確認テスト I（集合）

集合\(A,B,C\)に関する以下の命題\begin{equation*}\left( A\cup B\right) \backslash C=A\cup \left( B\backslash C\right)
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。

集合\(A,B\)に関する以下の命題\begin{equation*}\left( x\in A\wedge A\in B\right) \Rightarrow x\in B
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。

集合\(A,B\)に関する以下の命題\begin{equation*}A\backslash \left( A\backslash B\right) =A\cap B
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。

集合\(A,B,C\)に関する主張「\(C\)が\(B\)の部分集合である一方で\(A\)の部分集合ではない場合には、\(B\)は\(A\)の部分集合ではない」を定式化した上で、この主張が正しいことを証明してください。

集合族\(\mathfrak{A},\mathfrak{B}\)がともに非空であるものとします。「和集合\(\cup \mathfrak{A},\cup \mathfrak{B}\)どうしが非空であることと、集合族\(\mathfrak{A},\mathfrak{B}\)からそれぞれ選んだ任意の集合どうしが非空であることは必要十分である」という命題を定式化した上で、この命題が成り立つことを証明してください。

非空な集合\(U\)を任意に選んだ上で、そのベキ集合を\(2^{U}\)で表記します。以下の命題\begin{equation*}\forall A\in 2^{U},\ \exists !B\in 2^{U},\ \forall C\in 2^{U}:C\backslash
A=C\cap B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、「\(\exists !\)」は「一意的に存在する」ことを表す記号です。