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集合演算における交換律

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交換律

集合\(A,B\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}x\in A\cap B &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in B\quad \because \text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in B\wedge x\in A\quad \because \text{論理積の交換律} \\
&\Leftrightarrow &x\in B\cap A\quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap B=B\cap A
\end{equation*}を得ます。2つの集合の共通部分は、集合の順序を入れ替えても変わらないということです。また、\(\left(a\right) \)において\(\cap \)を\(\cup \)に置き換えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\cup B=B\cup A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、2つの集合の和集合は、集合の順序を入れ替えても変わりません。共通部分と和集合が満たす以上の性質を交換律(commutative law)と呼びます。

命題(交換律)
任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap B &=&B\cap A \\
\left( b\right) \ A\cup B &=&B\cup A
\end{eqnarray*}以下が成り立つ。

証明

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例(交換律)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 4,5,6,7,8\right\} \\
B &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
A\cup B &=&\left\{ 4,5,6,7,8\right\} \cup \left\{ 2,4,6,8,10\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 2,4,5,6,7,8,10\right\} \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
B\cup A &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\} \cup \left\{ 4,5,6,7,8\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 2,4,5,6,7,8,10\right\} \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、和集合に関する交換律\begin{equation*}
A\cup B=B\cup A
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
A\cap B &=&\left\{ 4,5,6,7,8\right\} \cap \left\{ 2,4,6,8,10\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 4,6,8\right\} \quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
B\cap A &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\} \cup \left\{ 4,5,6,7,8\right\} \quad
\because \text{共通部分の定義} \\
&=&\left\{ 4,6,8\right\} \quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}となるため、共通部分に関する交換律\begin{equation*}
A\cap B=B\cap A
\end{equation*}が成立しています。

例(交換律)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{eqnarray*}A\cap \left( B\cap C\right) &=&A\cap \left( C\cap B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
&=&\left( C\cap B\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\\
&=&\left( B\cap C\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(交換律)
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cup \left( B\cup C\right) =\left( B\cup C\right) \cup A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

証明

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問題(差集合に関する交換律)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、差集合\(\backslash \)に関する交換律は、\begin{equation*}A\backslash B=B\backslash A
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。

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問題(対称差に関する交換律)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、対称差\(\triangle \)に関する交換律は、\begin{equation*}A\triangle B=B\triangle A
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。

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次回は結合律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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