論理式\(A\)と変数\(x\in X\)に対して量化記号\(\exists \)を作用させることで得られる\(\exists x\in X\ A\)もまた\(D\)の論理式です。\(\exists \)は存在記号と呼ばれる量化記号であり、存在記号を作用させて得られる論理式\(\exists x\in X\ A\)を存在命題と呼びます。

2018年11月29日:公開

存在命題の値

論理式の定義より、議論領域\(D\)における論理式\(A\)と変数\(x\in X\)に対して量化記号\(\exists \)を作用させることで得られる\(\exists x\in X\ A\)もまた\(D\)の論理式です。\(\exists \)は存在記号(existential quantifier)と呼ばれる量化記号であり、存在記号を作用させて得られる論理式\(\exists x\in X\ A\)を存在命題(existential propositioin)と呼びます。存在命題の値を以下のように定めます。

論理式の定義について復習する

議論領域\(D\)における論理式\(A\)が変数を持つ命題関数\begin{equation*}
A\left( x,y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{equation*}である場合について考えます。このとき、論理式\(\exists x\in X\ A\)は変数\(y_{1},\cdots ,y_{n}\)を持つ命題関数\begin{equation*}
\left( \exists x\in X\ A\right) \left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{equation*}です。その上で、変数\(x\)の定義域\(X\)が有限個の値\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)を含む場合にはこの論理式\(\exists x\in X\ A\)を、\begin{equation*}
A\left( x_{1},y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \vee \cdots \vee A\left( x_{m},y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{equation*}という変数\(y_{1},\cdots ,y_{n}\)に関する\(m\)個の命題関数\(A(x_{j},y_{1},\cdots ,y_{n})\ \left( j=1,\cdots ,m\right) \)の論理和と同一視します。命題関数どうしの論理和の意味は先に定義した通りです。なお、\(X\)に含まれる値の個数が有限であるとは限らない場合には、この論理和を、\begin{equation*}
\bigvee_{x\in X}A\left( x,y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{equation*}で表します。

論理和について復習する

議論領域\(D\)における論理式\(A\)が変数を持つ命題関数であると同時に、変数\(x\)が\(A\)の変数でない場合には、論理式\(\exists x\in X\ A\)を\(A\)と同一視します。

論理式\(A\)が変数を持たない命題もしくは命題定数である場合には、論理式\(\exists x\in X\ A\)を\(A\)と同一視します。

開論理式・閉論理式について復習する
例(存在命題)
定義域が\(X=\{1,2,3,4,5\}\)であるような命題変数\(x\)に関して、以下の全称命題\begin{equation*}
\exists x\in X:x^{2}\geq x
\end{equation*}を考えます。全称命題の定義より、これは以下の命題\begin{equation*}
1^{2}\geq 1\ \vee \ 2^{2}\geq 2\ \vee \ 3^{2}\geq 3\ \vee \ 4^{2}\geq 4\ \vee \ 5^{2}\geq 5
\end{equation*}と同一視されます。\(1^{2}\geq 1\)すなわち\(1\geq 1\)は真ですから、上の命題もまた真です。
例(存在命題)
定義域が\(\mathbb{N}\)(すべての自然数からなる集合)であるような命題変数\(x\)に関して、以下の全称命題\begin{equation*}
\exists x\in X:x^{2}>x
\end{equation*}を考えます。\(x^{2}>x\)を満たす自然数\(x\)は存在しないため、上の命題は偽です。
例(存在命題)
定義域\(X\)がすべての人間からなる集合であるような変数\(x\)に対して、命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は男性である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{の瞳の色は黒である}
\end{eqnarray*}と定めた上で、以下の存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right)
\end{equation*}について考えます。つまり、男性であると同時に瞳の色は黒であるような人が存在するという命題です。この存在命題は明らかに真です。
例(存在命題)
定義域が\(\mathbb{R}\)であるような変数\(x,y\)に関して、以下の存在命題\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R}:x^{2}<y
\end{equation*}を考えます。この存在命題は変数\(y\)を持つ開論理式ですので、このままでは真偽を判定できません。真偽を判定するためには変数\(y\)に具体的な値を代入する必要があります。例えば、\(y=1\)の場合には\(x=\frac{1}{2}\)などとすれば\(x^{2}<y\)となるため、上の存在命題は真です。一方、\(y=-1\)の場合には任意の実数\(x\)に対して\(x^{2}\geq y\)となるため、上の存在命題は偽です。

 

複数の量化記号を作用させる

量化記号を含む論理式に対してさらに量化記号を作用させることもできます。

例(存在命題)
定義域が\(\mathbb{N}\)であるような変数\(x,y\)に対して、以下の論理式\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{N},\ \exists y\in \mathbb{N}:x<y
\end{equation*}について考えます。これは、自然数\(x\)を任意に選んだとき、それに対して\(x<y\)を満たす自然数\(y\)が存在するという命題です。\(y=x+1\)とすればよいためこの論理式は真です。続いて、\begin{equation*}
\exists y\in \mathbb{N},\ \forall x\in \mathbb{N}:x<y
\end{equation*}について考えます。これは、ある自然数\(y\)が存在して、それに対して任意の自然数\(x\)が\(x<y\)を満たすという命題です。言い換えると、どの自然数\(x\)よりも小さい自然数\(y\)が存在するという主張です。実際には、どの自然数\(y\)に対してもそれより大きい自然数\(x\)が必ず存在するため、この論理式は偽です。続いて、\begin{equation*}
\forall y\in \mathbb{N},\ \exists x\in \mathbb{N}:x<y
\end{equation*}について考えます。これは、自然数\(y\)を任意に選んだとき、それに対して\(x<y\)を満たす自然数\(x\)が存在するという命題です。\(y=1\)に対して\(x<y\)を満たす自然数は存在しないため、この論理式は偽です。最後に、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{N},\ \exists y\in \mathbb{N}:x<y
\end{equation*}について考えます。これは、ある自然数\(x,y\)について\(x<y\)が成り立つという主張です。\(x=1,\ y=2\)などいくらでも例が存在するため、これは明らかに真です。

次回は論理式の解釈について学びます。

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