要素として持つ\(\mathbb{R} \)の有限部分集合族\(\left\{A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)について考えます。この有限集合族の和集合は、\begin{equation*}A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=\left( 0,\frac{7}{2}\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,3\right) \subset A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の有限被覆です。ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{A_{1},A_{2}\right\} \)の和集合は、\begin{equation*}A_{1}\cup A_{2}=\left( 0,2\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,3\right) \subset A_{1}\cup A_{2}
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left(0,3\right) \)の被覆ではありません。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆が\(\mathbb{R} \)の可算部分集合族である場合には、そのような被覆を\(A\)の可算被覆(countable covering)と呼びます。つまり、可算個の\(\mathbb{R} \)の部分集合を要素として持つ集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}を満たす場合、\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)を\(A\)の可算被覆と呼びます。またこのとき、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(A\)を可算被覆する(countable cover)と言います。

例(可算被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である有界な開区間\(\left( 0,1\right) \)と、それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+1},\frac{2}{i+1}\right)
\end{equation*}であるような\(\mathbb{R} \)の可算部分集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)について考えます。この可算部分集合族の和集合は、\begin{equation*}\bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の可算被覆です。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆の要素がいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、すなわち、\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が\(A\)の被覆であるとともに、任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して\(A_{\lambda }\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を\(A\)の開被覆(open covering)と呼びます。

例(開被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である有界な開区間\(\left( 0,1\right) \)と、それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+1},1\right)
\end{equation*}であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)について考えます。一般に、有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、任意の\(i\in \mathbb{N} \)について\(A_{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。さらに、この部分集合族の和集合は、\begin{equation*}\bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の開被覆です。

 

部分被覆

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)をとります。つまり、\begin{equation*}A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、やはり\(A\)の被覆であるような\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分集合族が存在する場合には、つまり、ある\(M\subset \Lambda \)が存在して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{\lambda \in M}A_{\lambda }
\end{equation*}もまた成り立つ場合、このような部分集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分被覆(subcovering)と呼びます。

例(部分被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である有界な開区間\(\left( 0,\frac{3}{2}\right) \)と、以下の3つの\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( 0,1\right) \\
A_{2} &=&\left( \frac{1}{2},2\right) \\
A_{3} &=&\left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)
\end{eqnarray*}を要素として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)について考えます。この集合族の和集合は、\begin{equation*}A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=\left( 0,2\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,\frac{3}{2}\right) \subset A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left( 0,2\right) \)の被覆です。\(\left\{A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の部分集合族\(\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \)に注目すると、その和集合は、\begin{equation*}A_{1}\cup A_{3}=\left( 0,\frac{3}{2}\right)
\end{equation*}であるため、やはり、\begin{equation*}
\left( 0,\frac{3}{2}\right) \subset A_{1}\cup A_{3}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \)は\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の部分被覆です。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に対してその部分被覆が存在し、なおかつそれが有限集合族である場合には、それを\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆(finite subcover)と呼びます。また、被覆に対してその有限部分被覆が存在するとき、その被覆は有限被覆に落とせる(reducible to a finite cove)と言います。\(A\)の被覆を有限被覆に落とせることとは、被覆の要素である集合によって\(A\)を覆ったつもりでも、実は、それらのうちの有限個の集合によって\(A\)を覆えていることを意味します。

例(有限部分被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である有界な開区間\(\left( 0,1\right) \)と、それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( -\frac{i}{2},\frac{i}{2}\right)
\end{equation*}であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)について考えます。このとき、\begin{equation*}\left( 0,1\right) \subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}が明らかに成り立つため、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。ただ、この被覆\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の有限部分集合\(\left\{A_{1},A_{2}\right\} \)に注目すると、\begin{equation*}\left( 0,1\right) \subset \left( 0,1\right) =A_{1}\cup A_{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の有限部分被覆です。

 

コンパクト集合

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在するのであれば、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合(compact set)と呼びます。より正確には、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合からなる集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda} \)を任意に選んだとき(\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆)、それに対して有限個の添字\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \)が存在して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{equation*}とすることができる(\(\left\{ A_{\lambda _{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆)ことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であるとは、\(\mathbb{R} \)上の開集合の族によって\(A\)を覆ったつもりでも、実はそれらの中の有限個の開集合によって\(A\)が覆えていることを意味します。ただし、\(A\)がコンパクト集合であるためには\(A\)の「任意の」開被覆に対してこのような操作が可能でなければならないことに留意する必要があります。実際、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、これに対して\(A\subset \mathbb{R} \)が成り立ちますが、\(\mathbb{R} \)自身は\(\mathbb{R} \)における開集合であるため\(\{\mathbb{R} \}\)は\(A\)の開被覆です。さらに\(\{\mathbb{R} \}\)は\(\{\mathbb{R} \}\)自身の有限部分被覆であることから、\(\{\mathbb{R} \}\)は常に先述の条件を満たす開被覆となります。\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持つものが「存在する」ことを示しただけでは不十分であり、\(A\)の「任意の」開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があります。

例(有限集合はコンパクト集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることが保証されます(演習問題)。
例(空集合はコンパクト集合)
空集合\(\phi \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\(\phi \)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、その中から1つの集合\(A_{\lambda }\)を任意選ぶと\(\phi \in A_{\lambda }\)が成り立ちます。つまり、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} \)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆です。

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合でないことを示すためには、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持たないものが存在することを示せばよいということになります。以下の例から明らかであるように、\(\mathbb{R} \)の部分集合はコンパクト集合であるとは限りません。

例(コンパクト集合ではない集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である有界開区間\(\left( 0,1\right) \)について考えます。それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+2},\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)について考えます。一般に、有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、任意の\(i\in \mathbb{N} \)について\(A_{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。さらに、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるため、\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の開被覆です。しかし、\(\left( 0,1\right) \)は有限個の開区間\(\left( \frac{1}{i+2},\frac{1}{i}\right) \)によって覆うことはできないため(演習問題)、\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)は有限被覆を持ちません。したがって、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことが明らかになりました。
例(コンパクト集合ではない集合)
\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)自身の部分集合です。それぞれの\(i\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( i,i+2\right)
\end{equation*}であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{Z} }\)について考えます。一般に、有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、任意の\(i\in \mathbb{N} \)について\(A_{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。さらに、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{Z} }A_{i}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)は\(\mathbb{R} \)の開被覆です。しかし、\(\mathbb{R} \)の有限個の開区間\(\left(i,i+2\right) \)によって覆うことができないため(演習問題)、\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{Z} }\)は有限被覆を持ちません。したがって、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A_{1},A_{2},A_{3}\)がそれぞれ、\begin{equation*}A_{1}=\left( 0,1\right) ,\quad A_{2}=\left( \frac{1}{2},2\right) ,\quad
A_{3}=\left( \frac{3}{2},\frac{7}{2}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、以下の主張の真偽を確かめてください。

  1. \(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の被覆である。
  2. \(\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の被覆である。
  3. \(\left\{ A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の被覆である。
  4. \(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left( 0,3\right) \)の被覆である。
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問題(被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)が、それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+1},\frac{2}{i+1}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。この\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が有界開区間\(\left( 0,1\right) \)の被覆であることを示してください。
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問題(被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が、\begin{equation*}\mathbb{R} =\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\end{equation*}を満たすことは、\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が\(\mathbb{R} \)の被覆であるための必要十分条件であることを示してください。
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問題(有限集合はコンパクト)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることを証明してください。
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問題(有界な開区間はコンパクトではない)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である有界な開区間\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことを証明してください。
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問題(実数区間はコンパクトではない)
\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことを証明してください。
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問題(コンパクト集合)
以下の\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 0\right\} \cup \left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{Z} _{+}\right\} \\
&=&\left\{ 0,\pm 1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{3},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることを証明してください。
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問題(孤立点の集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるとともに、\(A\)のすべての要素は\(A\)の孤立点であるものとします。このとき\(A\)は有限集合であることを証明してください。
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次回はコンパクト集合どうしの共通部分や和集合もまたコンパクトであることを示します。

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