部分集合
集合\(A\)のすべての要素が集合\(B\)の要素でもある場合には、すなわち、\begin{equation}
\forall x\in A:x\in B \quad \cdots (1)
\end{equation}という全称命題が真である場合には、\(A\)は\(B \)の部分集合（subset）であるといい、このことを\(A\subset B\)で表記します。
集合\(A\)が集合\(B\)の部分集合でないことは\(\left( 1\right) \)が成り立たないこと、すなわち、\(\left( 1\right) \)の否定である、\begin{equation*}
\exists x\in A:x\not\in B
\end{equation*}が真であることを意味します。つまり、\(A\)の要素だが\(B\)の要素ではないものが存在するということです。このことを\(A\not\subset B\)で表します。
部分集合の内包的表現
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in X\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
B &=&\left\{ x\in X\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}という形で内包的に定義されているものとします。\(A\subset B\)が成り立つものとします。つまり、以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in A:x\in B \quad \cdots (1)
\end{equation}が真であるということです。\(x\in A\)を満たす\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)より\(x\in B\)が成り立ちます。つまり、\(\left( 1\right) \)が真であるとき、以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in X:\left( x\in A\Rightarrow x\in B\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が真です。逆に、\(\left( 2\right) \)が真である場合には\(\left( 1\right) \)も明らかに真です。したがって、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 1\right) \)は必要十分であるため、\(A\subset B\)の定義として\(\left( 2\right) \)を採用することもできます。
任意の\(x\in X\)について、\(A\)の定義より\(P\left( x\right) \Leftrightarrow x\in A\)が成り立ち、\(B\)の定義より\(Q\left( x\right) \Leftrightarrow x\in B\)が成り立つため、これらを用いて命題\(\left( 2\right) \)を同値変形すると、\begin{equation}
\forall x\in X:\left[ P\left( x\right) \Rightarrow Q\left( x\right) \right]
\quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。したがって、\(A\subset B\)の定義として\(\left( 3\right) \)を採用することもできます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であることは、変数の定義域\(X\)に属する任意の要素\(x\)について、命題\(P\left( x\right) \)が真である場合には命題\(Q\left( x\right) \)もまた真であることを意味します。逆に、集合\(A\)が集合\(B\)の部分集合でないことは、\(\left( 3\right) \)が成り立たないこと、すなわち、\(\left( 3\right) \)の否定である以下の存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:\left[ P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right]
\end{equation*}が真であることを意味します。つまり、命題\(P\left( x\right) \)は真だが命題\(Q\left( x\right) \)は偽になるような要素\(x\)が定義域\(X\)の中に存在するということです。
A &=&\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ x>0\right\} \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ x\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}と定義されています。実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、それは、\begin{equation*}
x>0\Rightarrow x\geq 0
\end{equation*}を満たすため\(A\subset B\)が成り立ちます。逆に、実数\(0\in \mathbb{R}\)は、\begin{equation*}
0\geq 0\wedge \lnot \left( 0>0\right)
\end{equation*}を満たすため\(B\not\subset A\)が成り立ちます。
演習問題
A &=&\left\{ 3,5,7,9,11\right\} \\
B &=&\left\{ 9,11,13\right\} \\
C &=&\left\{ 3,5,9\right\} \\
D &=&\left\{ 11,13\right\}
\end{eqnarray*}とします。このとき、以下の主張はそれぞれ真偽のどちらであるか、理由とともに答えてください。
- \(C\subset A\)
- \(B\subset A\)
- \(A\not\subset B\)
- \(D\not\subset B\)
- \(\{3\}\subset A\)
- \(\{1,2\}\subset A\)
- \(\{1\}\in A\)
- \(\{3\}\in A\)
- \(\{1,2,3\}\subset A\)
- \(\{1\}\subset A\)
A &=&\left\{ x\in
\mathbb{Z}\ |\ x\text{は}18\text{で割り切れる}\right\} \\
B &=&\left\{ x\in
\mathbb{Z}\ |\ x\text{は}6\text{で割り切れる}\right\}
\end{eqnarray*}と定義するとき、\(A\subset B\)が成り立つことを証明してください。ただし、\(\mathbb{Z}\)はすべての整数からなる集合です。
A &=&\left\{ 2,3,4,5\right\} \\
B &=&\left\{ x\in
\mathbb{Z}\ |\ x\text{は偶数}\right\}
\end{eqnarray*}と定義するとき、\(A\)は\(B \)の部分集合ではないことを示してください。ただし、\(\mathbb{Z}\)はすべての整数からなる集合です。
次回は集合が等しいことの意味を定義します。
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