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PREDICATE LOGIC

存在命題の解釈

目次

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存在命題

論理式の定義より、論理式\(A\)と変数\(x\in X\)に対して量化記号\(\exists \)を作用させることで得られる\(\exists x\in X\ A\)もまた論理式です。\(\exists \)は存在記号(existential quantifier)と呼ばれる量化記号であり、存在記号を作用させて得られる論理式\(\exists x\in X\ A\)を存在命題(existential propositioin)と呼びます。これは「\(A\)であるような値\(x\)が\(X\)の中に存在する(there exists \(x\) in \(X\) such that \(A\))」や「\(X\)のある値\(x\)について\(A\)(for some \(x\) in \(X\), \(A\))」などの表現に対応する論理式です。

存在命題\(\exists x\in X\ A\)において変数\(x\)の定義域\(X\)が文脈から明らかであるとき、それを省略して\(\exists x\ A\)と表記することができます。また、見やすさを考慮して\(\exists x\in X\ A\)を\(\exists x\in X:A\)と表記する場合もあります。

例(存在命題)
以下の主張\begin{equation}
1\text{に足すと}0\text{になるような整数が存在する} \quad \cdots (1)
\end{equation}はどのような論理式として表現できるでしょうか。命題変数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}1+x=0
\end{equation*}と定義します。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合です。\(\left( 1\right) \)の主張は「命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\)が\(X\)の中に存在する」というものであるため、\(\left( 1\right) \)を定式化すると、\begin{equation*}\exists x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}となります。

例(存在命題)
以下の主張\begin{equation}
\text{偶数ではない整数が存在する} \quad \cdots (1)
\end{equation}はどのような論理式として表現できるでしょうか。命題変数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x\right) :x\text{は偶数である}
\end{equation*}と定義します。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合です。\(\left( 1\right) \)の主張は「命題\(\lnot P\left(x\right) \)が真になるような値\(x\)が\(X\)の中に存在する」というものであるため、\(\left( 1\right) \)を定式化すると、\begin{equation*}\exists x\in X:\lnot P\left( x\right)
\end{equation*}となります。

例(存在命題)
以下の主張\begin{equation}
\text{任意の実数は平方根を持つ} \quad \cdots (1)
\end{equation}はどのような論理式として表現できるでしょうか。命題変数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x,y\right) :x=y^{2}
\end{equation*}と定義します。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)と変数\(y\)の定義域\(Y\)はともにすべての実数からなる集合です。特定の実数\(\overline{x}\in X\)に注目したとき、「実数\(\overline{x}\)は平方根を持つ」という主張は、\begin{equation}\exists y\in Y\ P\left( \overline{x},y\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}として定式化されます。\(\left( 1\right) \)の主張は、「\(\left( 2\right) \)が任意の実数\(x\)について成立する」というものであるため、\(\left( 1\right) \)を定式化すると、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists y\in Y:P\left( x,y\right)
\end{equation*}となります。

例(存在命題)
以下の主張\begin{equation}
\text{加藤が持っているものの中に鈴木が持っていないものがある} \quad \cdots (1)
\end{equation}はどのような論理式として表現できるでしょうか。命題変数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{を持っている}
\end{equation*}と定義します。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべてのものからなる集合です。\(x\)の値である加藤\(\in X\)と鈴木\(\in X\)および特定のもの\(\overline{y}\in Y\)に注目したとき、\begin{equation*}\text{加藤は}\overline{y}\text{を持っているが鈴木は}\overline{y}\text{を持っていない}
\end{equation*}」という言明は、\begin{equation}
P\left( \text{加藤},\overline{y}\right) \wedge \lnot P\left(
\text{鈴木},\overline{y}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}として定式化されます。\(\left( 1\right) \)の主張は「\(\left( 2\right) \)が成立するようなもの\(y\)が存在する」というものであるため、\(\left( 1\right) \)を定式化すると、\begin{equation*}\exists y\in Y:\left( P\left( \text{加藤},y\right) \wedge \lnot
P\left( \text{鈴木},y\right) \right)
\end{equation*}となります。また、\begin{equation*}
\text{車とバイクの両方を持っている人がいる}
\end{equation*}という言明は、\begin{equation*}
\exists x\in X:\left( P\left( x,\text{車}\right) \wedge P\left( x,\text{バイク}\right) \right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。

例(存在命題)
以下の主張\begin{equation}
\text{この町の住人の中にはお互いに知り合いでない人たちがいる} \quad \cdots (1)
\end{equation}はどのような論理式として定式化できるでしょうか。命題変数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x,y\right) :x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}と定義します。ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)と変数\(y\)の定義域\(Y\)はいずれも問題としている町のすべての住人からなる集合です。ある住人\(\overline{x}\in X\)に注目したとき、この人と知り合いでない住人がいるという主張は、\begin{equation}\exists y\in Y:\lnot P\left( \overline{x},y\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と定式化されます。\(\left( 1\right) \)の主張は、\(\left( 2\right) \)が特定の住人\(\overline{x}\)についてだけではなく、任意の住人\(x\in X\)について成り立つという主張であるため、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists y\in X:\lnot P\left( x,y\right)
\end{equation*}と定式化されます。

 

存在命題の解釈

論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であるものとします。このとき、変数\(x\)に関する存在命題\begin{equation*}\exists x\in X:A
\end{equation*}は変数\(y\)の自由な現れを持つ開論理式\begin{equation}\left( \exists x\in X:A\right) \left( y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるものと定めた上で、これを以下の論理和\begin{equation}
\bigvee\limits_{x\in X}A\left( x,y\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と同一視します。論理和についてはすでに解説した通りです。開論理式の値を特定するためには解釈、すなわち以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{y}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。解釈を任意に選ぶと論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*}\left( \exists x\in X:A\right) \left( \overline{y}\right)
\end{equation*}が得られ、論理式\(\left(2\right) \)から以下の命題\begin{equation*}\bigvee\limits_{x\in X}A\left( x,\overline{y}\right)
\end{equation*}が得られますが、これらの命題の値は一致するものと定めるということです。

ここでは話を一般化するために論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であるものとした上で、そのうちの一方\(x\)に関する存在名m代\(\exists x\in X:A\)をとりましたが、\(A\)が\(x\)の自由な現れを持つ一方で\(y\)の自由な現れを持たない場合についても同様に考えます。また、\(y\)に相当する変数の自由な現れが複数存在する場合にも同様に考えます。

例(存在命題の解釈)
以下の主張\begin{equation*}
x^{2}=2\text{を満たす実数}x\text{が存在する}
\end{equation*}について考えます。変数\(x\)の定義域\(X\)がすべての実数からなる集合であるものとします。変数\(x\)に関する命題関数\begin{equation*}x^{2}=2
\end{equation*}を用いると、先の主張は以下のような存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:x^{2}=2
\end{equation*}として定式化されます。存在命題の定義より、これは以下の論理式\begin{equation}
\bigvee\limits_{x\in X}\left( x^{2}=2\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と同一視されます。実数\(\sqrt{2}\in X\)について\(\left( \sqrt{2}\right) ^{2}=2\)は真であるため、論理和の定義より\(\left( 1\right) \)は真であるような命題です。したがって、もとの主張は真であるような命題であることが明らかになりました。
例(存在命題の解釈)
以下の主張\begin{equation*}
x^{2}=2\text{を満たす整数}x\text{が存在する}
\end{equation*}について考えます。変数\(x\)の定義域\(X\)がすべての整数からなる集合であるものとします。変数\(x\)に関する命題関数\begin{equation*}x^{2}=2
\end{equation*}を用いると、先の主張は以下のような存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:x^{2}=2
\end{equation*}として定式化されます。存在命題の定義より、これは以下の論理式\begin{equation}
\bigvee\limits_{x\in X}\left( x^{2}=2\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と同一視されます。任意の整数\(x\in X\)について\(x^{2}=2\)は偽であるため、論理和の定義より\(\left( 1\right) \)は偽です。したがって、もとの主張は偽であるような命題であることが明らかになりました。
例(存在命題の解釈)
以下の主張\begin{equation*}
\text{出生地が日本ではない日本人が存在する}
\end{equation*}について考えます。変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。変数\(x\)に関する以下の2つの命題関数\begin{eqnarray*}&&x\text{の出生地は日本} \\
&&x\text{の国籍は日本}
\end{eqnarray*}を用いると、先の主張を以下のような存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:\left( \lnot \left( x\text{の出生地は日本}\right) \wedge x\text{の国籍は日本}\right)
\end{equation*}として定式化できます。存在命題の定義より、これは以下の論理和\begin{equation}
\bigvee\limits_{x\in X}\left( \lnot \left( x\text{の出生地は日本}\right) \wedge x\text{の国籍は日本}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と同一視されます。日本は出生地主義ではなく血統主義を採用しているため、出生地が日本ではない日本人が存在します。そのような人を\(\overline{x}\in X\)にとって、\begin{equation*}\lnot \left( \overline{x}\text{の出生地は日本}\right) \wedge \overline{x}\text{の国籍は日本}
\end{equation*}は真であるため、論理和の定義より、\(\left(1\right) \)は真であるような命題です。したがって、もとの主張は真であるような命題であることが明らかになりました。
例(存在命題の解釈)
変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)が、\begin{equation*}X=Y=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるものとします。以下の存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:x<y
\end{equation*}は以下の論理式\begin{equation*}
\bigvee\limits_{x\in X}\left( x<y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1<y\vee 2<y\vee 3<y
\end{equation*}と同一視されます。これは変数\(y\)の自由な現れを持つ開論理式であり、真理集合は、\begin{equation*}\left\{ 2,3\right\}
\end{equation*}となります。

論理式\(A\)が変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、\(A\)において自由な現れが存在しない変数\(y\in Y\)を任意に選んだ上で全称命題\begin{equation*}\exists y\in Y:A
\end{equation*}を作ることができますが、これをもとの開論理式\(A\left( x\right) \)と同一視します。

例(存在命題の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。このとき、\(x\)とは異なる変数\(y\)に注目した上で存在命題\begin{equation*}\exists y\in Y:P\left( x\right)
\end{equation*}を作ることができますが、これは\(P\left( x\right) \)と同一視されます。
例(存在命題の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式です。このとき、\(x\)に関する存在命題\begin{equation}\exists x\in X:P\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は変数\(y\)の自由な現れを持つ開論理式であり、変数\(x\)の自由な現れを持ちません。したがって、以下の存在命題\begin{equation*}\exists x\in X,\ \exists x\in X:P\left( x,y\right)
\end{equation*}は\(\left( 1\right) \)と同一視されます。

論理式\(A\)が閉論理式であるとき、すなわち変数の自由な現れを持たない場合にも、変数\(x\in X\)を任意に選んだ上で存在命題\begin{equation*}\exists x\in X:A
\end{equation*}を作ることができますが、これをもとの閉論理式\(A\)と同一視します。

例(存在命題の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。このとき、\(x\)に関する存在命題\begin{equation}\exists x\in X:P\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は変数の自由な現れを持たない閉論理式です。したがって、以下の存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X,\ \exists x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}は\(\left( 1\right) \)と同一視されます。同様に、\begin{equation*}\exists y\in Y,\ \exists x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}もまた\(\left( 1\right) \)と同一視されます。

 

演習問題

問題(存在命題)
以下の主張\begin{equation*}
\text{クラスの中に宿題をやらなかった生徒がいる}
\end{equation*}を論理式として定式化してください。

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問題(存在命題)
以下の主張\begin{equation*}
\text{完璧な人間は存在しない}
\end{equation*}を論理式として定式化してください。

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問題(存在命題)
以下の主張\begin{equation*}
\text{学生の中には結婚している人がいる}
\end{equation*}を論理式として定式化してください。

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問題(存在命題)
以下の主張\begin{equation*}
\text{親であるような人は必ず誰かと結婚している}
\end{equation*}を論理式として定式化してください。

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問題(存在命題)
以下の主張\begin{equation*}
\text{天然痘患者に接触した人はもれなく隔離対象となる}
\end{equation*}を論理式として定式化してください。

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問題(存在命題)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての犬からなる集合であるとともに、命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x\right) :x\text{は危険である}
\end{equation*}と定義します。以下の論理式を日常言語で表現してください。

  1. \(\forall x\in X:P\left( x\right) \)
  2. \(\exists x\in X:P\left( x\right) \)
  3. \(\lnot \left( \exists x\in X:P\left( x\right) \right) \)
  4. \(\exists x\in X:\lnot P\left( x\right) \)
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問題(存在命題)
変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はいずれもすべての自然数からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\cdot y=12
\end{equation*}と定義します。以下のそれぞれの論理式について、それが開論理式である場合には真理集合を明らかにし、閉論理式である場合には真理値を明らかにしてください。

  1. \(\exists x\in X,\ \exists y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow P\left( y,x\right) \right) \)
  2. \(\exists x\in X,\ \exists y\in Y:P\left( x,y\right) \)
  3. \(\forall x\in X,\ \exists y\in Y:P\left( x,y\right) \)
  4. \(\exists x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right) \)
  5. \(\exists x\in X:P\left( x,y\right) \)
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問題(存在命題)
変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はいずれもすべての自然数からなる集合であるものとします。以下の論理式を解釈してください。

  1. \(\forall x\in X,\ \exists y\in Y:x<y\)
  2. \(\exists y\in Y,\ \forall x\in X:x<y\)
  3. \(\exists x\in X,\ \forall y\in Y:x<y\)
  4. \(\forall y\in Y,\ \exists x\in X:x<y\)
  5. \(\exists x\in X,\ \exists y\in Y:x<y\)
  6. \(\forall x\in X,\ \forall y\in Y:x<y\)
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DISCUSSION

質問とコメント

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述語論理