選択公理

選択公理

集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、その要素であるそれぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素\(a_{\lambda }\in A_{\lambda }\)を1つずつ選べば要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in\Lambda }\)が得られます。集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の直積集合とは、そのような要素の族をすべて集めてできる集合\begin{equation*}\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ \left( a_{\lambda }\right)
_{\lambda \in \Lambda }\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :a_{\lambda }\in
A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}として定義されます。集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素の中に空集合が存在する場合には、すなわち、\begin{equation}\exists \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda ^{\prime }}=\phi \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、要素の族\(\left( a_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \prod_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda } &\Leftrightarrow &a_{\lambda ^{\prime }}\in \phi
\wedge \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{ \lambda ^{\prime
}\right\} :a_{\lambda }\in A_{\lambda }\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\bot \wedge \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{
\lambda ^{\prime }\right\} :a_{\lambda }\in A_{\lambda }\quad \because
a_{\lambda ^{\prime }}\in \phi \text{は恒偽式（}\bot \text{は恒偽式）} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{恒等律} \\
&\Leftrightarrow &\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \phi
\quad \because \left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \phi
\text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}を得ます。以上の主張を1つの命題として整理すると、\begin{equation*}
\left( \exists \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda ^{\prime }}=\phi
\right) \Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}となります。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素の中に空集合が存在する場合、その集合族の直積は空集合になるということです。

では、以上の命題の逆に相当する以下の命題\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi \Rightarrow \left( \exists
\lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda ^{\prime }}=\phi \right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか。見通しを良くするために対偶をとると、\begin{equation*}
\left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}となります。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素である集合がいずれも空集合でない場合、その集合族の直積は空集合ではないという主張です。この主張を選択公理（axiom of choice）と呼びます。以下で解説するように、選択公理が成り立つことは必ずしも自明ではありません。

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合\(\Lambda \)が有限集合\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}である場合、選択公理は、\begin{equation*}
\left( \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{i=1}^{n}A_{i}\not=\phi
\end{equation*}となります。つまり、有限個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がいずれも空集合でない場合、それらの直積\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)もまた空集合ではないという主張です。実際、問題としている集合の個数が有限であり、なおかつそれらがいずれも空集合ではない場合、それらの集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)から要素を1つずつ取り出す操作が有限ステップで必ず完了し、その結果、それらの要素を成分とする組\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)を必ず得られます。直積の定義より、この組\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)は直積\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)の要素であるため、直積\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)は空集合ではないことが保証されます。つまり、集合族\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合\(\Lambda \)が有限集合である場合、選択公理は明らかに成り立ちます。

以上の例が示唆するように、集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合\(A_{\lambda }\)がいずれも空集合ではなく、なおかつ添字集合\(\Lambda \)が有限集合である場合、つまり、有限個の非空集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が与えられた場合、それぞれの集合から要素を1つずつ取り出す作業は有限ステップ内で完了するため、選択公理は明らかに成り立ちます。

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合\(\Lambda \)が無限集合である場合にも同様の議論は成立するでしょうか。具体例として、集合族\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合がすべての自然数からなる集合\begin{equation*}\Lambda =\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}である場合について考えます。自然数の個数は無限であるため\(\mathbb{N} \)は無限集合です。この場合、選択公理は、\begin{equation*}\left( \forall n\in \left\{ 1,2,\cdots \right\} :A_{n}\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{n=1}^{\infty }A_{n}\not=\phi
\end{equation*}となります。つまり、無限個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)がいずれも空集合でない場合、それらの直積もまた空集合ではないという主張です。問題としている集合の個数が無限である場合、たとえそれらの集合がすべて空集合ではないとしても、それらの集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)から要素を1つずつ取り出す操作は有限ステップでは完了しません。有限ステップで終了しないということは、すべての集合から要素を1つずつ選ぶことが可能であることが必ずしも明らかでないことを意味します。したがって、選択公理が成り立つことは必ずしも自明ではありません。選択公理を公理として認めることとは、無限個の非空の集合から要素を1つずつ選び出すという理念上の操作が可能であることを仮定することを意味します。

選択関数を用いた選択公理の表現

繰り返しになりますが、選択公理とは、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に対して以下の命題\begin{equation*}\left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。これは、非空の集合からなる集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、それぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつ取り出せる、という主張に相当します。「それぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつ取り出す」ことが可能であることを示すためには、それぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつどのように取り出すか、その具体的な取り出し方を指定すればよいとも言えます。つまり、要素の取り出し方を具体的に指定できれば選択公理が成り立つことを示したことになるということです。このような方針のもと、選択公理を別の形で表現します。

非空の集合からなる集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、以下の条件\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :f\left( \lambda \right) \in A_{\lambda }
\end{equation*}を満たす写像\begin{equation*}
f:\Lambda \rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が存在する場合、これを\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の選択関数（choice function）と呼びます。これは、それぞれの添字\(\lambda \in \Lambda \)に対して、集合\(A_{\lambda }\)から取り出す要素\(f\left( \lambda \right) \)を1つずつ具体的に指定する写像です。

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に対して選択関数が存在することは、それぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつどのように取り出すか、その具体的な取り出し方を具体的に指定できることを意味します。したがって、選択関数が存在することを示すことに成功すれば、選択公理が成り立つことを示したことになります。実際、以下が成り立ちます。

演習問題