和集合や共通部分は集合の順序を入れ替えても変わりません。共通部分や和集合が満たすこのような性質を交換律と呼びます。

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交換律

和集合や共通部分は集合の順序を入れ替えても変わりません。共通部分や和集合が満たすこのような性質を交換律(commutative law)と呼びます。

命題(交換律)
任意の集合\(X,Y\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ X\cap Y &=&Y\cap X \\
\left( b\right) \ X\cup Y &=&Y\cup X
\end{eqnarray*}
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集合\(X,Y\)の共通部分を扱う場合には、交換律より、それを\(X\cap Y\)と\(Y\cap X\)のどちらで定式化しても構わないことになります。同様に、集合\(X,Y\)の和集合は\(X\cup Y\)と\(Y\cup X\)のどちらで定式化しても構いません。

例(交換律)
集合\(X,Y,Z\)について、\(\cap ,\cup \)に関する交換律より、\begin{eqnarray*}
X\cap \left( Y\cup Z\right) &=&X\cap \left( Z\cup Y\right) \\
&=&\left( Z\cup Y\right) \cap X \\
&=&\left( Y\cup Z\right) \cap X
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

次回は結合律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。
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