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実数空間における集合の切断

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集合の切断

実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに対して、\(\mathbb{R} \)上の2つの開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) =\phi
\\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right) =X \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合には、すなわち、開集合\(A,B\)との交わりをとることにより集合\(X\)を互いに素な2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)に分割できる場合には、このような開集合からなる組\(\left\{ A,B\right\} \)を\(X\)の切断(disconnection)と呼びます。

空集合\(\phi \)は開集合ですが、開集合\(A,B\)の少なくとも一方が空集合\(\phi \)である場合には条件\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)の少なくとも一方が成り立たなくなってしまうため、集合\(X\)の切断\(\left\{A,B\right\} \)を構成する2つの集合\(A,B\)はいずれも非空でなければなりません。つまり、条件\(\left(c\right) ,\left( d\right) \)は\(A\not=\phi \)かつ\(B\not=\phi \)を含意するということです。

例(集合の切断)
以下のような\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}X=\left( 0,\frac{1}{2}\right) \cup \left( \frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}に注目します。さらに、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}に注目します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A,B\)は開集合です。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right) =A\cup
B=X \\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) =A\cap
B=\phi \\
&&\left( c\right) \ X\cap A=A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B=B\not=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{A,B\right\} \)は\(X\)の切断です。続いて、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}C &=&\left( -\infty ,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},+\infty \right)
\end{eqnarray*}に注目します。無限半開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(C,D\)は開集合です。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap C\right) \cup \left( X\cap D\right) =\left(
0,\frac{1}{2}\right) \cup \left( \frac{1}{2},1\right) =X \\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap C\right) \cap \left( X\cap D\right) =\left(
0,\frac{1}{2}\right) \cap \left( \frac{1}{2},1\right) =\phi \\
&&\left( c\right) \ X\cap C=\left( 0,\frac{1}{2}\right) \not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap D=\left( \frac{1}{2},1\right) \not=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{C,D\right\} \)もまた\(X\)の切断です。この例が示唆するように、集合の切断は1つだけであるとは限りません。
例(実数空間の切断)
実数空間\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)自身の部分集合であるため、その切断を考えることができます。具体的には、2つの開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が\(\mathbb{R} \)の切断であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( \mathbb{R} \cap A\right) \cap \left( \mathbb{R} \cap B\right) =\phi \\
&&\left( b\right) \ \left( \mathbb{R} \cap A\right) \cup \left( \mathbb{R} \cap B\right) =\mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \mathbb{R} \cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ \mathbb{R} \cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つことを意味しますが、\(A,B\subset \mathbb{R} \)ゆえに\(\mathbb{R} \cap A=A\)かつ\(\mathbb{R} \cap B=B\)であるため、上の条件は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( b\right) \ A\cup B=\mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ B\not=\phi
\end{eqnarray*}と必要十分です。つまり、\(\mathbb{R} \)を互いに素な2つの非空の開集合\(A,B\)に分割できるのであれば、\(A,B\)は\(\mathbb{R} \)の切断です。

 

集合の切断の代替的な表現

集合の切断を以下のように表現することもできます。

命題(集合の切断)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)に対して、\(\mathbb{R} \)上の2つの開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\cap A\cap B=\phi \\
&&\left( b\right) \ X\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たすことは、\(\left\{A,B\right\} \)が\(X\)の切断であるための必要十分条件である。
証明

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例(集合の切断)
以下のような\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}X=\left( 0,\frac{1}{2}\right) \cup \left( \frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}に注目します。先に示したように、以下の2つの開集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}からなる組\(\left\{ A,B\right\} \)は\(X\)の切断であるため、これは上の命題の条件も満たすはずです。実際、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\cap A\cap B=X\cap \phi =\phi \\
&&\left( b\right) \ X=A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A=A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B=B\not=\phi
\end{eqnarray*}となるため条件が満たされています。また、以下の2つの開集合\begin{eqnarray*}
C &=&\left( -\infty ,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},+\infty \right)
\end{eqnarray*}からなる組\(\left\{ C,D\right\} \)もまた\(X\)の切断であるため、これも上の命題の条件を満たすはずです。実際、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\cap A\cap B=X\cap \phi =\phi \\
&&\left( b\right) \ X=\left( 0,1\right) \backslash \left\{ \frac{1}{2}\right\} \subset \mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{1}{2}\right\} =A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A=\left( 0,\frac{1}{2}\right) \not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B=\left( \frac{1}{2},1\right) \not=\phi
\end{eqnarray*}となるため条件が満たされています。以上の結果は上の命題の主張と整合的です。

 

集合の切断と分離している集合の関係

実数空間の部分集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)が分離していることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( b\right) \ A\cap B^{d}=\phi \\
&&\left( c\right) \ A^{d}\cap B=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)のすべての集積点からなる集合、すなわち\(A\)の導集合です。同様に、\(B^{d}\)は\(B\)の導集合です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)が分離していることとは、それらが互いに素であるとともに、どちらも相手の集積点を要素として持たないことを意味します。ちなみに、上の条件は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B^{a}=\phi \\
&&\left( b\right) \ A^{a}\cap B=\phi
\end{eqnarray*}と必要十分です。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)のすべての触点からなる集合、すなわち\(A\)の閉包です。同様に、\(B^{a}\)は\(B\)の閉包です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)が分離していることとは、どちらも相手の触点を要素をして持たないことを意味します。触点は内点または境界点であることを踏まえると、\(A,B\)が分離していることとは、どちらも相手の内点や境界点を要素を要素として持たないことを意味します。言い換えると、\(A\)と\(B\)はお互いに重なっておらず、また、お互いに相手の境界にも接していないということです。

空でない集合\(A,B\)が分離している場合、それらの和集合\(A\cup B\)の分割が存在することが保証されます。具体的には以下の通りです。

命題(分離される集合の和集合の切断)
実数空間の部分集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)がともに非空であるとともに分離しているならば、以下の2つの集合の組\begin{equation*}\left\{ \left( A^{a}\right) ^{c},\left( B^{a}\right) ^{c}\right\}
\end{equation*}は\(A\cup B\)の切断である。
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集合\(X\)の切断\(\left\{ A,B\right\} \)が与えられたとき、\(X\cap A\)と\(X\cap B\)は分離していることが保証されます。

命題(集合の切断から生成される分離される集合)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)に対して、2つの開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)からなる組\(\left\{A,B\right\} \)が\(X\)の切断であるならば、以下の2つの集合\begin{equation*}X\cap A,\ X\cap B
\end{equation*}は分離している。

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以上の2つの命題を踏まえると、集合の切断が存在するための必要十分条件を分離している集合を用いて以下のように表現できます。

命題(集合の切断が存在するための必要十分条件)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、分離している2つの非空な集合の和集合として\(X\)を表せることは、\(X\)の切断が存在するための必要十分条件である。さらに、\(X\)が分離している2つの非空な集合である\(A\)と\(B\)の和集合として表されている場合、\begin{equation*}\left\{ \left( A^{a}\right) ^{c},\left( B^{a}\right) ^{c}\right\}
\end{equation*}は\(X\)の切断である。また、\(X\)の切断\(\left\{ A,B\right\} \)が存在する場合、\(X\)は分離している2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)の和集合として表される。
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例(集合の切断)
以下のような\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}X=\left( 0,\frac{1}{2}\right) \cup \left( \frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}に注目します。先に示したように、以下の2つの開集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}からなる組\(\left\{ A,B\right\} \)は\(X\)の切断であるため、上の命題より、\(X\)は分離している2つの非空な集合の和集合として表されるはずです。実際、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}X\cap A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
X\cap B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\left( X\cap A\right) ^{a} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
\left( X\cap B\right) ^{a} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left( X\cap A\right) ^{a}\cap \left( X\cap B\right) &=&\phi \\
\left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) ^{a} &=&\phi
\end{eqnarray*}が成立しており、したがって\(X\cap A\)と\(X\cap B\)は分割されています。加えて、\begin{equation*}X=\left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right)
\end{equation*}が成立するため、\(X\)は分離している2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)の和集合として表されます。以上の結果は上の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

問題(集合の切断)
以下の\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}X=\left( 0,1\right) \cup \left( 1,2\right)
\end{equation*}について以下を示してください。

  1. \(X\)の切断を具体的に提示してください。
  2. \(X\)を分離している2つの非空な集合の和集合として具体的に表してください。
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問題(集合の切断)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(X\)が複数の要素を持つものとします。さらに、\(a<b\)を満たす要素\(a,b\in X\)の中に以下の条件\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} :\left( c\not\in X\wedge a<c<b\right)
\end{equation*}を満たすものが存在するものとします。以下の問いに答えてください。

  1. \(X\)の切断を具体的に提示してください。
  2. \(X\)を分離している2つの非空な集合の和集合として具体的に表してください。
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