カテゴリーの中から任意に選んだものは同種のものを代表しているため、それが満たす性質は他のすべてのものも共通して持っていることを保証する推論規則を全称導入と呼びます。

2019年6月3日:公開

全称導入

全称除去は全体から特定を導く推論規則であり、変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)に対しては、\begin{equation*}
\forall x\in X\ P\left( x\right) ,\ \overline{x}\in X\ \models \ P\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}と定式化されますが、これとは逆に、特定から全体を導く、\begin{equation*}
P\left( \overline{x}\right) ,\ \overline{x}\in X\ \models \ \forall x\in X\ P\left( x\right)
\end{equation*}は妥当な推論ではありません。\(P\left( x\right) \)が値\(\overline{x}\)のもとで真である場合でも、\(P\left( x\right) \)は\(x\)のすべての値について真であるとは限らないからです。

特定\(P\left( \overline{x}\right) \)から全体\(\forall x\in X\ P\left( x\right) \)を導くことはできませんが、変数\(x\)や\(x\)の具体的な値を表す記号\(\overline{x}\)とは異なる任意の値を表す記号\(c\)を導入した上で、\(P\left( c\right) \)が真である場合には\(\forall x\in X\ P\left( x\right) \)も真として議論を進めることができます。つまり、変数\(x\)や\(x\)の具体的な値を表す記号\(\overline{x}\)とは異なる記号\(c\)に関しては、以下の推論規則\begin{equation*}
P\left( c\right) ,\ c\in X\ \models \ \forall x\in X\ P\left( x\right)
\end{equation*}を妥当と考えても構わないということです。

議論を一般化します。論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを含む開論理式であることを\(A\left[ x\right] \)と表記します。また、\(A\left[ x\right] \)における変数\(x\)の自由な現れに値\(\overline{x}\in X\)を代入したものを\(A\left[ \overline{x}\right] \)と表記します。さらに、変数\(x\)やそのいかなる具体的な値\(\overline{x}\)とも異なる記号を\(c\)で表します。\(c\)は\(x\)の任意の値を表す記号です。このとき、以下の推論規則\begin{equation*}
A\left[ c\right] ,\ c\in X\ \models \ \forall x\in X\ A\left[ x\right] \end{equation*}が妥当と定めます。これは全称導入(universal introduction)や\(\forall \)導入(\(\forall \) introduction)、全称汎化(universal generalization)などと呼ばれる推論規則です。

全称導入は、カテゴリーの中から任意に選んだものは同種のものを代表しているため、それが満たす性質は他のすべてのものも共通して持っていることを保証する推論規則です。これを言い換えると、任意に述べられたことは全体としても表現可能であるということです。

例(全称導入)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する閉論理式\begin{equation*}
P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right)
\end{equation*}が与えられたとき、\(x\)の任意の値を表す\(c\)について、\begin{equation*}
P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}が真ならば、全称導入より、\begin{equation*}
\forall x\in X\ \left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}は真です。
例(全称導入)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x\right) \)関する開論理式\begin{equation}
P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right) \tag{1}
\end{equation}が与えられたとき、\(x\)の任意の値を表す\(c\)について、\begin{equation}
P\left( c,y\right) \rightarrow Q\left( c\right) \tag{2}
\end{equation}が導かれるならば、全称導入より、\begin{equation}
\forall x\in X\ \left( P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \tag{3}
\end{equation}が導かれます。つまり、\(\left( 2\right) \)が真であるような任意の解釈において、\(\left( 1\right) \)が真ならば\(\left( 3\right) \)も真になります。

次回から証明について学びます。

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