直積の差集合と差集合の直積の関係
4つの集合\(A_{1},A_{2},X_{1},X_{2}\)の間に以下の関係\begin{eqnarray*}A_{1} &\subset &X_{1} \\
A_{2} &\subset &X_{2}
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。このとき、以下の関係\begin{equation*}
A_{1}\times A_{2}\subset X_{1}\times X_{2}
\end{equation*}もまた成り立ちます。差集合\begin{eqnarray*}
&&X_{1}\backslash A_{1} \\
&&X_{2}\backslash A_{2} \\
&&\left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left( A_{1}\times A_{2}\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれとったとき、これらの間に以下の関係\begin{equation*}
\left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left( A_{1}\times A_{2}\right)
=\left( X_{1}\backslash A_{1}\right) \times \left( X_{2}\backslash
A_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\left[ 0,1\right] &\subset &\mathbb{R} \\
\left[ 0,1\right] ^{2} &\subset &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} ^{2}\backslash \left[ 0,1\right] ^{2} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \not\in \left[ 0,1\right] ^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lnot \left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] ^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not\in \left[ 0,1\right] \vee y\not\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left[ 0,1\right] ^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \times \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not\in \left[ 0,1\right] \wedge y\not\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) \not\in \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \times \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}\backslash \left[ 0,1\right] ^{2}\not=\left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \times \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
集合\(A_{1},A_{2},X_{1},X_{2}\)が以下の関係\begin{eqnarray*}A_{1} &\subset &X_{1} \\
A_{2} &\subset &X_{2}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、以下の関係\begin{equation*}
\left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left( A_{1}\times A_{2}\right)
=\left( X_{1}\backslash A_{1}\right) \times \left( X_{2}\backslash
A_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限らないことが明らかになりました。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
\left( X_{1}\backslash A_{1}\right) \times \left( X_{2}\backslash
A_{2}\right) \subset \left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left(
A_{1}\times A_{2}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。つまり、差集合の直積は直積の差集合の部分集合になります。
A_{2} &\subset &X_{2}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\left( X_{1}\backslash A_{1}\right) \times \left( X_{2}\backslash
A_{2}\right) \subset \left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left(
A_{1}\times A_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
直積の差集合
集合\(A_{1},A_{2},X_{1},X_{2}\)が以下の関係\begin{eqnarray*}A_{1} &\subset &X_{1} \\
A_{2} &\subset &X_{2}
\end{eqnarray*}を満たす場合、以下の関係\begin{equation*}
\left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left( A_{1}\times A_{2}\right)
=\left( X_{1}\backslash A_{1}\right) \times \left( X_{2}\backslash
A_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限らないことが明らかになりました。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
\left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left( A_{1}\times A_{2}\right)
=\left( \left( X_{1}\backslash A_{1}\right) \times X_{2}\right) \cup \left(
X_{1}\times \left( X_{2}\backslash A_{2}\right) \right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。
A_{2} &\subset &X_{2}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left( A_{1}\times A_{2}\right)
=\left( \left( X_{1}\backslash A_{1}\right) \times X_{2}\right) \cup \left(
X_{1}\times \left( X_{2}\backslash A_{2}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
\left[ 0,1\right] &\subset &\mathbb{R} \\
\left[ 0,1\right] ^{2} &\subset &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} ^{2}\backslash \left[ 0,1\right] ^{2} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \not\in \left[ 0,1\right] ^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lnot \left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] ^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not\in \left[ 0,1\right] \vee y\not\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
&&\left( \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \times \mathbb{R} \right) \cup \left( \mathbb{R} \times \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \right) \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \times \mathbb{R} \vee \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \vee y\in \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not\in \left[ 0,1\right] \vee y\not\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}\backslash \left[ 0,1\right] ^{2}=\left( \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \times \mathbb{R} \right) \cup \left( \mathbb{R} \times \left( \mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] \right) \right)
\end{equation*}を得ます。この結果は先の命題の主張と整合的です。
有限集合族の直積の差集合
2つの有限集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n},\left\{ X_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset X_{i}
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の関係\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{n}A_{i}\subset \prod_{i=1}^{n}X_{i}
\end{equation*}もまた成り立ちます。差集合\begin{eqnarray*}
&&X_{i}\backslash A_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right) \\
&&\left( \prod_{i=1}^{n}X_{i}\right) \backslash \left(
\prod_{i=1}^{n}A_{i}\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれとったとき、これらの間に以下の関係\begin{equation*}
\left( \prod_{i=1}^{n}X_{i}\right) \backslash \left(
\prod_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\prod_{i=1}^{n}\left( X_{i}\backslash
A_{i}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、直積の差集合は差集合の直積と一致するとは限りません。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
\left( \prod_{i=1}^{n}X_{i}\right) \backslash \left(
\prod_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\bigcup_{i=1}^{n}\left( X_{1}\times \cdots
\times X_{i-1}\times \left( X_{i}\backslash A_{i}\right) \times
X_{i+1}\times \cdots \times X_{n}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\left( \prod_{i=1}^{n}X_{i}\right) \backslash \left(
\prod_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\bigcup_{i=1}^{n}\left( X_{1}\times \cdots
\times X_{i-1}\times \left( X_{i}\backslash A_{i}\right) \times
X_{i+1}\times \cdots \times X_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
A_{2} &\subset &X_{2} \\
A_{3} &\subset &X_{3}
\end{eqnarray*}を満たす場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\times X_{2}\times X_{3}\right) \backslash \left( A_{1}\times
A_{2}\times A_{3}\right) \\
&=&\left( X_{1}\backslash A_{1}\times X_{2}\times X_{3}\right) \cup \left(
X_{1}\times X_{2}\backslash A_{2}\times X_{3}\right) \cup \left( X_{1}\times
X_{2}\times X_{3}\backslash A_{3}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
A_{2} &\subset &X_{2}
\end{eqnarray*}を満たす場合、先の命題より、\begin{equation*}
\left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left( A_{1}\times A_{2}\right)
=\left( X_{1}\backslash A_{1}\times X_{2}\right) \cup \left( X_{1}\times
X_{2}\backslash A_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは最初に示した命題に他なりません。
演習問題
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}=\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}は成り立つでしょうか。議論してください。
A_{2} &\subset &X_{2}
\end{eqnarray*}を満たす場合、以下の関係\begin{equation*}
\left( X_{1}\times X_{2}\right) \backslash \left( A_{1}\times A_{1}\right)
=\left( X_{1}\backslash A_{1}\right) \times \left( X_{2}\backslash
A_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。では、以上の等式が成立するような状況は起こり得るでしょうか。議論してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】