可算集合族を構成するそれぞれの集合の要素からなる無限列をすべて集めてできる集合を可算集合族の直積と呼びます。

2019年3月14日:公開

要素の列

無限個だが\(1,2,3,\cdots \)と数えることができる成分が与えられたとき、それらを並べる順序を考慮した上で組にしたものを成分の(sequence)や無限列(infinite sequence)などと呼びます。成分の列をどのように定式化すればよいでしょうか。

成分の列を定めることは、\(1,2,3,\cdots \)という無限個の自然数に対して\(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \)という要領で成分を割り当てることを意味します。ただし、\(x_{n}\)は自然数\(n\)に対して割り当てられた成分であると同時に、成分の列を構成する\(n\)番目の成分であり、列の第\(n\)項(\(n\) th term)と呼びます。また、こうして特定された列を、\begin{equation*}
\left( x_{n}\right) _{n=1}^{\infty },\quad (x_{n})_{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}などで表します。

成分の列に関する固有性は、任意の成分の列\(\left( x_{n}\right) _{n=1}^{\infty },\left( x_{n}^{\prime }\right) _{n=1}^{\infty }\)に対して、\begin{equation*}
\left( x_{n}\right) _{n=1}^{\infty }=\left( x_{n}^{\prime }\right) _{n=1}^{\infty }\ \Leftrightarrow \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}=x_{n}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つ、というものです。つまり、2 つの成分の列が等しいこととは、任意の自然数\(n\)に対してそれらの第\(n\)項がそれぞれ等しいことを意味します。

 

可算集合族の直積

可算集合族\(\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }\)が与えられたとき、それぞれの集合\(X_{n}\)から要素\(x_{n}\in X_{n}\)を適当に選んだ上で要素の列\((x_{n})_{n=1}^{\infty }\)を構成できます。そこで、このようなすべての要素の列からなる集合を、\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{\infty }X_{i}=\{(x_{n})_{n=1}^{\infty }\ |\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X_{n}\}
\end{equation*}で表し、これを\(\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)の直積集合(direct product)やカルテシアン積(Cartesian product)などと呼びます。つまり、\begin{equation*}
(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \prod_{i=1}^{\infty }X_{i}\ \Leftrightarrow \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。また、\(X_{n}\)を\(\prod_{i=1}^{\infty }X_{i}\)の\(n\)因子(\(n\)-th factor)と呼びます。

特に、任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(X_{n}=X\)の場合にはこの直積は\(X\times \cdots \times X\times \cdots \)となるため、この集合を\(X^{\infty }\)で表します。

可算集合族\(\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }\)に含まれる少なくとも 1 つの集合\(X_{n}\)が空集合\(\phi\)の場合に\(x_{n}\in X_{n}\)は偽であるため、直積の定義より\(\prod_{i=1}^{\infty }X_{i}=\phi \)が成り立ちます。

次回は一般の集合族の直積集合について学びます。
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