リンデレーフ空間としての実数空間（リンデレーフの被覆定理）

リンデレーフの被覆定理

実数空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられた状況において、その開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)の開集合系です。\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である場合には\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆が存在することが保証されます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(A\)がコンパクト集合である場合には、開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である開集合によって\(A\)を覆ったつもりでも、実は、\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素である有限個の開集合によって\(A\)を覆えていることが保証されるということです。では、集合\(A\)がコンパクトであるとは限らない場合にも、その被覆に関して何らかの主張が可能なのでしょうか。

実数空間\(\mathbb{R} \)は第2可算公理を満たすため、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \ ,\exists \mathfrak{A}\subset \mathfrak{B}:A=\bigcup \mathfrak{A}
\end{equation*}を満たす可算な基本開集合系\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在します。集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である必要はありません。その上で、集合\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の可算部分被覆が必ず存在することが第2可算公理より導かれます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して可算個の添字\(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots\in \Lambda \)が存在して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{\lambda _{i}}
\end{equation*}とすることができるということです。以上の命題をリンデレーフの被覆定理（Lindelöf’s covering theorem）と呼びます。ちなみに、エルンスト・レナード・リンデレフ（Ernst Leonard Lindelöf’s）はフィンランドの数学者です。

一般に、位相空間\(X\)において、任意の開被覆が可算部分被覆を持つ場合、そのような位相空間\(X\)をリンデレーフ空間（Lindelöf’s space）と呼びます。先の命題は、ユークリッド距離を導入した実数空間\(\mathbb{R} \)がリンデレーフ空間であることを主張しています。

可算な基本開集合系の生成

実数空間\(\mathbb{R} \)における開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \ ,\exists \mathfrak{B}^{\prime }\subset \mathfrak{B}:A=\bigcup
\mathfrak{B}^{\prime }
\end{equation*}を満たす開集合族\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選ぶということです。以上の事実は、\(\mathbb{R} \)における任意の開集合\(A\)が\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表現可能であることを意味します。

\(\mathbb{R} \)は第2可算公理を満たすため、可算集合であるような基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在します。加えて、第2可算公理を踏まえると、可算集合であるとは限らない基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が与えられたとき、そこから可算集合であるような基本開集合系を常に生成できます。つまり、どのような基本開集合系\(\mathfrak{B}\)を選んだ場合でも、結局、\(\mathbb{R} \)における任意の開集合\(A\)が\(\mathfrak{B}\)の可算個の要素の和集合として表せるということです。

演習問題