ド・モルガンの法則

和集合の補集合は補集合の共通部分に等しく、共通部分の補集合は補集合の和集合に等しくなります。これをド・モルガンの法則と呼びます。
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ド・モルガンの法則

集合\(A,B\)を任意に選んだとき、全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in \left( A\cap B\right) ^{c} &\Leftrightarrow &\lnot \left( x\in \left(
A\cap B\right) \right) \quad \because c\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x\in A\wedge x\in B\right) \quad \because
\cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x\in A\right) \vee \lnot \left( x\in B\right)
\quad \because \wedge ,\vee \text{に関するド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &x\in A^{c}\vee x\in B^{c}\quad \because c\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A^{c}\cup B^{c}\quad \because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) ^{c}=A^{c}\cup B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。共通部分の補集合は補集合の和集合と一致するということです。上の命題において\(\cap \)と\(\cup \)をお互いに入れ替えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) ^{c}=A^{c}\cap B^{c}
\end{equation*}を得ますが、これもまた成り立ちます。つまり、和集合の補集合は補集合の共通部分と一致します。以上をド・モルガンの法則(De Morgan’s law)と呼びます。

命題(ド・モルガンの法則)
任意の集合\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) ^{c} &=&A^{c}\cup B^{c} \\
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) ^{c} &=&A^{c}\cap B^{c}
\end{eqnarray*}
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例(ド・モルガンの法則)
任意の集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
\left( A^{c}\cap B\right) ^{c}=A\cup B^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\cap B\right) ^{c} &=&\left( A^{c}\right) ^{c}\cup B^{c}\quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&A\cup B^{c}\quad \because \text{反射律}
\end{eqnarray*}となります。
例(ド・モルガンの法則)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{equation*}
\left( A\cap \left( B\cup C\right) \right) ^{c}=\left( A^{c}\cup
B^{c}\right) \cap \left( A^{c}\cup C^{c}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap \left( B\cup C\right) \right) ^{c} &=&A^{c}\cup \left( B\cup
C\right) ^{c}\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&A^{c}\cup \left( B^{c}\cap C^{c}\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&\left( A^{c}\cup B^{c}\right) \cap \left( A^{c}\cup C^{c}\right) \quad
\because \text{分配律}
\end{eqnarray*}となります。

 

ド・モルガンの法則の一般化

集合\(A,B,C\)に関しても、ド・モルガンの法則を繰り返し適用することにより、\begin{align*}
(A\cap B\cap C)^{c}& =(\left( A\cap B\right) \cap C)^{c}\quad \because \text{結合律} \\
& =\left( A\cap B\right) ^{c}\cup C^{c}\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
& =\left( A^{c}\cup B^{c}\right) \cup C^{c}\because \text{ド・モルガンの法則} \\
& =A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}\quad \because \text{結合律}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\cap B\cap C\right) ^{c}=A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}
\end{equation*}が得られます。和集合についても同様に考えると、\begin{equation*}
\left( A\cup B\cup C\right) ^{c}=A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}
\end{equation*}が得られます。

任意の有限個の集合の共通部分についても同様の議論が成り立ちます。すなわち、有限個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)について、\begin{equation*}
\left( A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right) ^{c}=A_{1}^{c}\cup \cdots \cup
A_{n}^{c}
\end{equation*}という関係が成立するため、これを、\begin{equation*}
\left( \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\right) ^{c}=\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}
\end{equation*}で表します。和集合についても同様に考えると、\begin{equation*}
\left( A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right) ^{c}=A_{1}^{c}\cap \cdots \cap
A_{n}^{c}
\end{equation*}という関係が成立するため、これを、\begin{equation*}
\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) ^{c}=\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c}
\end{equation*}で表します。これは\(n\)に関する数学的帰納法により証明できます(演習問題にします)。

命題(ド・モルガンの法則)
任意の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\right) ^{c}
&=&\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c} \\
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) ^{c}
&=&\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c}
\end{eqnarray*}
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次回は補集合法則と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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