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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

外点・外部

目次

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外点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍の中に\(A\)の補集合\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset
A^{c}
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の外点(exterior point)と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)上の任意の点が\(A^{c}\)の点であること、すなわち\(A\)の点でないことを意味します。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の外点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として含むため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の外点は必ず\(A^{c}\)の要素になるということです。\(A^{c}\)の要素ではない点は\(A\)の外点になり得ないため、\(A\)の外点を探す際には\(A^{c}\)の点だけを候補としても問題はありません。

命題(集合の外点はその集合の補集合の要素)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)の任意の外点は\(A^{c}\)の要素である。
例(有界開区間の外点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先の命題より、\(\left( a,b\right) \)の任意の点は\(\left( a,b\right) \)の外点になり得ません。\(x<a\)を満たす点\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{equation*}\varepsilon =a-x>0
\end{equation*}をとることができ、この場合には\(N_{\varepsilon }\left(x\right) \)が\(\left( a,b\right) ^{c}\)の部分集合になります(演習問題にします)。\(b>x\)を満たす点\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{equation*}\varepsilon =x-b>0
\end{equation*}をとることができ、この場合には\(N_{\varepsilon }\left(x\right) \)が\(\left( a,b\right) ^{c}\)の部分集合になります(演習問題にします)。また、点\(a\)や点\(b\)を中心とする任意の近傍は\(\left( a,b\right) \)と交わるため、これらの点は\(\left( a,b\right) \)の外点ではありません(演習問題にします)。したがって、\(\left(a,b\right) \)のすべての外点からなる集合は、\begin{equation*}\left[ a,b\right] ^{c}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x<a\vee b<x\right\}
\end{equation*}となります。

例(有界開区間の外点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先の命題より、\(\left[ a,b\right] \)の任意の点は\(\left[ a,b\right] \)の外点になり得ません。\(\left[ a,b\right] ^{c}\)の任意の点が\(\left[ a,b\right] \)の外点であることが先と同様の方法により示されます。したがって、\(\left[ a,b\right] \)のすべての外点からなる集合は、\begin{equation*}\left[ a,b\right] ^{c}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x<a\vee b<x\right\}
\end{equation*}です(演習問題にします)。

例(有理数空間の外点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について考えます。先の命題より、\(\mathbb{Q} \)の任意の要素は\(\mathbb{Q} \)の外点ではありません。補集合\(\mathbb{Q} ^{c}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)はすべての無理数からなる集合ですが、その要素、すなわち任意の無理数もまた\(\mathbb{Q} \)の外点ではありません。実際、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、有理数の稠密性より、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には有理数が存在することが示され、したがって\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の部分集合にならないからです(演習問題にします)。したがって、\(\mathbb{Q} \)の外点は存在しません。
例(無理数空間の外点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について考えます。先の命題より、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の任意の要素は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の外点ではありません。補集合\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{c}=\mathbb{Q} \)はすべての有理数からなる集合ですが、その要素、すなわち任意の有理数もまた\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の外点ではありません。実際、点\(x\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、無理数の稠密性より、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には無理数が存在することが示され、したがって\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{Q} \)の部分集合にならないからです(演習問題にします)。したがって、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の外点は存在しません。
例(実数空間の外点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。先の命題より、\(\mathbb{R} \)の任意の要素は\(\mathbb{R} \)の外点ではありません。したがって、\(\mathbb{R} \)の外点は存在しません。

 

外部

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての外点からなる集合を\(A\)の外部(exterior)と呼び、\begin{equation*}A^{e},\quad \mathrm{ext}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{e} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \subset A^{c}\quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(有界開区間の外部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(\left( a,b\right) \)のすべての外点からなる集合は\(\left[ a,b\right] ^{c}\)であるため、\begin{equation*}\left( a,b\right) ^{e}=\left[ a,b\right] ^{c}
\end{equation*}となります。

例(有界開区間の外部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(\left[ a,b\right] \)のすべての外点からなる集合は\(\left[ a,b\right] ^{c}\)であるため、\begin{equation*}\left[ a,b\right] ^{e}=\left[ a,b\right] ^{c}
\end{equation*}となります。

例(有理数空間の外部)
先に確認したように、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は外点を持たないため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{e}=\phi\end{equation*}となります。

例(無理数空間の外部)
先に確認したように、すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は外点を持たないため、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{e}=\phi
\end{equation*}となります。

例(実数空間の外部)
先に確認したように、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)は外点を持たないため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{e}=\phi \end{equation*}となります。

 

外部と内部の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{align*}x\in A^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A\quad \because \text{内部の定義}
\\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\subset
(A^{c})^{c}\quad \because A=(A^{c})^{c} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の内点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の外点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。また、\begin{align*}
x\in A^{e}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{equation*}も成り立ちます。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の外点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の内点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。以上の事実を命題としてまとめておきます。

命題(内部と外部の関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e} \\
&&\left( b\right) \ A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能であることを以前に指摘しました。さらに内部が定義されれば、上の命題より、外部という概念を間接的に定義できます。つまり\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の外部を、その補集合\(A^{c}\)の内部として定義できるということです。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合の外部という概念もまた\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能です。

 

外部を用いた開集合および閉集合の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の任意の外点は補集合\(A^{c}\)の要素です。したがって\(A\)の外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合です。

命題(集合の外部はその集合の補集合の部分集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{e}\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ。

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について\(A^{c}\subset A^{e}\)という関係もまた成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(補集合と外部の関係)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の外部は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{e}=\left[ a,b\right] ^{c}
\end{equation*}です。点\(a,b\)はともに\(\left(a,b\right) ^{c}\)の要素である一方で\(\left[ a,b\right] ^{c}\)すなわち\(\left( a,b\right) ^{e}\)の要素ではありません。したがって\(\left( a,b\right) ^{c}\subset \left( a,b\right) ^{e}\)は成り立ちません。

では、どのような条件のもとで\(A^{c}\subset A^{e}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{c}\subset A^{e}\)という関係もまた成立します。

命題(外部による開集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。
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\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{e}\subset A^{c}\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{c}\subset A^{e} &\Leftrightarrow &A^{c}\subset A^{e}\wedge A^{e}\subset
A^{c}\quad \because A^{e}\subset A^{c}\text{は恒真式}
\\
&\Leftrightarrow &A^{c}=A^{e}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}=A^{c}=A^{e}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(外部による開集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{c}=A^{e}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。

閉集合は開集合の補集合として定義されます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(外部による閉集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{c}=A^{e}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。

 

開集合を用いた外部の定義

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、その外部に関して、\begin{equation*}A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(A^{c}\)の内部である\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)は開集合であり、したがってそれと等しい\(A^{e}\)もまた開集合です。つまり、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合の外部は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるということです。

命題(外部は開集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合である。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その外部\(A^{e}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} \)上の開集合です。\(A^{c}\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合は\(A^{e}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{e}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A^{c}\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{e}\)の間には\(B\subset A^{e}\)という関係が成り立つということです(演習問題にします)。

命題(開集合を用いた外部の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{e}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A^{c}\Rightarrow B\subset
A^{e}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の開集合の中でも、\(A^{c}\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の外部\(A^{e}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の外部という概念は\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

演習問題

問題(有界開区間の外部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{e}=\left[ a,b\right] ^{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(有界閉区間の外部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{e}=\left[ a,b\right] ^{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(有理数空間の外部)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{e}=\phi\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(無理数空間の外部)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{e}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(包含関係と外部)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow B^{e}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合および共通部分と外部)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{e}=A^{e}\cap B^{e}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回は境界点や境界という概念について解説します。

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