WIIS

教材一覧
教材一覧
教材検索
TOPOLOGY OF THE REAL LINE

集積点の存在条件と実数の連続性

目次

次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

集積点の存在条件

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合は集積点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(集積点を持たない集合)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それを唯一の要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。任意の点\(x\in \mathbb{R} \)は\(\left\{ a\right\} \)の集積点ではありません。なぜなら\(\left\{ a\right\} \)の点を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なる数列が存在しないからです。

上の例に限らず、一般に、有限集合は集積点を持ちません。

命題(有限集合は集積点を持たない)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合であるならば、\(A\)の集積点は存在しない。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

以上の議論により、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が集積点を持つためには、\(A\)は無限集合でなければなりません。加えて、\(A\)が有界である場合、\(A\)の集積点が存在することを保証できます。証明には実数の連続性が必要です。

命題(集積点の存在条件)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が無限個の要素を持つとともに有界であるならば、\(A\)の集積点が存在する。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

集積点の存在条件と実数の連続性

復習になりますが、実数の公理系は\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理と\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理に分類されます。特に、実数の連続性を特徴づける公理としてデデキントの公理を採用しました。

公理(連続性の公理)
\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が成り立つことを公理として定める。

\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認めるとき、デデキントの公理は以下のような様々な形で言い換え可能であることを示しました。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の8つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理} \\
&&\left( f\right) \ \text{カントールの縮小区間定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( g\right) \ \text{ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( h\right) \ \text{コーシー列の収束定理+アルキメデスの性質}
\end{eqnarray*}

以上の諸命題に加え、集積点の存在条件を用いて実数の連続性を表現することもできます。先ほど、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を公理として認めたとき、そこから集積点の存在条件が導かれることを示しました。実は、反対に、集積点の存在条件を公理として認めたとき、そこからボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を導くことができます。したがって、集積点の存在条件とアルキメデスの性質がともに成り立つことは実数の連続性と必要十分であるということになります。

命題(実数の連続性)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、集積点の存在条件とボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理は必要十分である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

以上の命題より、実数の連続性は以下のような様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の9個の命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理} \\
&&\left( f\right) \ \text{カントールの縮小区間定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( g\right) \ \text{ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( h\right) \ \text{コーシー列の収束定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( i\right) \ \text{集積点の存在条件+アルキメデスの性質}
\end{eqnarray*}

つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理として上の9個の命題の中のどれを採用しても問題ないということです。

 

有理数の非連続性

集積点の存在条件とアルキメデスの性質によって\(\mathbb{R} \)の連続性が表現できるのであれば、連続性を満たさない\(\mathbb{Q} \)は集積点の存在条件とアルキメデスの性質の少なくとも一方を満たさないはずです。\(\mathbb{Q} \)が集積点の存在条件を満たさないとは、無限個の要素を持つとともに有界であるような\(\mathbb{Q} \)の部分集合の中に、有理数の集積点を持たないものが存在することを意味します。以下で確認しましょう。

例(有理数の非連続性)
無理数\(\sqrt{2}\)は以下の非循環小数\begin{equation*}\sqrt{2}=1.41421356\cdots
\end{equation*}として表現されます。そこで、\(\mathbb{Q} \)の部分集合であるような可算集合\begin{equation*}A=\left\{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots \right\}
\end{equation*}の要素が、\begin{eqnarray*}
a_{1} &=&1 \\
a_{2} &=&1.4 \\
a_{3} &=&1.41 \\
a_{4} &=&1.414 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}で与えられいるものとします。この集合\(A\)が有界な無限集合である一方で、\(A\)は有理数であるような集積点を持ちません(演習問題にします)。したがって、\(\mathbb{Q} \)上において集積点の存在条件が成り立たないことが明らかになりました。

次回は孤立点について解説します。

次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

単調数列
有界単調数列と実数の連続性

上に有界な単調増加数列の収束定理や下に有界な単調減少数列の収束定理などはいずれも実数の連続性の公理と必要十分であることを示します。

導集合
実数集合の集積点(極限点)・導集合

実数空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする任意の近傍が a とは異なる A の点を要素として持つ場合、この点 a を A の集積点と呼びます。

集積点
数列を用いた集積点の判定

実数空間 R の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する数列が存在することは、a が A の集積点であるための必要十分条件です。

閉集合
導集合を用いた閉集合の判定

実数空間の部分集合 A が与えられたとき、その任意の集積点が A の要素であることは、その集合 A が閉集合であるための必要十分条件です。

スカラー場の極限
スカラー場(多変数関数)の極限

スカラー場の変数がある点に限りなく近づくにつれてスカラー場が定める値が有限な実数に限りなく近づく場合、そのスカラー場は収束すると言います。

カントールの縮小区間定理
区間列と実数の連続性

実数空間が全順序体としての公理を満たすことを認める場合、実数の連続性の公理と、カントールの縮小区間定理およびアルキメデスの性質が成り立つことは必要十分になります。

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
部分列と実数の連続性

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理はカントールの縮小区間定理と必要十分です。したがって、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理とアルキメデスの性質が成り立つことは実数の連続性と必要十分です。

導集合
点列を用いた集積点(極限点)の判定

ユークリッド空間の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する点列が存在することは、a が A の集積点(極限点)であるための必要十分条件です。

コーシー列
コーシー列と実数の連続性

コーシー列の収束定理とアルキメデスの性質がともに成り立つことは、実数の連続性の公理と必要十分であることを示します。

実数の連続性
実数の連続性

実数を特徴づける公理として、それが加法と乗法、そして大小関係について全順序体であるものと定めました。しかし、こうした性質は有理数についても成立します。数としての実数を特徴づける性質は連続性です。連続性をデデキントの切断と呼ばれる概念を用いて解説します。

上限・下限
上限性質・下限性質

実数空間の非空かつ上に有界な部分集合は上限を持ちます。これを上限性質と呼びます。また、実数空間の非空かつ下に有界な部分集合は下限を持ちます。これを下限性質と呼びます。上限性質や下限性質はデデキントの公理と必要十分であるため、実数の連続性を特徴づける公理として採用することができます。

アルキメデスの性質
アルキメデスの性質

実数の連続性より、すべての自然数からなる集合 N は上に有界ではないことが示されます。これをアルキメデスの原理と呼びます。

孤立点
関数の極限

実数の点集合上に定義された実数値関数を議論の対象とした上で、そのような関数が収束することの直感的な意味を解説し、さらにイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

直線の位相