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集合の変形

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集合変形の根拠

包含関係\(\subset \)は反射律を満たすため、任意の集合\(A\)について\(A\subset A\)が成り立ちますが、集合の相等関係\(=\)の定義より、これは、\begin{equation*}A=A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、任意の集合\(A\)はそれ自身\(A\)と等しいということです。\(=\)が満たすこのような性質を反射律(reflexive law)と呼びます。

集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}A=B &\Leftrightarrow &\left( A\subset B\wedge B\subset A\right) \quad
\because =\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( B\subset A\wedge A\subset B\right) \quad \because
\wedge \text{の交換律} \\
&\Leftrightarrow &B=A\quad \because =\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、集合\(A,B\)について、\(A\)と\(B\)が等しいことと\(B\)と\(A\)が等しいことは必要十分です。\(=\)が満たすこのような性質を対称律(symmetric law)と呼びます。

集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}A=B\wedge B=C &\Leftrightarrow &\left( A\subset B\wedge B\subset A\right)
\wedge \left( B\subset C\wedge C\subset B\right) \quad \because =\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( A\subset B\wedge B\subset C\right) \wedge \left(
C\subset B\wedge B\subset A\right) \quad \because \wedge \text{の交換律} \\
&\Rightarrow &A\subset C\wedge C\subset A\quad \because \subset \text{の推移律} \\
&\Leftrightarrow &A=C\quad \because =\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、集合\(A,B,C\)について、\(A\)と\(B\)が等しく\(B\)と\(C\)が等しい場合には\(A\)と\(C\)もまた等しいことが保証されます。\(=\)が満たすこのような性質を推移律(transitive law)と呼びます。

命題(集合の相等関係の性質)
任意の集合\(A,B,C\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A=A \\
&&\left( b\right) \ A=B\ \Rightarrow \ B=A \\
&&\left( c\right) \ (A=B\ \wedge \ B=C)\ \Rightarrow \ A=C\end{eqnarray*}

上の命題は、集合の相等関係\(=\)を二項関係(binary relation)とみなしたとき、これが同値関係(equivalence relation)であることを意味します。

 

集合の変形

集合\(A,B\)の間に\(A=B\)が成り立つ場合には、つまり、\(A\)と\(B\)が集合として等しい場合には、両者に含まれる要素は完全に一致するため、両者は交換可能です。さらに、別の集合\(C\)が\(B=C\)を満たすものとします。すると\(=\)の推移律より\(A=C\)が成り立つため、\(A\)と\(C\)もまた交換可能です。つまり、ある集合から出発して等しい集合への交換を繰り返したとき、最終的に得られる集合は最初の集合と等しいことが保証されます。

集合\(A,B\)に対して\(A=B\)が成り立つことを直接示すのが困難である場合には、間に別の集合\(C\)を仲介させて\(A=C\)と\(B=C\)を示してもかまいません。なぜなら、\(=\)の推移律より、この場合には\(A=B\)が成り立つことが保証されるからです。

集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)を被演算子とする集合を\(A\left( A_{1},\cdots,A_{n}\right) \)で表記します。集合\(A_{1}\)と等しい集合\(A_{1}^{\prime }\)が存在する場合、\(A\)中の\(A_{1}\)を\(A_{1}^{\prime }\)に置き換えて得られる集合を\(A\left( A_{1}^{\prime },\cdots ,A_{n}\right) \)で表記します。\(A_{1}\)と\(A_{1}^{\prime }\)は等しいため、\(A\left( A_{1},\cdots ,A_{n}\right) \)と\(A\left( A_{1}^{\prime },\cdots,A_{n}\right) \)もまた等しいことが保証されます。

例(集合の変形)
集合\(A,B,C\)を被演算子とする集合\begin{equation*}A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}について考えます。後ほど示すように、集合\(B\cap C\)について、\begin{equation}B\cap C=C\cap B \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
A\cap \left( B\cap C\right) =A\cap \left( C\cap B\right) \quad \because
\left( 1\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。

例(集合の変形)
集合\(A,B\)を被演算子とする集合\begin{equation*}\left( A^{c}\right) ^{c}\cup \left( B^{c}\right) ^{c}
\end{equation*}について考えます。後ほど示すように、集合\(\left( A^{c}\right) ^{c}\)については、\begin{equation}\left( A^{c}\right) ^{c}=A \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ち、集合\(\left( B^{c}\right) ^{c}\)については、\begin{equation}\left( B^{c}\right) ^{c}=B \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\right) ^{c}\cup \left( B^{c}\right) ^{c} &=&A\cup \left(
B^{c}\right) ^{c}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&A\cup B\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{c}\right) ^{c}\cup \left( B^{c}\right) ^{c}=A\cup B
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。

次回はベキ等律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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