集合どうしが等しいことを示す = を二項関係とみなしたとき、これは同値関係です。つまり、集合の相等関係は反射律、対称律、推移律を満たします。
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集合変形の根拠

集合\(A\)を任意に選んだとき、\(\subset \)の反射律より\(A\subset A\)が成り立ちますが、\(=\)の定義より、これは\(A=A\)であることを意味します。集合の相等関係\(=\)が満たすこのような性質を反射律(reflexive law)と呼びます。\(=\)が反射律を満たすことは、任意の集合はそれ自身と等しいことを意味します。

集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
A=B &\Leftrightarrow &\left( A\subset B\wedge B\subset A\right) \quad
\because =\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( B\subset A\wedge A\subset B\right) \quad \because
\wedge \text{の交換律} \\
&\Leftrightarrow &B=A\quad \because =\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(A=B\)が成り立つ場合には\(B=A\)も成り立ちます。\(=\)が満たすこのような性質を対称律(symmetric law)と呼びます。

集合\(A,B,C\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
A=B\wedge B=C &\Leftrightarrow &\left( A\subset B\wedge B\subset A\right)
\wedge \left( B\subset C\wedge C\subset B\right) \quad \because =\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( A\subset B\wedge B\subset C\right) \wedge \left(
C\subset B\wedge B\subset A\right) \quad \because \wedge \text{の交換律} \\
&\Rightarrow &A\subset C\wedge C\subset A\quad \because \subset \text{の推移律} \\
&\Leftrightarrow &A=C\quad \because =\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(A=B\)と\(B=C\)が成り立つ場合には\(A=C\)も成り立ちます。\(=\)が満たすこのような性質を推移律(transitive law)と呼びます。

命題(集合の相等関係の性質)
任意の集合\(A,B,C\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A=A \\
&&\left( b\right) \ A=B\ \Rightarrow \ B=A \\
&&\left( c\right) \ (A=B\ \wedge \ B=C)\ \Rightarrow \ A=C
\end{eqnarray*}
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上の命題は、\(=\)を二項関係(binary relation)とみなしたとき、これが同値関係(equivalence relation)であることを意味します。

 

集合の変形

集合\(A,B\)の間に\(A=B\)が成り立つ場合には、つまり、\(A\)と\(B\)が等しい要素を持つ場合には、両者は交換可能です。さらに、別の集合\(C\)が\(B=C\)を満たすものとします。すると、\(=\)の推移律より\(A=C\)が成り立つため、\(A\)と\(C\)も交換可能です。つまり、ある集合から出発して、それと等しい集合への変形を繰り返したとき、最終的に得られる集合は最初の集合と等しいことが保証されます。

集合\(A,B\)について\(A=B\)を直接示すことが困難である場合には、間に別の集合\(C\)を仲介させて\(A=C\)と\(B=C\)を示してもかまいません。なぜなら、\(=\)の推移律より、この場合には\(A=B\)であることが保証されるからです。

集合\(A\)の部分集合\(B\)に注目したとき、\(B\)と等しい集合\(B^{\prime }\)が存在するものとします。さらに、\(A\)中の\(B\)を\(B^{\prime }\)に置き換えて得られる集合を\(A^{\prime }\)で表します。\(B\)と\(B^{\prime }\)は等しいため、\(A\)と\(A^{\prime }\)もまた等しい集合です。

例(集合の変形)
集合\(A,B,C\)に関する集合\begin{equation}
A\cap \left( B\cap C\right) \tag{1}
\end{equation}について考えます。\(\left( 1\right) \)を構成する集合\(B\cap C\)について、\begin{equation*}
B\cap C=C\cap B
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}
A\cap \left( B\cap C\right) =A\cap \left( C\cap B\right)
\end{equation*}という形への変形が可能です。
例(集合の変形)
集合\(A,B\)に関する集合\begin{equation}
\left( A^{c}\right) ^{c}\cup \left( B^{c}\right) ^{c} \tag{1}
\end{equation}について考えます。\(\left( 1\right) \)を構成する集合\(\left( A^{c}\right) ^{c}\)については、\begin{equation}
\left( A^{c}\right) ^{c}=A \tag{2}
\end{equation}が成り立ち、集合\(\left( B^{c}\right) ^{c}\)については、\begin{equation}
\left( B^{c}\right) ^{c}=B \tag{3}
\end{equation}が成り立つため、\(\left( 1\right) \)は、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\right) ^{c}\cup \left( B^{c}\right) ^{c} &=&A\cup \left(
B^{c}\right) ^{c}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&A\cup B\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}という形への変形が可能です。

次回は反射律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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