部分集合

部分集合

集合\(A\)のすべての要素が集合\(B\)の要素でもある場合には、すなわち、\begin{equation}
\forall x\in A:x\in B \quad \cdots (1)
\end{equation}という全称命題が真である場合には、\(A\)は\(B \)の部分集合（subset）であるといい、このことを\(A\subset B\)で表記します。

集合\(A\)が集合\(B\)の部分集合でないことは\(\left( 1\right) \)が成り立たないこと、すなわち、\(\left( 1\right) \)の否定である、\begin{equation*}
\exists x\in A:x\not\in B
\end{equation*}が真であることを意味します。つまり、\(A\)の要素だが\(B\)の要素ではないものが存在するということです。このことを\(A\not\subset B\)で表します。

部分集合の内包的表現

集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in X\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
B &=&\left\{ x\in X\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}という形で内包的に定義されているものとします。\(A\subset B\)が成り立つものとします。つまり、以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in A:x\in B \quad \cdots (1)
\end{equation}が真であるということです。\(x\in A\)を満たす\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)より\(x\in B\)が成り立ちます。つまり、\(\left( 1\right) \)が真であるとき、以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in X:\left( x\in A\Rightarrow x\in B\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が真です。逆に、\(\left( 2\right) \)が真である場合には\(\left( 1\right) \)も明らかに真です。したがって、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 1\right) \)は必要十分であるため、\(A\subset B\)の定義として\(\left( 2\right) \)を採用することもできます。

任意の\(x\in X\)について、\(A\)の定義より\(P\left( x\right) \Leftrightarrow x\in A\)が成り立ち、\(B\)の定義より\(Q\left( x\right) \Leftrightarrow x\in B\)が成り立つため、これらを用いて命題\(\left( 2\right) \)を同値変形すると、\begin{equation}
\forall x\in X:\left[ P\left( x\right) \Rightarrow Q\left( x\right) \right] \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。したがって、\(A\subset B\)の定義として\(\left( 3\right) \)を採用することもできます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であることは、変数の定義域\(X\)に属する任意の要素\(x\)について、命題\(P\left( x\right) \)が真である場合には命題\(Q\left( x\right) \)もまた真であることを意味します。逆に、集合\(A\)が集合\(B\)の部分集合でないことは、\(\left( 3\right) \)が成り立たないこと、すなわち、\(\left( 3\right) \)の否定である以下の存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:\left[ P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right] \end{equation*}が真であることを意味します。つまり、命題\(P\left( x\right) \)は真だが命題\(Q\left( x\right) \)は偽になるような要素\(x\)が定義域\(X\)の中に存在するということです。

演習問題

次回は集合が等しいことの意味を定義します。