和集合や共通部分は集合の順序を入れ替えても集合として等しいままです。共通部分や和集合が満たすこのような性質を交換律と呼びます。
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交換律

集合\(A,B\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in A\cap B &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in B\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in B\wedge x\in A\quad \because \wedge \text{の交換律} \\
&\Leftrightarrow &x\in B\cap A\quad \because \cap \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap B=B\cap A
\end{equation*}を得ます。2つの集合の共通部分は、集合の順序を入れ替えても変わらないということです。また、\(\left( a\right) \)において\(\cap \)を\(\cup \)に置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\cup B=B\cup A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、2つの集合の和集合は、集合の順序を入れ替えても変わりません。共通部分と和集合が満たすこのような性質を交換律(commutative law)と呼びます。

命題(交換律)
任意の集合\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap B &=&B\cap A \\
\left( b\right) \ A\cup B &=&B\cup A
\end{eqnarray*}
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例(交換律)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{eqnarray*}
A\cap \left( B\cap C\right) &=&A\cap \left( C\cap B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
&=&\left( C\cap B\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\\
&=&\left( B\cap C\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例(交換律)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( B\cup C\right) &=&A\cup \left( C\cup B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
&=&\left( C\cup B\right) \cup A\quad \because \text{交換律}
\\
&=&\left( B\cup C\right) \cup A\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

他の集合演算に関する交換律

差集合\(\backslash \)に関する交換律は、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\backslash B=B\backslash A
\end{equation*}と定義されますが、これは成り立ちません。実際、\(A\)が\(B\)の真部分集合であるとき、\(A\backslash B\)は空集合である一方で、\(B\backslash A\)は空集合ではありません。

対称差\(\triangle \)に関するベキ等律は、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\triangle B=B\triangle A
\end{equation*}と定義されますが、これは成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\quad \because \triangle \text{の定義} \\
&=&\left( B\backslash A\right) \cup \left( A\backslash B\right) \quad
\because \text{交換律} \\
&=&B\triangle A
\end{eqnarray*}となります。

次回は結合律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。
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