ある集合とその補集合の共通部分は空集合になります。また、ある集合とその補集合の和集合は全体集合になります。これを補集合法則と呼びます。

2019年3月12日:公開

補集合法則

補集合との和集合や共通部分に関して成り立つ以下の関係を補集合法則(complement law)と呼びます。

命題(補集合法則)
空集合\(\phi \)、全体集合\(U\)、そして任意の集合\(X\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ X\cap X^{c} &=&\phi \\
\left( b\right) \ X\cup X^{c} &=&U
\end{eqnarray*}
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例(補集合法則)
集合\(X\)に関する\(X\cap X^{c}\)の補集合は、ド・モルガンの法則より、\begin{equation*}
\left( X\cap X^{c}\right) ^{c}=X^{c}\cup \left( X^{c}\right) ^{c}
\end{equation*}と言い換え可能ですが、補集合法則よりこれは全体集合\(U\)と一致します。

 

空集合と全体集合の関係

空集合と全体集合の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(空集合と全体集合の関係)
空集合\(\phi \)と全体集合\(U\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \phi ^{c} &=&U \\
\left( b\right) \ U^{c} &=&\phi
\end{eqnarray*}
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つまり、空集合の補集合は全体集合であり、全体集合の補集合は空集合です。

次回は恒等法則と呼ばれる集合演算の性質について学びます。
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