選択公理
これまで一般の集合族の直積を定義しました。しかし、一般の集合族の直積が空集合でないことは必ずしも自明ではありません。本節では、この問題を体系的に扱うため、現代集合論の基本公理の一つである選択公理を導入します。
集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、その要素であるそれぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素\(a_{\lambda }\in A_{\lambda }\)を1つずつ選べば要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)が得られます。集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の直積集合とは、そのような要素の族をすべて集めることにより得られる集合\begin{equation*} \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ \left( a_{\lambda }\right)
_{\lambda \in \Lambda }\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :a_{\lambda }\in
A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}として定義されます。
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \)の要素の中に空集合が存在するものとします。つまり、\begin{equation} \exists \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda ^{\prime }}=\phi \quad \cdots (1)
\end{equation}です。仮に、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}であるならば、ある要素の族\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \prod_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が存在します。すると直積の定義より、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :a_{\lambda }\in A_{\lambda }
\end{equation*}であり、したがって先の\(\lambda ^{\prime }\in \Lambda \)についても、\begin{equation*} a_{\lambda ^{\prime }}\in A_{\lambda ^{\prime }}
\end{equation*}となりますが、これは\(\left( 1\right) \)と矛盾です。したがって背理法より、\begin{equation*} \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}であることが明らかになりました。以上の主張を1つの命題として整理すると、\begin{equation*}
\left( \exists \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda ^{\prime }}=\phi
\right) \Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}となります。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素の中に空集合が存在する場合、その集合族の直積は空集合であるということです。
では、先の命題の逆に相当する以下の命題\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi \Rightarrow \left( \exists
\lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda ^{\prime }}=\phi \right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか。見通しを良くするために対偶をとると、\begin{equation*}
\left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}を得ます。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \)の要素である集合がいずれも空集合でない場合、その集合族の直積は空集合ではないという主張です。
R_{\lambda } &=&\lambda \text{番目の右足用の靴}
\end{eqnarray*}と表記した上で、\begin{equation*}
A_{\lambda }=\left\{ L_{\lambda },R_{\lambda }\right\}
\end{equation*}と定義します。すると、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{ \left\{
L_{\lambda },R_{\lambda }\right\} \right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}は、左右1足ずつの靴からなるペアを要素として持つ添字づけられた集合族です。任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{equation*} A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}です。また、それぞれのペア\(A_{\lambda }\)から左足用の靴\(L_{\lambda }\)を選ぶことにより要素の族\begin{equation*} \left( L_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}が得られますが、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について\(L_{\lambda }\in A_{\lambda }\)であるため、\begin{equation*} \left( L_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \prod_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}で表記します。すると、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}は、靴下からなるペアを要素として持つ添字づけられた集合族です。\(A_{\lambda }\)には2つの靴下が含まれているため、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{equation*} \left\vert A_{\lambda }\right\vert =2
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}です。\(\lambda \in \Lambda \)を任意に選べば、\(A_{\lambda }\)に含まれる2つの靴下のうち、どちらか一方を選ぶことができます。つまり、\begin{equation*} \forall \lambda \in \Lambda ,\ \exists a\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}を示すためには、すべての\(\lambda \in \Lambda \)について\(a_{\lambda }\in A_{\lambda }\)を同時に満たす要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)が存在すること、すなわち、\begin{equation*} \exists \left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda },\ \forall \lambda
\in \Lambda :a_{\lambda }\in A_{\lambda }
\end{equation*}を示す必要があります。しかし、靴下には靴のような左右の区別がなく、それぞれのペアに含まれる2つの靴下を区別するための色、番号、順序なども与えられていないのであれば、そのような要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)が存在すると直ちに結論づけることはできません。ゆえに、\begin{equation*} \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことは必ずしも自明ではありません。
以上の例から明らかになったように、非空な集合からなる集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、\begin{equation} \forall \lambda \in \Lambda ,\ \exists a\in A_{\lambda } \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことと、\begin{equation}
\exists \left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda },\ \forall \lambda
\in \Lambda :a_{\lambda }\in A_{\lambda } \quad \cdots (2)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことの間には論理的な隔たりがあります。\(\left( 1\right) \)は、添字\(\lambda \)を任意に選べば、集合\(A_{\lambda }\)から何らかの要素を選べるという主張です。\(\left( 2\right) \)は、すべての\(\lambda \in \Lambda \)について\(a_{\lambda }\in A_{\lambda }\)を同時に満たすような要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)が存在するという主張です。
先の靴の例における「左足用の靴を選ぶ」という規則のように、それぞれの\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつ取り出すための明示的な規則がある場合には、その規則によって\(\left( 2\right) \)を満たす要素の族を具体的に構成できます。一方、先の靴下の例のように、そのような規則があらかじめ与えられていない集合族については、\(\left( 2\right) \)が成り立つことは自明ではありません。そこで、非空集合からなる任意の集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について\(\left( 2\right) \)が成り立つことを保証する原理として、以下の公理を導入します。
任意の添字集合\(\Lambda \)と、それによって添字づけられた任意の集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、\begin{equation*} \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つという主張を選択公理（axiom of choice）と呼びます。これは、非空集合からなる任意の添字づけられた集合族の直積は空集合ではないという主張です。
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{ \left\{
L_{\lambda },R_{\lambda }\right\} \right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}に対して、「それぞれの集合\(A_{\lambda }\)から左足用の靴\(L_{\lambda }\)を選ぶ」という明示的な規則のもとで要素の族\begin{equation*} \left( L_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}を具体的に構成できるとともに、\begin{equation*}
\left( L_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \prod_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}を得ます。したがって、この結論を得るために選択公理を用いる必要はありません。
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}であることは分かっていますが、それぞれの集合\(A_{\lambda }\)からどちらの靴下を選ぶかを指定する共通の規則は与えられていません。しかし、選択公理を認めれば、\begin{equation*} \left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \prod_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を満たす要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)が存在することを保証できます。この例のように、明示的な選択規則が与えられていない状況において要素の族の存在を保証するために選択公理を利用できます。
選択関数を用いた選択公理の表現
選択公理とは、任意の添字集合\(\Lambda \)と、それによって添字づけられた任意の集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、\begin{equation*} \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi \right)
\Rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つという主張です。これは、非空の集合からなる集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が任意に与えられたとき、すべての集合\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつ同時に取り出せることを意味します。すべての集合\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつ同時に取り出すことが可能であることを示すためには、それぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつどのように取り出すか、その具体的な取り出し方を指定すればよいとも言えます。このような方針のもと、選択公理を別の形で表現します。
非空の集合からなる集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{equation*} \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、以下の条件\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :f\left( \lambda \right) \in A_{\lambda }
\end{equation*}を満たす写像\begin{equation*}
f:\Lambda \rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が存在する場合、これを\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の選択関数（choice function）と呼びます。これは、それぞれの添字\(\lambda \in \Lambda \)に対して、集合\(A_{\lambda }\)から取り出す要素\(f\left( \lambda \right) \)を1つずつ具体的に指定する写像です。
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \)に対して選択関数\(f:\Lambda \rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)が存在する場合、選択関数の定義より、\begin{equation*} \forall \lambda \in \Lambda :f\left( \lambda \right) \in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため、要素の族\(\left( f\left( \lambda \right) \right) _{\lambda \in \Lambda }\)は、\begin{equation*} \left( f\left( \lambda \right) \right) _{\lambda \in \Lambda }\in
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を満たします。つまり、選択関数が存在する場合には、すべての集合\(A_{\lambda }\)から要素を1つずつ同時に取り出すことができます。
ただし、選択関数が存在することと、その選択関数を明示的な式や規則によって具体的に構成できることは区別する必要があります。選択公理が保証するのは選択関数の存在であり、その具体的な形ではありません。
L_{\lambda },R_{\lambda }\right\} \right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}について再考します。この集合族について、写像\begin{equation*}
f:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を、任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) =L_{\lambda }
\end{equation*}を満たすものとして定義します。これは「それぞれの集合\(A_{\lambda } \)から左足用の靴\(L_{\lambda }\)を選ぶ」という規則に他なりません。任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) =L_{\lambda }\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の選択関数です。また、選択関数\(f\)から得られる要素の族\begin{equation*} \left( f\left( \lambda \right) \right) _{\lambda \in \Lambda }=\left(
L_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}は、\begin{equation*}
\left( f\left( \lambda \right) \right) _{\lambda \in \Lambda }\in
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を満たします。したがって、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}を得ます。つまり、この例では選択関数を具体的に構成できるため、直積が非空であるという結論を得るために選択公理を用いる必要はありません。
\end{equation*}について再考します。この集合族について、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}であることは分かっていますが、それぞれの集合\(A_{\lambda }\)に含まれる2つの靴下のうち、どちらを選ぶかを指定する共通の規則は与えられていません。しかし、選択公理を認めれば、選択関数\begin{equation*} f:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が存在することを保証できます。さらに選択関数の定義より、\begin{equation*}
\left( f\left( \lambda \right) \right) _{\lambda \in \Lambda }\in
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}を得ます。この例のように、明示的な選択規則が与えられていない状況において要素の族（すなわち選択関数）の存在を保証するために選択公理を利用できます。
一般の集合族を用いた選択公理の表現
これまでは添字づけられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を用いて議論してきましたが、添字を明示しない一般の集合族\(\mathfrak{A}\)を対象とした場合には、選択公理をどのように表現できるのでしょうか。添字を明示しない一般の集合族\(\mathfrak{A}\)に関しては、選択関数を用いれば選択公理を容易に表現できます。具体的には以下の通りです。
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素がいずれも非空であるものとします。この場合の選択関数とは、それぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して、その要素\begin{equation*} f\left( A\right) \in A
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathfrak{A}\rightarrow \bigcup \mathfrak{A}
\end{equation*}として定義されます。選択公理とは、非空集合からなる任意の集合族\(\mathfrak{A}\)に対して選択関数\(f:\mathfrak{A}\rightarrow \bigcup \mathfrak{A}\)が存在することとして表現されます。
一般の集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられたとき、これを添字集合\(\mathfrak{A}\)によって添字づけられた集合族\begin{equation*} \left\{ A\right\} _{A\in \mathfrak{A}}
\end{equation*}として表現できます。添字づけられた集合族に対する選択公理より、任意の\(A\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*} f\left( A\right) \in A
\end{equation*}を満たす写像\begin{equation*}
f:\mathfrak{A}\rightarrow \bigcup \mathfrak{A}
\end{equation*}が存在しますが、これは\(\mathfrak{A}\)に関する選択関数です。
逆に、添字づけられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、これを一般の集合族\begin{equation*} \mathfrak{A}=\left\{ A_{\lambda }\ |\ \lambda \in \Lambda \right\}
\end{equation*}として表現できます。一般の集合族に対する選択公理より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) \in A_{\lambda }
\end{equation*}を満たす写像\begin{equation*}
f:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が存在しますが、これは\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に関する選択関数です。
以上の議論より、一般の集合族を用いた選択公理の定式化と、添字づけられた集合族を用いた定式化は、選択公理の表現として同値であることが明らかになりました。
\end{equation*}について考えます。\(A\in \mathfrak{A}\)は非空かつ\(A\subset \mathbb{N} \)を満たします。\(\mathbb{N} \)の非空な部分集合は最小元を必ず持つため、それぞれの\(A\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*} f\left( A\right) =\min A
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{N} \end{equation*}が定義可能です。任意の\(A\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*} f\left( A\right) =\min A\in A
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\mathfrak{A}\)の選択関数です。したがって、\begin{equation*} \prod_{A\in \mathfrak{A}}A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことが示されます。この集合族\(\mathfrak{A}\)は無限集合族ですが、「各集合の最小の要素を選ぶ」という共通の規則を利用できるため、直積が非空であることを保証するために選択公理を用いる必要はありません。
\end{equation*}について考えます。\(A\in \mathfrak{A}\)は非空かつ\(A\subset \mathbb{R} \)を満たします。この集合族について、\begin{equation*} \forall A\in \mathfrak{A}:A\not=\phi
\end{equation*}であることは分かっていますが、それぞれの集合\(A\)からどの要素を選ぶかを指定する共通の規則は与えられていません。それぞれの\(A\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*} f\left( A\right) =\min A
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は選択関数でしょうか。\(\left( 0,1\right) \in \mathfrak{A}\)に対して\(\min \left( 0,1\right) \)は存在しないため、そもそも\(f\)は写像として定義不可能です。では、それぞれの\(A\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*} g\left( A\right) =\inf A
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
g:\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が選択関数でしょうか。\(\left( -\infty ,0\right) \in \mathfrak{A}\)に対して\(\inf \left( -\infty ,0\right) \)は実数として定まらないため、そもそも\(g\)は写像として定義不可能です。\(\inf A\)が実数として定まる場合でも、それは\(A\)の要素であるとは限りません。実際、\(\left( 0,1\right) \in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{eqnarray*} g\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\inf \left( 0,1\right) \\
&=&0 \\
&\not\in &\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は選択関数でありません。一方、選択公理を認めれば、選択関数\begin{equation*} f:\mathfrak{A}\rightarrow \bigcup \mathfrak{A}
\end{equation*}が存在します。このように、明示的な選択規則が与えられていない状況において選択関数の存在を保証するために選択公理を適用できます。
選択公理を用いる必要がない場合
非空集合からなる集合族\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}が与えられているものとします。すなわち、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}です。それぞれの\(A_{\lambda } \)から選ぶべき要素の一意性や、共通の選択規則が与えられていない場合には、選択関数の具体的な形を定めることができるとは限りません。このような任意の集合族についても選択関数の存在を保証するものが選択公理です。
一方、特定の集合族について選択関数を具体的に構成できる場合や、その存在を別の方法によって証明できる場合には、選択公理を用いる必要はありません。以下では、選択公理を用いずに選択関数の存在を示すことができる代表的なケースを紹介します。
\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\not=\phi
\end{equation*}です。この場合、数学的帰納法により、\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{n}A_{i}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことが示されるため、選択公理を用いる必要はありません（演習問題）。
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}を構成するすべての集合が1点集合であるものとします。つまり、それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)に対して、ある\(a_{\lambda }\)が存在して、\begin{equation*} A_{\lambda }=\left\{ a_{\lambda }\right\}
\end{equation*}と表せるということです。\(A_{\lambda }\)は非空です。この場合、それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)に対して、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) =A_{\lambda }\text{の唯一の要素}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を定義すれば、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) \in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は選択関数です。したがって、\begin{equation*} \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、各集合からどの要素を選ぶかは一意に決まっているため、選択公理を用いる必要はありません。このような考え方を一意選択と呼びます。
\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を構成する集合が、\begin{equation*}
A_{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。\(A_{n}\)は非空です。この場合、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*} f\left( n\right) =n
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{N} \rightarrow \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}
\end{equation*}を定義すれば、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*} f\left( n\right) =n\in A_{n}
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は選択関数です。したがって、\begin{equation*} \prod_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことが示されるため、選択公理を用いる必要はありません。無限集合族であっても、各集合から選ぶ要素を指定する共通の規則が存在する場合には、その規則によって選択関数を具体的に構成できます。ちなみに、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*} g\left( n\right) =1
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
g:\mathbb{N} \rightarrow \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}
\end{equation*}も選択関数です。この例では選択関数は一意ではありませんが、明示的な規則によって少なくとも1つの選択関数を構成できます。選択関数が一意に定まらない場合でも、具体的な選択規則があれば選択公理を用いる必要はありません。
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}について、\begin{equation*}
A_{\lambda }=\left\{ L_{\lambda },R_{\lambda }\right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(L_{\lambda }\)は左足用の靴であり、\(R_{\lambda } \)は右足用の靴です。\(A_{\lambda }\)は非空です。この場合、それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)に対して、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) =L_{\lambda }
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を定義すれば、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) =L_{\lambda }\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は選択関数です。したがって、\begin{equation*} \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことが示されるため、選択公理を用いる必要はありません。各集合は複数の要素をもちますが、「左足用の靴」という指定された性質を利用して、選ぶ要素を一意に定められます。ちなみに、それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)に対して、\begin{equation*} g\left( \lambda \right) =R_{\lambda }
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
g:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}も選択関数です。ここでは「右足用の靴」という指定された性質を利用しています。
\end{equation*}について考えます。\(A\in \mathfrak{A}\)は非空かつ\(A\subset \mathbb{N} \)を満たします。先に示したように、それぞれの\(A\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*} f\left( A\right) =\min A
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{N} \end{equation*}は選択関数です。各集合が共通の順序をもつ集合の部分集合であり、各集合に最小の要素が存在する場合には、最小の要素を選ぶことによって選択関数を構成できるため、選択公理は必要ありません。
\end{equation*}が与えられているものとします。この集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に対しては、それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)に対して、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) =a_{\lambda 1}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を定義すれば、任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して、\begin{equation*} f\left( \lambda \right) =a_{\lambda 1}\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は選択関数です。したがって、\begin{equation*} \prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことが示されるため、選択公理を用いる必要はありません。具体的な要素の列挙がすべての集合に対してあらかじめ与えられている場合には、それぞれの集合から第1項を選ぶことによって選択関数を構成できるため、選択公理は必要ありません。ちなみに、すべての集合の要素が具体的な列挙されているのではなく、すべての集合の要素が列挙可能であることが分かっているだけでは、選択関数を具体的に構成できません。なぜなら、そのような場合、それぞれの集合に対して要素の列挙を1つずつ同時に選ぶという別の問題が生じてしまうからです。
演習問題
\end{equation*}と定義された集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)について、\begin{equation*} \prod_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\not=\phi
\end{equation*}を示すためには選択公理は必要でしょうか。議論してください。
\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\not=\phi
\end{equation*}です。この場合、\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{n}A_{i}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明してください。
A_{2} &=&\left\{ a,b\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ x\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。選択関数の具体例を2つ挙げてください。
\end{equation*}を満たす写像\(f:\Lambda \rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)が存在するという主張をツェルメロの公準（Zermelo’s Postulate）と呼びます。ツェルメロの公準は選択公理と必要十分であることを証明してください。
