部分集合

部分集合

集合\(X,Y\)について、\(X\)のすべての要素が同時に\(Y\)の要素でもある場合には\(X\)は\(Y\)の部分集合（subset）であるといい、このことを\(X\subset Y\)で表します。

命題関数を用いて部分集合の概念を表現します。集合\(X,Y\)を、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
Y &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}と定義します。\(X\subset Y\)という命題は、任意の要素\(x\)について\(x\in X\)が真である場合には\(x\in Y\)もまた真であるという命題、すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in U:\left( x\in X\ \Rightarrow \ x\in Y\right)
\end{equation*}という全称命題と同値です。つまり、\(X\)が\(Y\)の部分集合であることは、上の全称命題が真であることを意味します。

集合\(X,Y\)の定義より、上の全称命題は、\begin{equation*}
\forall x\in U:\left[ P\left( x\right) \ \Rightarrow \ Q\left( x\right) \right] \end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(X\)が\(Y\)の部分集合であることは、任意の要素\(x\)について命題\(P\left( x\right) \)が真である場合には命題\(Q\left( x\right) \)もまた真であることを意味します。

部分集合でないことの意味

集合\(X,Y\)について\(X\subset Y\)が真であることは、以下の全称命題\begin{equation*}
\forall x\in U:\left( x\in X\ \Rightarrow \ x\in Y\right)
\end{equation*}が真であることを意味します。\(\Rightarrow \)の定義より、これは任意の\(x\)について以下の真理値表の 2 行目が起こり得ないことを意味します。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
x\in X & x\in Y & x\in X\rightarrow x\in Y \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

逆に言うと、\(X\subset Y\)が偽であることは、上の真理値表の 2 行目の場合が起こり得るような\(x\)が存在すること、すなわち、以下の存在命題\begin{equation*}
\exists x\in U:\left( x\in X\ \wedge \ x\not\in Y\right)
\end{equation*}が真であることを意味します。つまり、\(X\)が\(Y\)の部分集合でないことは、\(X\)の要素だが\(Y\)の要素ではないような要素\(x\)が存在することを意味します。\(X\)が\(Y\)の部分集合でないことを\(X\not\subset Y\)で表します。

集合\(X,Y\)の定義より、上の存在命題は、\begin{equation*}
\exists x\in U:\left[ P\left( x\right) \ \wedge \ \lnot Q\left( x\right) \right] \end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(X\)が\(Y\)の部分集合でないことは、命題\(P\left( x\right) \)は真だが命題\(Q\left( x\right) \)が偽であるような要素\(x\)が存在することを意味します。

次回は集合が等しいことの意味を定義します。