実数空間における点の近傍・近傍系

点の近傍

実数空間に属する2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離は、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定義されます。つまり、\(x\)から\(y\)への距離は\(x\)と\(y\)の差の絶対値と等しい概念です。

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍（neighborhood of \(a\)）や開近傍（open neighborhood of \(a\)）などと呼びます。また、\(a\)を近傍の中心（center）と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径（radius）と呼びます。

点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍を、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。つまり、点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする有界開区間と実質的に等しい概念です（下図）。開区間であるため端点\(a-\varepsilon ,a+\varepsilon \)をともに含まない点に注意してください。

点の近傍系

点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、半径\(\varepsilon >0\)の大きさに応じて様々な半径を持つ点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)が得られます。そこで、点\(a\)の近傍をすべて集めてできる集合族を、\begin{equation*}N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍系（neighborhoodsystem of \(a\)）と呼びます。

点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( a,a\right) &=&0\quad \because \text{距離の不可識別同一性} \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
a\in N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}であることを意味します。点\(a\)の近傍は中心を要素として持つということです。任意の半径\(\varepsilon \)について同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:a\in N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
a\in \bigcap\limits_{\varepsilon >0}N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a\in \bigcap N\left( a\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、点\(a\)は自身の近傍系\(N\left( a\right) \)の共通部分の要素です。さらに、点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の共通部分の要素は点\(a\)以外に存在しません（演習問題）。したがって以下を得ます。

点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍系\(N\left( a\right) \)の要素、すなわち点\(a\)の近傍を2つ任意に選び、それらを\(N_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)と\(N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \)でそれぞれ表記します。近傍の定義より\(\varepsilon _{1}>0\)かつ\(\varepsilon _{2}>0\)です。このとき、この2つの近傍の双方に含まれる点\(a\)の近傍が存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset
N_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。

つまり、点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の2つの要素を任意に選んだとき、それらの共通部分の部分集合であるような\(N\left( a\right) \)の要素が必ず存在するということです。つまり、上の命題を一般的な形で表現すると、それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall A\in N\left( a\right) ,\ \forall B\in N\left( a\right) ,\ \exists
C\in N\left( a\right) :C\subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つという主張になります。このような意味において、上の命題は点の近傍系の性質を記述したものになっています。

実数空間の近傍系

点\(a\in \mathbb{R} \)に応じて中心が異なる様々な近傍系\(N\left( a\right) \)が得られます。そこで、\(\mathbb{R} \)上のすべての点の近傍系からなる集合族を、\begin{equation*}N=\left\{ N\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathbb{R} \)の近傍系（neighbourhood system of \(\mathbb{R} \)）と呼びます。

点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)をとります。この近傍に属する点\(b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、この点\(b\)の近傍の中に、先の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合であるようなものが存在することが保証されます（上図）。つまり、近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:N_{\delta
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。

部分距離空間の点の近傍

1次元のユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は実数を成分とするそれぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めます。距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たします。

非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(X\times X\)へ制限して\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X\times X:d_{X}\left( x,y\right) =d\left(
x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{X}\)を定義すれば、この\(d_{X}\)もまた距離関数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( X,d_{X}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間と呼びます。

部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その点の近傍を定義できます。具体的には以下の通りです。

空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(a\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合であり、これを、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d_{X}\left(
x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad
\because d_{X}\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad
\because d\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \quad \because
\text{絶対値の定義} \\
&=&X\cap \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}で表記します。ちなみに、\(X\subset \mathbb{R} \)ゆえに\(a\in \mathbb{R} \)であるため、もとの空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)上においてもこの点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとることができます。

同一の点\(a\in X\subset \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)を問題としている場合においても、部分空間\(X\)における点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon}^{X}\left( a\right) \)と、もとの空間\(\mathbb{R} \)におけるその点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題