実数空間の点 a∈R と正の実数 ε>0 が与えられたとき、a からの距離が ε よりも小さいような場所にある点からなる集合を a の ε-近傍と呼びます。これは a を中心とする有界な開区間と実質的に等しい概念です。
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点の近傍

復習になりますが、実数空間に属する2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離は、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定義されます。つまり、\(x\)から\(y\)への距離は\(x\)と\(y\)の差の絶対値と等しい概念です。

実数空間に属する点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)上の点からなる集合を、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記し、これを点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍(\(\varepsilon \)-neighborhood of \(a\))や、半径\(\varepsilon \)の点\(a\)の近傍(neighborhood of \(a\) with radius \(\varepsilon \))などと呼びます。\(\varepsilon\)-近傍をシンプルに近傍(neighborhood)と呼ぶこともあります。

\(\mathbb{R} \)上の点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍は、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。つまり、点\(a\)の近傍は\(a\)を中心とする有界開区間と実質的に等しい概念です。

例(点の近傍)
半径を\(2\)とする点\(1\)の近傍は、\begin{eqnarray*}
U_{2}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ d\left( x,1\right) <2\right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \left\vert x-1\right\vert <2\right\} \\
&=&\left( -1,3\right)
\end{eqnarray*}です。また、半径を\(\frac{1}{2}\)とする点\(1\)の近傍は、\begin{eqnarray*}
U_{\frac{1}{2}}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ d\left( x,1\right) <\frac{1}{2}\right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \left\vert x-1\right\vert <\frac{1}{2}\right\} \\
&=&\left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)
\end{eqnarray*}です。

 

点の近傍系

実数空間に属する点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、半径\(\varepsilon >0\)の大きさに応じて様々な近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が得られます。そこで、\(a\)の近傍をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}
U\left( a\right) =\left\{ U_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍系(neighborhood system of \(a\))と呼びます。

点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
d\left( a,a\right) &=&0\quad \because \text{距離の不可識別同一性} \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、近傍の定義より、これは\(a\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)であることを意味します。つまり、点\(a\)は自身の任意の近傍に属します。さらに、点\(a\)の任意の近傍に属する点は\(a\)自身だけです。実際、\(a\)とは異なる点\(b\)を任意に選んだとき、\(a<b\)の場合には\(\varepsilon =b-a>0\)とおくと\(d\left( a,b\right) =\varepsilon \)が成り立つため\(b\not\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)です。\(a>b\)の場合も同様です。こうして、\(b\)が属さない\(a\)の近傍を常に作ることができます。

命題(点の近傍系の性質)
実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\left[ \forall \varepsilon >0:x\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \right] \Rightarrow x=a
\end{equation*}が成り立つ。
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点\(a\in \mathbb{R} \)と、異なる2つの半径\(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}>0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍である\(U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)と\(U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \)を作ります。これら2つの近傍は中心に相当する点\(a\)を共有していますが半径は異なるということです。このとき、これら2つの近傍の両方に含まれる点\(a\)の近傍が必ず存在します。つまり、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right)
\cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす半径\(\varepsilon >0\)が必ず存在するということです。実際、\(\varepsilon _{1}>\varepsilon _{2}\)の場合には、\begin{equation*}
U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
=U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}であり、逆に\(\varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\)の場合には、\begin{equation*}
U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
=U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right)
\end{equation*}であるため、\(\varepsilon =\min \left\{ \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right\} \)とおくことにより目標は達成されます(確認してください)。

命題(点の近傍系の性質)
実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\forall \varepsilon _{1}>0,\ \forall \varepsilon _{2}>0,\ \exists
\varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset U_{\varepsilon
_{1}}\left( a\right) \cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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実数空間の近傍系

実数空間に属する点\(a\in \mathbb{R} \)に応じて様々な近傍系\(U\left( a\right) \)が得られます。そこで、実数空間のすべての点の近傍系からなる集合を、\begin{equation*}
U=\left\{ U\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathbb{R} \)の近傍系(neighbourhood system of \(\mathbb{R} \))と呼びます。

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)をとります。さらに、この近傍に属する点\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、この点\(b\)の近傍の中に、先の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合であるようなものが必ず存在します。つまり、\begin{equation*}
U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を満たすような半径\(\delta >0\)が必ず存在するということです。実際、\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)より\(\left\vert a-b\right\vert <\varepsilon \)が成り立ちますが、このとき、\begin{equation*}
0<\delta <\varepsilon -\left\vert a-b\right\vert
\end{equation*}を満たす\(\delta \)をとることができますが、これが探している半径に他なりません(演習問題にします)。

命題(近傍系の性質)
実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、任意の\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \Rightarrow \left[ \exists \delta
>0:U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
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次回は開集合という概念について解説します。

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