補集合との共通部分や和集合
全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A\subset U\)を任意に選んだとき、以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap A^{c} &=&\phi \\
\left( b\right) \ A\cup A^{c} &=&U
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これを補集合法則（complement law）と呼びます。
集合が与えられたとき、補集合との共通部分をとると空集合になるというのが\(\left(a\right) \)の主張であり、補集合との和集合をとると全体集合になるというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
命題（補集合との共通部分や和集合）
全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A\subset U\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap A^{c} &=&\phi \\
\left( b\right) \ A\cup A^{c} &=&U
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\left( b\right) \ A\cup A^{c} &=&U
\end{eqnarray*}が成り立つ。
例（補集合法則）
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cap B
\end{equation*}は集合であるため、補集合法則より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap \left( A\cap B\right) ^{c}
&=&\phi \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap B\right) ^{c} &=&U
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}は集合であるため、補集合法則より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap \left( A\cap B\right) ^{c}
&=&\phi \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap B\right) ^{c} &=&U
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
例（補集合法則）
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B
\end{equation*}は集合であるため、補集合法則より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\backslash B\right) \cap \left( A\backslash
B\right) ^{c} &=&\phi \\
\left( b\right) \ \left( A\backslash B\right) \cup \left( A\backslash
B\right) ^{c} &=&U
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}は集合であるため、補集合法則より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\backslash B\right) \cap \left( A\backslash
B\right) ^{c} &=&\phi \\
\left( b\right) \ \left( A\backslash B\right) \cup \left( A\backslash
B\right) ^{c} &=&U
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
例（補集合法則）
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( A\cap B\right) \cap \left( A^{c}\cup B^{c}\right) &=&\left( A\cap
B\right) \cap \left( A\cap B\right) ^{c}\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&\phi \quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap \left( A^{c}\cup B^{c}\right) =\phi
\end{equation*}が成り立ちます。
B\right) \cap \left( A\cap B\right) ^{c}\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&\phi \quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap \left( A^{c}\cup B^{c}\right) =\phi
\end{equation*}が成り立ちます。
空集合と全体集合の関係
全体集合\(U\)と空集合\(\phi \)の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \phi ^{c} &=&U \\
\left( b\right) \ U^{c} &=&\phi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これらもまた補集合法則と呼ばれます。
空集合の補集合をとると全体集合になるというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、全体集合の補集合をとると空集合になるというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
命題（空集合と全体集合の関係）
空集合\(\phi \)と全体集合\(U\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \phi ^{c} &=&U \\
\left( b\right) \ U^{c} &=&\phi
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\left( b\right) \ U^{c} &=&\phi
\end{eqnarray*}が成り立つ。
例（補集合法則）
集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap A^{c}\right) ^{c}=U
\end{equation*}が成り立つことを示します。1つ目の証明方法は、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap A^{c}\right) ^{c} &=&\phi ^{c}\quad \because \text{補集合法則} \\
&=&U\quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}です。もう1つの証明方法は、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap A^{c}\right) ^{c} &=&A^{c}\cup \left( A^{c}\right) ^{c}\quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&A^{c}\cup A\quad \because \text{反射律} \\
&=&A\cup A^{c}\quad \because \text{交換律} \\
&=&U\quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}が成り立つことを示します。1つ目の証明方法は、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap A^{c}\right) ^{c} &=&\phi ^{c}\quad \because \text{補集合法則} \\
&=&U\quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}です。もう1つの証明方法は、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap A^{c}\right) ^{c} &=&A^{c}\cup \left( A^{c}\right) ^{c}\quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&A^{c}\cup A\quad \because \text{反射律} \\
&=&A\cup A^{c}\quad \because \text{交換律} \\
&=&U\quad \because \text{補集合法則}
\end{eqnarray*}です。
演習問題
問題（補集合法則）
全体集合\(U\)と集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) \cup \left( A^{c}\cap B^{c}\right) =U
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】