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選択公理

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選択公理

復習になりますが、一般の集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、その直積集合は、\begin{equation*}\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ \left( a_{\lambda }\right)
_{\lambda \in \Lambda }\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :a_{\lambda }\in
A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}と定義されます。この集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素の中に空集合が存在する場合、すなわち、\(A_{\lambda ^{\prime }}=\phi \)を満たすような添字\(\lambda ^{\prime }\in \Lambda \)が存在する場合、任意の要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)について、\begin{eqnarray*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \prod_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda } &\Leftrightarrow &a_{\lambda ^{\prime }}\in \phi
\wedge \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{ \lambda ^{\prime
}\right\} :a_{\lambda }\in A_{\lambda } \\
&\Leftrightarrow &\bot \wedge \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{
\lambda ^{\prime }\right\} :a_{\lambda }\in A_{\lambda }\quad \because \text{空集合の定義(}\bot \text{は恒偽式)} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{恒等律} \\
&\Leftrightarrow &\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \phi
\quad \because \text{空集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この結論を1つの論理式として改めて整理すると、\begin{equation*}
\left( \exists \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda ^{\prime }}=\phi
\right) \Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}となります。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の中に空集合が存在する場合、その集合族の直積は空集合です。では、この論理式の逆に相当する以下の論理式\begin{equation*}\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi \Rightarrow \left( \exists
\lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda ^{\prime }}=\phi \right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか。見通しを良くするために対偶をとると、\begin{equation*}
\left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}となります。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素であるすべての集合が空集合でない場合、その集合族の直積は空集合ではないという主張です。この主張を選択公理(axiom of choice)と呼びます。以下で解説するように、選択公理が成り立つことは必ずしも自明ではありません。

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda} \)の添字集合が有限集合\(\Lambda =\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)である場合、選択公理は、\begin{equation*}\left( \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{i=1}^{n}A_{i}\not=\phi
\end{equation*}となります。つまり、有限個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がいずれも空集合でない場合、それらの直積もまた空集合ではないという主張です。実際、問題としている集合の個数が有限であり、なおかつそれらがいずれも空集合ではない場合、それらの集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)から要素を1つずつ取り出す操作が有限ステップで必ず完了し、その結果、それらの要素を成分とする\(n\)組\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)を必ず得られます。したがって、問題としている集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の直積は空集合でないことが保証されます。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の添字集合\(\Lambda \)が有限集合である場合、選択公理は明らかに成り立ちます。

例(選択公理)
左右1足ずつの靴のペア要素として持つ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)について考えます。つまり、それぞれの集合\(A_{i}\)には左足用の靴と右足用の靴が1足ずつ含まれています。それぞれの\(i\)について、\(A_{i}\)の中から左足用の靴\(a_{i}\)だけを取り出せば、\(n\)足の左足用の靴を成分とする組\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)が得られるとともに、\begin{equation*}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in \prod_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。世の中に存在する靴の数は有限であることから\(n\)は有限の数であるため、上のような組\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)が有限ステップ内で得られることが保証されます。したがって、問題としている集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の直積は空集合でないことが明らかになりました。選択公理の主張が明らかに成り立つということです。

添字集合が無限集合である場合にも同様の議論は成立するでしょうか。具体例として、集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合がすべての自然数からなる集合\(\Lambda =\mathbb{N} \)である場合について考えます。自然数の個数は無限であるため\(\mathbb{N} \)は無限集合です。この場合、選択公理は、\begin{equation*}\left( \forall n\in \left\{ 1,2,\cdots \right\} :A_{n}\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{n=1}^{\infty }A_{n}\not=\phi
\end{equation*}となります。つまり、無限個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)がいずれも空集合でない場合、それらの直積もまた空集合ではないという主張です。問題としている集合の個数が無限である場合、たとえそれらの集合がすべて空集合ではないとしても、それらの集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)から要素を1つずつ取り出す操作は有限ステップでは完了しません。有限ステップで終了しないということは、すべての集合から要素を1つずつ選ぶことが可能であることが必ずしも明らかでないことを意味します。したがって、選択公理が成り立つことは必ずしも自明ではありません。選択公理を公理として認めることとは、無限個の非空の集合から要素を1つずつ選び出すという理念上の操作が可能であることを仮定するということです。

例(選択公理)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\(n\)以下の自然数からなる集合を\(A_{n}\)で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}A_{n} &=&\left\{ m\in \mathbb{N} \ |\ 1\leq m\leq n\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,\cdots ,n-1,n\right\}
\end{eqnarray*}です。自然数\(n\)を任意に選んだとき、例えば\(1\in A_{n}\)が常に成り立つため、それぞれの集合\(A_{n}\)から要素を取り出せることは明らかです。ただ、自然数は無限に存在するため、無限個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)から自然数を1つずつ取り出すプロセスは有限ステップで完了しません。選択公理を認めることは、無限個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)から自然数を1つずつ取り出せることを仮定することを意味します。

 

選択関数を用いた選択公理の表現

任意の\(\lambda \in \lambda \)に対して\(A_{\lambda }\not=\phi \)を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :f\left( \lambda \right) \in A_{\lambda }
\end{equation*}を満たす写像\(f:\Lambda \rightarrow\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)が存在する場合、これを\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の選択関数(choice function)と呼びます。これは、それぞれの添字\(\lambda \in \Lambda \)に対して集合\(A_{\lambda }\)の要素を1つずつ具体的に選び取る写像です。以下で示すように、選択公理は選択関数を用いて表現することもできます。

命題(選択関数を用いた選択公理の表現)
任意の\(\lambda \in \lambda \)に対して\(A_{\lambda }\not=\phi \)を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が任意に与えられたとき、それに対して選択関数\(f:\Lambda \rightarrow\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)が存在することは、選択公理が成り立つための必要十分条件である。
証明

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例(選択公理と選択関数)
有限集合族\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の要素であるそれぞれの集合が、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ a,b\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ c\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 1,2\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}
A_{1}\times A_{2}\times A_{3}=\left\{ \left( a,c,1\right) ,\left(
a,c,2\right) ,\left( b,c,1\right) ,\left( b,c,2\right) \right\}
\end{equation*}であり、これは空集合ではないため選択公理が成り立ちます。この集合族\(\left\{A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の選択関数の例としては、\begin{equation*}f\left( 1\right) =a,\quad f\left( 2\right) =c,\quad f\left( 3\right) =1
\end{equation*}を満たす\(f:\left\{ 1,2,3\right\} \rightarrow A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\)や、\begin{equation*}g\left( 1\right) =b,\quad f\left( 2\right) =c,\quad f\left( 3\right) =2
\end{equation*}を満たす\(g:\left\{ 1,2,3\right\} \rightarrow A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\)などが挙げられます。
例(選択公理と選択関数)
可算集合族\(\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\)の要素であるそれぞれの集合が、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。このとき、任意の\(n\)について\(A_{n}\)は明らかに非空集合であるため、番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation}\prod_{n=1}^{N}A_{n}\not=\phi \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが保証されます。一方、選択公理とは、\begin{equation}
\prod_{n=1}^{\infty }A_{n}\not=\phi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つという主張です。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は異なる主張なのでしょうか。\(\left( 1\right) \)の主張は、どのような有限な番号\(N\)を選んだ場合においても、有限\(N\)個の非空な集合から要素を1つずつ取り出せるというものです。\(N\)を限りなく大きくすることはできますが、それでも\(N\)は有限の自然数であるため、\(N\)個の非空な集合から要素を1つずつ取り出すというプロセスは有限ステップで完了します。一方、\(\left(2\right) \)の主張は、無限個の非空な集合から要素を1つずつ取り出せるというものです。そのようなプロセスは有限ステップで完了しないため、そもそもそのようなプロセスを完遂できる保証はありません。したがって、\(\left( 2\right) \)は\(\left(1\right) \)とは異なる主張であり、\(\left( 2\right) \)を認める場合にはそれを公理と位置づけざるを得ません。ちなみに、\(\left( 2\right) \)を公理として認めることは、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :f\left( n\right) =n
\end{equation*}を満たす選択関数\(f:\mathbb{N} \rightarrow \bigcup\limits_{n=1}^{\infty }A_{n}\)や、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :g\left( n\right) =1
\end{equation*}を満たす選択関数\(g:\mathbb{N} \rightarrow \bigcup\limits_{n=1}^{\infty }A_{n}\)の存在を認めることを意味します。

 

演習問題

問題(選択公理)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)に対して、以下の集合族\begin{equation*}\mathfrak{A}=2^{\mathbb{N} }\backslash \left\{ \phi \right\}
\end{equation*}を定義したとき、その選択関数\begin{equation*}
f:\mathfrak{A}\rightarrow \cup \mathfrak{A}
\end{equation*}の具体例を挙げてください。

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問題(選択公理)
任意の\(\lambda \in \Lambda \)について\(A_{\lambda }\not=\phi \)であるとともに、\(\lambda \not=\lambda ^{\prime }\)を満たす任意の\(\lambda ,\lambda ^{\prime }\in\Lambda \)について\(A_{\lambda }\cap A_{\lambda^{\prime }}=\phi \)であるような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が任意に与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :f\left( \lambda \right) \in A_{\lambda }
\end{equation*}を満たす写像\(f:\Lambda \rightarrow\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)が存在するという主張をツェルメロの公準(Zermelo’s Postulate)と呼びます。ツェルメロの公準は選択公理と必要十分であることを証明してください。
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