集合 A,B について、A のすべての要素が同時に B の要素でもある場合には A は B の部分集合であると言います。
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部分集合

集合\(A\)のすべての要素が集合\(B\)の要素でもある場合には、すなわち、\begin{equation}
\forall x\in A:x\in B \tag{1}
\end{equation}という全称命題が真である場合には、\(A\)は\(B\)の部分集合(subset)であるといい、このことを\(A\subset B\)で表します。

集合\(A\)が集合\(B\)の部分集合でないことは\(\left( 1\right) \)が成り立たないこと、すなわち、\(\left( 1\right) \)の否定である、\begin{equation*}
\exists x\in A:x\not\in B
\end{equation*}が真であることを意味します。つまり、\(A\)の要素だが\(B\)の要素ではないものが存在するということです。このことを\(A\not\subset B\)で表します。

例(部分集合)
\(A=\{1,3,5\}\)と\(B=\{1,2,3,4,5\}\)の 2 つの集合について考えます。\(A\)の任意の要素は\(B\)の要素であるため\(A\subset B\)は真です。一方、\(2\in B\)かつ\(2\not\in A\)であるため、\(B\not\subset A\)が成り立ちます。
例(部分集合)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)とすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z}\)について考えます。任意の自然数は整数でもあるため\(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z} \)が成り立ちます。一方、負の整数は\(\mathbb{Z}\)の要素である一方で\(\mathbb{N}\)の要素ではないため、\(\mathbb{Z}\not\subset \mathbb{N}\)が成り立ちます。

 

部分集合の内包的表現

集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in X\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
B &=&\left\{ x\in X\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}という形で内包的に定義されているものとします。\(A\subset B\)が成り立つものとします。つまり、以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in A:x\in B \tag{1}
\end{equation}が真であるということです。\(x\in A\)を満たす\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)より\(x\in B\)が成り立ちます。つまり、\(\left( 1\right) \)が真であるとき、以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in X:\left( x\in A\Rightarrow x\in B\right) \tag{2}
\end{equation}が真です。逆に、\(\left( 2\right) \)が真である場合には\(\left( 1\right) \)も明らかに真です。したがって、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 1\right) \)は必要十分であるため、\(A\subset B\)の定義として\(\left( 2\right) \)を採用することもできます。

任意の\(x\in X\)について、\(A\)の定義より\(P\left( x\right) \Leftrightarrow x\in A\)が成り立ち、\(B\)の定義より\(Q\left( x\right) \Leftrightarrow x\in B\)が成り立つため、これらを用いて命題\(\left( 2\right) \)を同値変形すると、\begin{equation}
\forall x\in X:\left[ P\left( x\right) \Rightarrow Q\left( x\right) \right] \tag{3}
\end{equation}を得ます。したがって、\(A\subset B\)の定義として\(\left( 3\right) \)を採用することもできます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であることは、変数の定義域\(X\)に属する任意の要素\(x\)について、命題\(P\left( x\right) \)が真である場合には命題\(Q\left( x\right) \)もまた真であることを意味します。

逆に、集合\(A\)が集合\(B\)の部分集合でないことは、\(\left( 3\right) \)が成り立たないこと、すなわち、\(\left( 3\right) \)の否定である以下の存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:\left[ P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right] \end{equation*}が真であることを意味します。つまり、命題\(P\left( x\right) \)は真だが命題\(Q\left( x\right) \)は偽になるような要素\(x\)が定義域\(X\)の中に存在するということです。

例(部分集合)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>0\right\} \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}と定義されています。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それは、\begin{equation*}
x>0\Rightarrow x\geq 0
\end{equation*}を満たすため\(A\subset B\)が成り立ちます。逆に、実数\(0\in \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
0\geq 0\ \wedge \ \lnot \left( 0>0\right)
\end{equation*}を満たすため\(B\not\subset A\)が成り立ちます。

次回は集合が等しいことの意味を定義します。

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