集合族
これまでの章では、一つひとつの集合について考えてきました。しかし数学では、一つの集合だけでなく、多数の集合を同時に扱う場面が数多く現れます。例えば、ある集合のすべての部分集合、ある空間のすべての開集合、ある条件を満たすすべての集合などをまとめて考えることがあります。このように、要素が集合であるような集合を集合族と呼びます。本節では集合族の概念を導入し、有限集合族・可算集合族・添字付き集合族へと一般化していきます。
集合の要素がいずれも集合である場合、そのことを明示したい場合にはそれを集合族（family of sets）や集合系（collection of sets）、もしくは集合の集合（set of sets）などと呼びます。
集合を表記する記号としてアルファベットの大文字\(A,B,C,\cdots \)が使われるのに対し、集合族を表記する場合にはドイツ文字\begin{equation*}\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C},\cdots
\end{equation*}を使うのが慣例です。ただ、そうしなければならないという決まりはないため、文脈から判断する必要があります。
\left\{ \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,\left\{ 1,3\right\}
\right\}
\end{equation*}は集合族であり、その要素は\(\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 2,3\right\},\left\{ 1,3\right\} \)という3つの集合です。
\left\{ 1,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \right\}
\end{equation*}の要素\(\left\{ 1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \)は集合である一方で、要素\(1\)は集合ではありません。したがって、先の集合は集合族ではありません。
&&\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \\
&&\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\}
\end{eqnarray*}などはいずれも集合族です。
\end{equation*}は集合族です。
,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,A\right\}
\end{equation*}です。空集合\(\phi \)や\(A\)自身もまた\(A\)の部分集合であるため、これらもまた上の集合族の要素であることに注意してください。
有限集合族
有限個の集合を要素として持つ集合族を有限集合族（finite family of sets）と呼びます。
\left\{ \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,\left\{ 1,3\right\}
\right\}
\end{equation*}は3つの集合を要素として持つ有限集合族です。
\left\{ \phi \right\}
\end{equation*}は1つの集合を要素として持つ有限集合族です。
有限集合族をどのような形で一般的に表現すればよいでしょうか。有限集合族は有限個の集合を要素をして持つため、その個数\(n\)は有限な自然数です。この場合、その\(n\)個の集合に\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)と順番に番号を振ることができるため、それらを要素をして持つ有限集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\right\}
\end{equation*}と外延的に表現できます。また、番号\(i\in\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)が割り当てられた集合を\(A_{i}\)と表記するのであれば、同じ集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{i}\ |\ i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と内包的に表現することもできます。慣例として、これをシンプルに、\begin{equation*}
\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }^{{}},\quad
\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}
\end{equation*}などと表現することもできます。さらに、議論の対象である集合族が有限集合族であることが文脈から明らかである場合には、よりシンプルに、\begin{equation*}
\left\{ A_{i}\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
,\cdots ,\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}を定義します。これは有限\(n\)個の集合を要素として持つ有限集合族です。この集合族を内包的に表現すると、\begin{equation*}\left\{ \left\{ 1,2,\cdots ,i\right\} \ |\ i\in \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} \right\}
\end{equation*}となります。もしくは、それぞれの番号\(i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{i}=\left\{ 1,2,\cdots ,i\right\}
\end{equation*}を定義すれば、先の集合族を、\begin{equation*}
\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},\cdots ,A_{n}\right\} ,\quad \left\{ A_{i}\right\}
_{i=1}^{n}
\end{equation*}などと表現できます。
可算集合族（集合列）
集合族が無限個の集合を要素として持つとともに、それらの集合を\(1,2,3,\cdots \)と順番に数えることができる場合、その集合族を可算集合族（countable family of sets）と呼びます。「可算」とは数えられるという意味であり、可算集合族とは、その要素である無限個の集合を\(1,2,3,\cdots \)と数えていくことが可能であるような集合族です。ただし、可算集合族は無限個の集合を要素として持つため、すべての要素を最後まで数え尽くすことはできません。
\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,2,3\right\}
,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。この集合族は無限個の集合を要素として持ちます。それぞれの自然数\(n\)について以下の集合\begin{equation*}A_{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}を定義すれば、先の集合族を、\begin{equation*}
\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}と表現できるため、その要素である集合を\(1,2,3,\cdots \)と順番に数えることができます。したがって、この集合族は可算集合族です。
可算集合族をどのような形で一般的に表現すればよいでしょうか。可算集合族は無限個の集合を要素をして持つものの、それらの集合に\(A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \)と順番に番号を振ることができるため、それらを要素をして持つ可算集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}と外延的に表現できます。可算集合族は無限個の集合を要素として持つため、それぞれの集合\(A_{n}\)に割り当てられる番号\(n\)は\(1\)から始まり、\(1\)ずつ大きくなり、永遠に大きくなり続けます。したがって、\(n\)の定義域はすべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)であるため、可算集合族を内包的に表現すると、\begin{equation*}\left\{ A_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となります。慣例として、これをよりシンプルに、\begin{equation*}
\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}},\quad \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }
\end{equation*}などと表現することもできます。さらに、議論の対象である集合族が可算集合族であることが文脈から明らかである場合には、よりシンプルに、\begin{equation*}
\left\{ A_{n}\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
集合を外延的に表現する場合、要素を並べる順番を変えても集合としては等しいです。集合族は集合であるため、可算集合族を外延的に表現する場合にも、要素である集合を並べる順番を変えても集合族として等しいです。したがって、例えば、\begin{equation*}
\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},\cdots \right\} =\left\{
A_{2},A_{1},A_{4},A_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}が成り立ちます。一方、要素である可算個の集合を並べる順番を意識する際には、それを集合列（sequence of sets）と呼び、\begin{equation*}
\left( A_{n}\right) _{n\in \mathbb{N} }^{{}},\quad \left( A_{n}\right) _{n=1}^{\infty },\quad \left( A_{n}\right)
\end{equation*}などで表記する流儀もあります。
\left\{ \left\{ 1,2,3,\cdots \right\} ,\left\{ 2,4,6,\cdots \right\}
,\left\{ 3,6,9,\cdots \right\} ,\cdots \right\}
\end{equation*}について考えます。これを内包的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{ \left\{ n,2n,3n,\cdots \right\} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となります。もしくは、それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{eqnarray*}A_{n} &=&\left\{ n,2n,3n,\cdots \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{N} \ |\ x\text{は}n\text{の倍数}\right\}
\end{eqnarray*}を定義するのであれば、先の集合族を、\begin{equation*}
\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},\cdots ,A_{n},\cdots \right\} ,\quad \left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} },\quad \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }
\end{equation*}などと表現できます。
集合に添字付けられた集合族
集合族が無限個の集合を要素として持つとともに、それらの集合を\(1,2,3,\cdots \)と順番に数えることができない場合、その集合族をどのように表現すればよいでしょうか。
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq y\leq \frac{1}{x+1}\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。例えば、\begin{eqnarray*}
A_{0} &=&\left[ 0,\frac{1}{0+1}\right] =\left[ 0,1\right] \\
A_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{1+1}\right] =\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
A_{\frac{1}{2}} &=&\left[ 0,\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\right] =\left[ 0,\frac{2}{3}\right] \\
A_{\frac{\pi }{3}} &=&\left[ 0,\frac{1}{\frac{\pi }{3}+1}\right] =\left[ 0,\frac{3}{\pi +3}\right] \end{eqnarray*}などとなります。それぞれの実数\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して集合\(A_{x}=\left[ 0,\frac{1}{x+1}\right] \)をとった上で、それらの集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)を定義します。後に濃度という概念について学ぶ際に詳しく解説しますが、区間\(\left[ 0,1\right] \)の要素であるすべての実数を\(1,2,3,\cdots \)と順番に数え上げることはできません（\(\left[ 0,1\right] \)は可算集合ではない）。したがって、集合族\(\mathfrak{A}\)の要素であるすべての集合に対して\(A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \)と順番に番号を振ることはできず、\(\mathfrak{A}\)を外延的に表現することは困難です。一方、\(x\)がとり得る値の範囲が\(\left[ 0,1\right] \)であることは分かっているため、この集合族\(\mathfrak{A}\)を、\begin{eqnarray*}\mathfrak{A} &=&\left\{ A_{x}\ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ 0,\frac{1}{x+1}\right] \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}と内包的に表現することは可能です。
上の例を参考に、議論を一般化します。集合\(\Lambda \)のそれぞれの要素\(\lambda \)に対して集合\(A_{\lambda }\)が1つずつ対応している場合、すべての\(\lambda \in \Lambda \)に関する集合\(A_{\lambda }\)を要素として持つ集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{\lambda }\ |\ \lambda \in \Lambda \right\}
\end{equation*}と内包的に表現できます。慣例として、これをより簡素に、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}と表現することもできます。このような集合族を\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族（family of sets indexed by \(\Lambda \)）と呼びます。また、\(\Lambda \)を添字集合（index set）と呼び、\(\Lambda \)のそれぞれの要素\(\lambda \in \Lambda \)を添字（index）と呼びます。さらに、それぞれの添え字\(\lambda \)に対して割り当てられた集合\(A_{\lambda }\)を添字付き集合（indexed set）と呼びます。議論の対象としている集合族の添字集合\(\Lambda \)が文脈から明らかである場合には、\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族を\begin{equation*}\left\{ A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x-1<y<x+1\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。つまり、\(A_{x}\)は\(x-1\)より大きく\(x+1\)より小さいすべての実数からなる集合です。それぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対してこのような集合\(A_{x}\)をとった上で、得られた集合を要素として持つ集合族を作ると、\begin{equation*}\left\{ A_{x}\right\} _{x\in \left[ 0,1\right] }
\end{equation*}が得られます。この集合族の添字集合は\(\left[ 0,1\right] \)であり、それぞれの添字\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対する添字付き集合は\(A_{x}\)です。
\left\{ A_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} =\left\{ A_{1},A_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}はすべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)を添字集合とする集合族です。したがって、集合に添字付けられた集合族という概念は可算集合族の一般化です。
\left\{ A_{i}\ |\ i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \right\} =\left\{
A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\right\}
\end{equation*}は\(1\)以上\(n\)以下の有限個の自然数からなる集合\(\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)を添字集合とする集合族です。したがって、集合に添字付けられた集合族という概念は有限集合族の一般化です。
上の例から明らかになったように、添字付けられた集合族は有限集合族や可算集合族などを内包する一般的な概念です。さらに、先に解説したように、添字付けられた集合族を使えば、可算集合族や有限集合族として表現できないような集合族（無限個の集合を要素として持つとともに、それらの集合を\(1,2,3,\cdots \)と順番に数えることができないケースなど）を表現することもできます。添字付けられた集合族を利用すれば、集合族という概念を一般的な形で扱うことができます。
集合系
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、そのような集合族を集合系（collection of sets）と呼ぶ場合があります。ただし、このような意味での集合系を集合族と呼ぶ場合もあるため、文脈から判断する必要があります。
\end{equation*}となります。この集合族の要素は添字付けられていないため、そのことを明示したい場合には\(\mathfrak{A}\)を集合系と呼ぶこともできます。
演習問題
&&\left\{ 1,\left\{ 2\right\} \right\} \\
&&\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} \right\} \\
&&\left\{ \phi ,\mathbb{N} \right\}
\end{eqnarray*}
A=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}のすべての一元部分集合（1つの要素を持つ部分集合）からなる集合族を書いてください。
A=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}のすべての二元部分集合（2つの要素を持つ部分集合）からなる集合族を書いてください。
- \(1\in \left\{ 1,\left\{ 1\right\} \right\} \)
- \(1\subset \left\{ 1,\left\{ 1\right\} \right\} \)
- \(\left\{ 1\right\} \subset \left\{ 1,\left\{ 1\right\} \right\} \)
- \(\left\{ \left\{ 1\right\} \right\} \in \left\{ 1,\left\{ 1\right\}\right\} \)
- \(\left\{ \left\{ 1\right\} \right\} \subset \left\{ 1,\left\{1\right\} \right\} \)
- \(\mathbb{N} \in \mathbb{N} \)
- \(\phi \in \mathbb{N} \)
- \(\phi \subset \mathbb{N} \)
- \(\mathbb{N} \in \left\{ \mathbb{N} \right\} \)
- \(\mathbb{N} \subset \left\{ \mathbb{N} \right\} \)
- \(\phi \in \left\{ \phi ,\mathbb{N} \right\} \)
- \(\phi \subset \left\{ \phi ,\mathbb{N} \right\} \)
- \(\left\{ A\ |\ A\subset \left\{ 1,2,3\right\} \wedge \left\vert A\right\vert =1\right\} \)
- \(\left\{ A\ |\ A\subset \left\{ 1,2,3\right\} \wedge \left\vert A\right\vert =2\right\} \)
- \(\left\{ A\ |\ A\subset \mathbb{N} \wedge \left\vert A\right\vert =1\right\} \)
- \(\left\{ A\ |\ A\subset \mathbb{N} \wedge \left\vert A\right\vert \leq 1\right\} \)
\end{equation*}と定義されています。\(A_{7}\)と\(A_{10}\)を求めてください。
\end{equation*}と定義されています。この集合族の最初の5つの要素\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}\)を具体的に特定してください。
\end{equation*}と定義されています。ただし、添字集合\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。この集合族の要素の中でも、\begin{equation*}A_{0},\quad A_{\frac{1}{2}},\quad A_{1},\quad A_{\frac{3}{2}},\quad A_{2}
\end{equation*}を具体的に特定してください。
