補集合との共通部分や和集合
集合\(A\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}x\in A\cap A^{c} &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in A^{c}\quad \because
\text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge \lnot \left( x\in A\right) \quad \because
\text{補集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{矛盾律（}\bot \text{は恒偽式）} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \quad \because \text{空集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap A^{c}=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。集合とその補集合の共通部分は空集合と一致するということです。上の命題において\(\cap \)と\(\cup \)を入れ替え、\(\phi \)を\(U\)に入れ替えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\cup A^{c}=U
\end{equation*}を得ますが、これもまた成り立ちます。集合とその補集合の和集合は全体集合と一致するということです。以上を補集合法則（complement law）と呼びます。
\left( b\right) \ A\cup A^{c} &=&U
\end{eqnarray*}が成り立つ。
B\right) \cap \left( A\cap B\right) ^{c}\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&\phi \quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap \left( A^{c}\cup B^{c}\right) =\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
B\right) \cup \left( A\cup B\right) ^{c}\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&U\quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cup \left( A^{c}\cap B^{c}\right) =U
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
空集合と全体集合の関係
全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in \phi ^{c} &\Leftrightarrow &\lnot \left( x\in \phi \right) \quad
\because \text{補集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \bot \quad \because \text{空集合の定義（}\bot \text{は恒偽式）} \\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \top \text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &x\in U\quad \because \text{全体集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \phi ^{c}=U
\end{equation*}という関係が成り立ちます。空集合の補集合は全体集合と一致するということです。上の命題において\(\phi \)と\(U\)を入れ替えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ U^{c}=\phi
\end{equation*}を得ますが、これもまた成り立ちます全体集合の補集合は空集合と一致するということです。以上も補集合法則と呼びます。
\left( b\right) \ U^{c} &=&\phi
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つことを示します。1つ目の証明方法は、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap A^{c}\right) ^{c} &=&\phi ^{c}\quad \because \text{補集合法則} \\
&=&U\quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}というものです。もう1つの証明方法は、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap A^{c}\right) ^{c} &=&A^{c}\cup \left( A^{c}\right) ^{c}\quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&A^{c}\cup A\quad \because \text{反射律} \\
&=&A\cup A^{c}\quad \because \text{交換律} \\
&=&U\quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}というものです。
次回は恒等法則と呼ばれる集合演算の性質について学びます。
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