交換律
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、共通部分\(\cap \)と和集合\(\cup \)に関して以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap B &=&B\cap A \\
\left( b\right) \ A\cup B &=&B\cup A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、集合どうしの共通部分や和集合は、集合の順序を入れ替えても変わらないということです。共通部分と和集合が満たすこの性質を交換律（commutative law）と呼びます。
\left( b\right) \ A\cup B &=&B\cup A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
B &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
A\cup B &=&\left\{ 4,5,6,7,8\right\} \cup \left\{ 2,4,6,8,10\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 2,4,5,6,7,8,10\right\} \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
B\cup A &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\} \cup \left\{ 4,5,6,7,8\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 2,4,5,6,7,8,10\right\} \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、和集合に関する交換律\begin{equation*}
A\cup B=B\cup A
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
A\cap B &=&\left\{ 4,5,6,7,8\right\} \cap \left\{ 2,4,6,8,10\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 4,6,8\right\} \quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
B\cap A &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\} \cup \left\{ 4,5,6,7,8\right\} \quad
\because \text{共通部分の定義} \\
&=&\left\{ 4,6,8\right\} \quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}となるため、共通部分に関する交換律\begin{equation*}
A\cap B=B\cap A
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
&&B\cap C
\end{eqnarray*}はともに集合であるため、交換律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap \left( B\cap C\right)
&=&\left( B\cap C\right) \cap \left( A\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup \left( B\cap C\right)
&=&\left( B\cap C\right) \cup \left( A\cap B\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
&&B\backslash C
\end{eqnarray*}はともに集合であるため、交換律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \cap \left( B\backslash C\right)
&=&\left( B\backslash C\right) \cap \left( A\cup B\right) \\
\left( b\right) \left( A\cup B\right) \cup \left( B\backslash C\right)
&=&\left( B\backslash C\right) \cup \left( A\cup B\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
交換律の一般化
3つの集合\(A,B,C\)が任意に与えられたとき、共通部分\(\cap \)に関する交換律を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}\left( A\cap B\right) \cap C &=&\left( B\cap A\right) \cap C\quad \because
\text{交換律} \\
&=&C\cap \left( B\cap A\right) \quad \because \text{交換律}
\\
&=&C\cap \left( A\cap B\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合、括弧が指定するように、\(A\)と\(B\)に優先的に共通部分を作用させる形で相等変換を行う限りにおいて、集合の順序を自由に入れ替えても集合として変わりません。同様に、\begin{eqnarray*}A\cap \left( B\cap C\right) &=&A\cap \left( C\cap B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
&=&\left( C\cap B\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\\
&=&\left( B\cap C\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合、括弧が指定するように、\(B\)と\(C\)に優先的に共通部分を作用させる形で相等変換を行う限りにおいて、集合の順序を自由に入れ替えても集合として変わりません。ちなみに、後ほど示す結合律と呼ばれる性質を踏まえると、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}を得るため、以上の8つの集合がすべて等しいこともまた保証されます。
和集合についても同様に考えます。また、4つ以上の集合についても同様に考えます。
有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の共通部分が与えられた場合、その集合において括弧が指定する順番で共通部分を作用させる限りにおいて、集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の順番を自由に入れ替えても集合として変わらない。また、有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の和集合が与えられた場合、その集合において括弧が指定する順番で和集合を作用させる限りにおいて、集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の順番を自由に入れ替えても集合として変わらない。
演習問題
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
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