1次元ユークリッド空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の補集合の部分集合が存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点からなる集合を A の外部と呼びます。

2019年5月11日:公開

外点

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R}\)の近傍の中に\(A\)の補集合\(A^{c}\)の部分集合が存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の外点(exterior point)と呼びます。なお、点の近傍の定義を踏まえると上の条件は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点\(a\)を中心とする開区間の中に\(A^{c}\)の部分集合であるものが存在するということです。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと同義です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。

例(外点)
\(a\leq b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)に関する\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ a,b\right] \)が与えられたとき、\(x<a\)を満たす点\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で\(\varepsilon =a-x>0\)とおけば、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) =\left( -a,a\right)
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) \cap \left[ a,b\right] =\phi
\end{equation*}となります。したがって\(x<a\)を満たす任意の点\(x\)は\(\left[ a,b\right] \)の外点です。\(b<x\)を満たす任意の点\(x\)が\(\left[ a,b\right] \)の外点であることも同様にして示すことができます。
例(外点)
\(a\leq b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)に関する\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left( a,b\right) \)が与えられたとき、\(x<a\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R}\)や\(b<x\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R}\)が\(\left( a,b\right) \)の外点であることは上の例と同様にして示すことができます。一方、点\(a\)に対しては任意の\(\varepsilon >0\)について\(a<a+\varepsilon \)が成り立つため、\begin{equation*} U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap \left( a,b\right) \not=\phi \end{equation*}が成り立ちます。ゆえに\(a\)は\(\left( a,b\right) \)の外点ではありません。\(b\)が\(\left( a,b\right) \)の外点でないことも同様にして示すことができます。
例(外点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について考えます。その補集合\(\mathbb{Q} ^{c}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)はすべての無理数からなる集合です。点\(x\in \mathbb{R}\)と\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、有理数の稠密性より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には有理数が存在するため\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \mathbb{Q} ^{c}\)は成り立ちません。したがって任意の実数は\(\mathbb{Q}\)の外点ではありません。

 

外部

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)のすべての外点からなる集合を\(A\)の外部(exterior)と呼び、\begin{equation*}
A^{e},\quad \mathrm{ext}\left( A\right)
\end{equation*}などで表します。

外部の定義より、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)と任意の点\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{e} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset A^{c} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\cap A\not=\phi
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

例(外部)
\(a\leq b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)に関する\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left[ a,b\right] \)が与えられたとき、すでに示したように\(x<a\)や\(b<x\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R}\)は\(\left[ a,b\right] \)の外点です。一方、\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R}\)は\(\left[ a,b\right] \)の外点ではありません。したがって、\(\left[ a,b\right] ^{e}=(-\infty ,a)\cup (b,+\infty )\)です。
例(外部)
\(a\leq b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)に関する\(\mathbb{R}\)上の区間\((a,b)\)が与えられたとき、すでに示したように\(x<a\)や\(b<x\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R}\)は\(\left( a,b\right) \)の外点です。一方、\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R}\)は\(\left[ a,b\right] \)の外点ではありません。したがって、\(\left( a,b\right) ^{e}=(-\infty ,a)\cup (b,+\infty )\)です。
例(外部)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について考えます。先に示したように任意の実数は\(\mathbb{Q}\)の外点ではないため、\(\mathbb{Q} ^{e}=\phi \)という関係が成り立ちます。

 

外部と内部の関係

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)と任意の点\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{align*}
x\in A^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\subset (A^{c})^{c}\quad \because A=(A^{c})^{c} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{align*}となるため\(A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
x\text{は}A\text{の内点 }\Leftrightarrow \ x\text{は}A^{c}\text{の外点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。また、\begin{align*}
x\in A^{e}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{align*}となるため\(A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}\)も成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
x\text{は}A\text{の外点 }\Leftrightarrow \ x\text{は}A^{c}\text{の内点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。以上の事実を命題としてまとめておきます。

命題(外部と内部の関係)
\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e} \\
&&\left( b\right) \ A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{eqnarray*}

\(\mathbb{R}\)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能であることを以前に指摘しました。さらに内部が明らかになれば、上の関係\(\left( b\right) \)より外部という概念を間接的に定義可能です。したがって、\(\mathbb{R}\)の部分集合の外部という概念もまた\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能です。

また、この命題を利用すると外部に関する様々な性質をそれに対応する内部の性質として示すことができます。以下ではそのような性質をいくつか提示します。

 

外部は閉集合

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、その内部\(A^{i}\)に関しては、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A^{i}\subset A \\
&&\left( b\right) \ A^{i}\in \mathcal{O} \\
&&\left( c\right) \ \forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A\ \Rightarrow \ B\subset A^{i}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことは既に示した通りです。上の事実と内部と外部の関係を踏まえると、外部に関して以下が成り立つことを示すことができます。

命題(外部は閉集合)
\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A^{e}\subset A^{c} \\
&&\left( b\right) \ A^{e}\in \mathcal{O} \\
&&\left( c\right) \ \forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A^{c}\
\Rightarrow \ B\subset A^{e}\right)
\end{eqnarray*}ただし、\(\mathcal{O}\)は\(\mathbb{R}\)の開集合系である。
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\(\left( a\right) \)は\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の外部\(A^{e}\)は必ず\(A^{c}\)の部分集合であること、つまり、\(A\)の外点は必ず\(A\)の点ではないことを意味します。ちなみに、これとは逆に\(A^{c}\subset A^{e}\)は成り立つとは限りません。つまり、\(A\)に属さない点は\(A\)の外点であるとは限りません。実際、\(\mathbb{R}\)の部分集合である有界閉区間\begin{equation*}
\left( a,b\right) =\{x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\}
\end{equation*}について、端点\(a,b\)は\(\left( a,b\right) \)の点ではありませんが\(\left( a,b\right) \)の外点でもありません。また、\(\left( b\right) \)は\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の外部\(A^{e}\)が開集合であること、さらに\(\left( c\right) \)は\(A^{e}\)が\(A^{c}\)に含まれる最大の開集合であることを意味します。

\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとしましょう。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R}\)の開集合の中でも、\(A^{c}\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の外部\(A^{e}\)です。したがって\(\mathbb{R}\)の部分集合の外部という概念は開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。

 

外部と集合演算

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)が与えられたとき、それらの内部\(A^{i},B^{i}\)に関しては、\begin{equation*}
A\subset B\ \Rightarrow \ A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}という関係が成り立つことは既に示した通りです。上の事実と内部と外部の関係を踏まえると、外部に関して以下が成り立つことを示すことができます。

命題(外部と集合演算)
\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
A\subset B\ \Rightarrow \ B^{e}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つ。
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次回は境界点や境界という概念について解説します。
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