集合列の上極限・下極限・極限

集合列の上極限

集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、これは可算個の集合\begin{equation*}A_{1},A_{2},\cdots
\end{equation*}を要素として持つ集合族です。

番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である\(n\)番目以降のすべての集合\(A_{n},A_{n+1},\cdots \)の和集合をとり、それを、\begin{equation*}B_{n}=\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
B_{1} &=&A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \\
B_{2} &=&A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。それぞれの番号\(n=1,2,\cdots \)について以上の形で和集合\(B_{1},B_{2},\cdots \)を特定すれば集合列\(\left\{B_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が得られます。その上で、この集合列の共通部分をとると、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }B_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が得られます。これをもとの集合列\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}で表記します。

全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\in \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n} &\Leftrightarrow &x\in
\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad
\because \text{上極限の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} :x\in \bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad \because \text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} ,\ \exists k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\wedge x\in A_{k}\right) \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、以下の関係\begin{equation*}
x\in \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\Leftrightarrow \forall n\in \mathbb{N} ,\ \exists k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\wedge x\in A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)が上極限\(\lim \sup A_{n}\)の要素であることとは、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)番目の集合\(A_{n}\)以降に\(x\)を要素として持つ集合\(A_{k}\)が必ず存在することを意味します。任意の番号\(n\)について同様の主張が成り立ちます。つまり、どれほど大きい番号\(n\)を選んだ場合でも、\(n\)番目の集合\(A_{n}\)以降に\(x\)を要素として持つ集合\(A_{k}\)が必ず存在するため、この場合、\(x\)は無限個の番号\(k\)に関する集合\(A_{k}\)の要素です。

以上の議論を踏まえると、集合列\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)が与えられたとき、任意の\(x\in U\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\Leftrightarrow x\text{は}\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\text{に属する無限個の集合の要素である}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\left\{ x\in U\ |\ \text{無限個の}k\text{について}x\in
A_{k}\right\}
\end{equation*}と表現できます。

集合列の下極限

集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、これは可算個の集合\begin{equation*}A_{1},A_{2},\cdots
\end{equation*}を要素として持つ集合族です。

番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である\(n\)番目以降のすべての集合\(A_{n},A_{n+1},\cdots \)の共通部分をとり、それを、\begin{equation*}B_{n}=\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
B_{1} &=&A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \\
B_{2} &=&A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。それぞれの番号\(n=1,2,\cdots \)について以上の形で共通部分\(B_{1},B_{2},\cdots \)を特定すれば集合列\(\left\{ B_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が得られます。その上で、この集合列の和集合をとると、\begin{equation*}\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }B_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が得られます。これをもとの集合列\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}で表記します。

全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\in \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n} &\Leftrightarrow &x\in
\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad
\because \text{下極限の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} :x\in \bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad \because \text{和集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} ,\ \forall k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\Rightarrow x\in A_{k}\right) \quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、以下の関係\begin{equation*}
x\in \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} ,\ \forall k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\Rightarrow x\in A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)が下極限\(\lim \inf A_{n}\)の要素であることとは、何らかの集合\(A_{n}\)以降のすべての集合\(A_{n},A_{n+1},\cdots \)が\(x\)を要素として持つことを意味します。つまり、この集合\(A_{n}\)以前の有限個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n-1}\)は\(x\)を要素として持つとは限りませんが、\(A_{n}\)以降の無限個の集合\(A_{n},A_{n+1},\cdots \)はいずれも\(x\)を要素として持ちます。

以上の議論を踏まえると、集合列\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)が与えられたとき、任意の\(x\in U\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\Leftrightarrow x\text{は}\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\text{に属する有限個の集合を除いたすべての集合の要素}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\left\{ x\in U\ |\ \text{有限個の番号を除いたすべての番号}k\text{について}x\in A_{k}\right\}
\end{equation*}と表現できます。

集合列の上極限と下極限は一致するとは限らない

集合列が与えられたとき、その上極限と下極限が一致するケースと一致しないケースの両方が起こり得ます。

まずは上極限と下極限が一致する集合列の例を挙げます。

以下は上極限と下極限が一致しない集合族の例です。

集合列の下極限は上極限の部分集合

集合列の上極限と下極限は一致するとは限らないことが明らかになりました。ただ、下極限が上極限の部分集合になることは保証されます。

集合列の極限

集合列の上極限と下極限は一致するとは限りません。一方、集合列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上極限と下極限が一致する場合には、すなわち、何らかの集合\(A\)のもとで、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=A
\end{equation*}が成り立つ場合には、この集合\(A\)を集合列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限（limit）と呼び、それを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=A
\end{equation*}で表記します。定義より、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf
A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

集合列の上極限と下極限が一致しない場合、その集合列の極限は存在しません。

演習問題