近傍・近傍系

点の近傍

復習になりますが、実数空間に属する2つの点\(x,y\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離は、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定義されます。つまり、\(x\)から\(y\)への距離は\(x\)と\(y\)の差の絶対値と等しい概念です。

実数空間の点\(a\in \mathbb{R}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R}\)の点からなる集合を、\begin{equation*}
N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記し、これを点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍（\(\varepsilon \)-neighborhood of \(a\)）や、半径\(\varepsilon \)の点\(a\)の近傍（neighborhood of \(a\) with radius \(\varepsilon \)）などと呼びます。\(\varepsilon \)-近傍をシンプルに近傍（neighborhood）と呼ぶこともあります。定義よりこれは、\begin{eqnarray*}
N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。つまり、点\(a\)の近傍は\(a\)を中心とする有界開区間と実質的に等しい概念です（下図）。

点の近傍系

実数空間の点\(a\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、半径\(\varepsilon >0\)の大きさに応じて様々な半径を持つ点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が得られます。そこで、点\(a\)の近傍をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}
N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍系（neighborhood system of \(a\)）と呼びます。

点\(a\in \mathbb{R}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
d\left( a,a\right) &=&0\quad \because \text{距離の不可識別同一性} \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、近傍の定義より、これは\(a\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が成り立つことを意味します。任意の\(\varepsilon \)について同様の議論が成立するため、\(a\)は自身を中心とする任意の近傍の要素です。これは\(a\)が自身の近傍系\(N\left( a\right) \)の共通部分の要素であること、すなわち、\begin{equation*}
a\in \bigcap N\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。さらに、点\(a\)の任意の近傍に属する点は\(a\)自身ですが（証明は演習問題にします）、これは\(N\left( a\right) \)の共通部分の要素が\(a\)だけであることを意味します。

点\(a\in \mathbb{R}\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の要素、すなわち点\(a\)の近傍を2つ任意に選び、それらを\(N_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)と\(N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \)でそれぞれ表記します。\(\varepsilon _{1}>0\)かつ\(\varepsilon _{2}>0\)です。このとき、これら2つの近傍の双方に含まれる点\(a\)の近傍が必ず存在します。つまり、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset
N_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです（証明は演習問題にします）。

つまり、点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の2つの要素を任意に選んだとき、それらの共通部分の部分集合であるような\(N\left( a\right) \)の要素が必ず存在するということです。つまり、上の命題を一般的な形で表現すると、それぞれの点\(a\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
\forall A\in N\left( a\right) ,\ \forall B\in N\left( a\right) ,\ \exists
C\in N\left( a\right) :C\subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つという主張になります。このような意味において、上の命題は点の近傍系の性質を記述したものになっています。

実数空間の近傍系

実数空間の点\(a\in \mathbb{R}\)に応じて中心が異なる様々な近傍系\(N\left( a\right) \)が得られます。そこで、実数空間のすべての点の近傍系からなる集合を、\begin{equation*}
N=\left\{ N\left( a\right) \ |\ a\in
\mathbb{R}\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathbb{R}\)の近傍系（neighbourhood system of \(\mathbb{R}\)）と呼びます。

実数空間の点\(a\in \mathbb{R}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)をとります。さらに、この近傍に属する点\(b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、この点\(b\)の近傍の中に、先の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合であるようなものが必ず存在します。つまり、近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}
\forall b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:N_{\delta
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです（証明は演習問題にします）。

例（近傍系の性質）

上の命題の主張を以下に図解しました。点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が与えられたとき、その要素\(b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選ぶと、下図のように\(N_{\delta }\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を満たす点\(b\)の近傍\(N_{\delta }\left( b\right) \)を常に得ることができます。

演習問題

次回は開集合という概念について解説します。