実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点からなる集合を A の外部と呼びます。
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外点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍の中に\(A\)の補集合\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の外点(exterior point)と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset
A^{c}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点\(a\)を中心とする有界開区間の中に\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(a\)は\(A\)の外点です。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと同義です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点\(a\)の近傍の中に\(A\)と交わらないものが存在するならば\(a\)は\(A\)の外点です。

集合\(A\)の外点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として含むため、これと上の命題より、\(a\)は\(A^{c}\)の要素でもあります。つまり、集合\(A\)の外点は補集合\(A^{c}\)の要素であるということです。言い換えると、\(A^{c}\)の要素ではない点は\(A\)の外点になり得ません。

命題(集合の外点はその集合の補集合の要素)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)の任意の外点は\(A^{c}\)の要素である。
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例(有界開区間の外点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。\(x\in \left( a,b\right) ^{c}\)を満たす点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(x<a \)を満たす場合、\(\varepsilon =a-x>0\)とおけば、\begin{eqnarray*}
\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) &=&\left( a-2\varepsilon
,a\right) \quad \because \varepsilon =a-x \\
&\subset &\left( a,b\right) ^{c}
\end{eqnarray*}となるため\(x\)は\(\left( a,b\right) \)の外点です。\(x>b\)を満たす場合にも、\(x\)が\(\left( a,b\right) \)の外点であることが同様にして示されます。点\(a\)については、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)は\(\left( a,b\right) \)と交わるため、\(a\)は\(\left( a,b\right) \)の外点ではありません。点\(b\)が\(\left( a,b\right) \)の外点でないことも同様にして示されます。また、\(\left( a,b\right) \)の任意の点は\(\left( a,b\right) \)の外点ではありません。以上より、\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間\(\left( a,b\right) \)が与えられたとき、その外点は\(\left[ a,b\right] ^{c}\)の任意の要素です。
例(有界開区間の外点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。\(x\in \left[ a,b\right] ^{c}\)を満たす点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(x<a \)を満たす場合、\(\varepsilon =a-x>0\)とおけば、\begin{eqnarray*}
\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) &=&\left( a-2\varepsilon
,a\right) \quad \because \varepsilon =a-x \\
&\subset &\left[ a,b\right] ^{c}
\end{eqnarray*}となるため\(x\)は\(\left[ a,b\right] \)の外点です。\(x>b\)を満たす場合にも、\(x\)が\(\left[ a,b\right] \)の外点であることが同様にして示されます。\(\left[ a,b\right] \)の任意の点は\(\left[ a,b\right] \)の外点ではありません。以上より、\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が与えられたとき、その外点は\(\left[ a,b\right] ^{c}\)の任意の要素です。
例(有理数空間の外点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について考えます。その補集合\(\mathbb{Q}^{c}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)はすべての無理数からなる集合です。実数\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、有理数の稠密性より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には有理数が存在するため\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset \mathbb{Q}^{c}\)は成り立ちません。したがって任意の実数は\(\mathbb{Q}\)の外点ではありません。\(\mathbb{Q}\)は外点を持たない集合です。
例(実数空間の外点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。その補集合は\(\mathbb{R} ^{c}=\phi \)です。実数\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset \phi
\end{equation*}は明らかに成り立たないため、\(a\)は\(\mathbb{R} \)の外点ではありません。\(\mathbb{R} \)は外点を持たない集合です。

 

外部

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての外点からなる集合を\(A\)の外部(exterior)と呼び、\begin{equation*}
A^{e},\quad \mathrm{ext}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{e} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \subset A^{c}\quad \because \text{近傍の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\cap A\not=\phi
\quad \because \subset \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \cap A\not=\phi \quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(有界開区間の外部)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{e}=\left[ a,b\right] ^{c}
\end{equation*}となります。
例(有界開区間の外部)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{e}=\left[ a,b\right] ^{c}
\end{equation*}となります。
例(有理数空間の外部)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{Q}^{e}=\phi
\end{equation*}となります。
例(実数空間の外点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{e}=\phi
\end{equation*}となります。

先に示したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の外点は\(A^{c}\)の要素であるため、\(A\)の外部は\(A^{c}\)の部分集合です。

命題(集合の外部はその集合の補集合の部分集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A^{e}\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ。
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逆に、\(A^{c}\subset A^{e}\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(補集合と外部の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開集合\(\left( a,b\right) \)について考えます。\(a\)と\(b\)はともに\(\left( a,b\right) ^{c}\)の点である一方、\(\left( a,b\right) \)の外点ではありません。

 

外部と内部の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{align*}
x\in A^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}(x)\subset A\quad \because \text{内部の定義}
\\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\subset
(A^{c})^{c}\quad \because A=(A^{c})^{c} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{align*}となるため\(A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
x\text{は}A\text{の内点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の外点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。また、\begin{align*}
x\in A^{e}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}(x)\subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{align*}となるため\(A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}\)も成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
x\text{は}A\text{の外点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の内点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。以上の事実を命題としてまとめておきます。

命題(外部と内部の関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e} \\
&&\left( b\right) \ A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能であることを以前に指摘しました。さらに内部が定義されれば、上の命題より、外部という概念を間接的に定義することもできます。つまり\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の外部を、補集合\(A^{c}\)の内部として定義できるということです。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合の外部という概念もまた\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能です。

 

外部と開集合の関係

以前に示したように、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることと\(A=A^{i}\)が成り立つことは必要十分です。また、先に示したように、内部と外部の間には\(A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立つため、\(A\)が開集合であることと\(A=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立つこともまた必要十分です。

命題(外部による開集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。
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\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、先に示した内部と外部の関係より\(A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}\)が成り立ちます。\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)は\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(A^{c}\)の内部ですが、以前に示したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)もまた開集合です。したがって、それと等しい\(A^{e}\)もまた開集合です。\(\mathbb{R} \)の部分集合の外部は開集合であるということです。

命題(外部は開集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合である。
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先に示したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合ですが、\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものです。つまり、\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{e}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{O}:B\subset A^{c}\right) \Rightarrow B\subset
A^{e}
\end{equation*}が成り立つということです。実際、先に示した内部と外部の関係を用いて上の命題を言い換えると、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{O}:B\subset A^{c}\right) \Rightarrow B\subset
\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{equation*}となりますが、開集合系による内部の特徴づけに関する命題よりこれは真です(確認してください)。

命題(開集合系による外部の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{e}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{O}:B\subset A^{c}\right) \Rightarrow B\subset
A^{e}
\end{equation*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとしましょう。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} \)の開集合の中でも、\(A^{c}\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の外部\(A^{e}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の外部という概念は、\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

外部と集合演算

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、これは\(B^{c}\subset A^{c}\)と必要十分です。このとき、包含関係と内部の関係より\(\left( B^{c}\right) ^{i}\subset \left( A^{c}\right) ^{i}\)を得ます。内部と外部の関係を用いてこれを言い換えると\(B^{e}\subset A^{e}\)を得ます。

命題(包含関係と外部)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow B^{e}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つ。

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実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) ^{e} &=&\left( \left( A\cup B\right) ^{c}\right)
^{i}\quad \because \text{内部と外部の関係} \\
&=&\left( A^{c}\cap B^{c}\right) ^{i}\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&\left( A^{c}\right) ^{i}\cap \left( B^{c}\right) ^{i}\quad \because \text{共通部分と内部} \\
&=&A^{e}\cap B^{e}\quad \because \text{内部と外部の関係}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{e}=A^{e}\cap B^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の外部は、個々の集合の外部の共通部分と一致するということです。

命題(外部と集合演算)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{e}=A^{e}\cap B^{e}
\end{equation*}が成り立つ。

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次回は境界点や境界という概念について解説します。

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