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全称導入(普遍汎化)

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全称導入

復習になりますが、論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、全称除去とは、\begin{equation*}\forall x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}と定義される推論規則です。ただし、記号\(c\)は変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表すものであり、変数\(x\)そのものや、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値とは区別されます。したがって、全称除去の結論\(A\left( c\right) \)は、論理式\(A\left( x\right) \)中の変数\(x\)に定義域\(X\)中のいかなる値を代入した場合にも得られる命題が必ず真になるという主張です。したがって、逆に\(A\left( c\right) \)が成り立つ場合、全称除去の前提である\(\forall x\in X:A\left(x\right) \)もまた成り立ちます。以上を踏まえた上で、以下の推論規則\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \forall x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものと定め、これを全称導入(universal introduction)や\(\forall \)導入(\(\forall \) introduction)、全称汎化(universal generalization)、普遍汎化(universalgeneralization)などと呼びます。

繰り返しになりますが、全称導入中の\(c\)は変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号です。では、\(c\)が変数\(x\)がとり得る「特定の値」を代表的な形で表す記号である場合についても、\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \forall x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか。成り立ちません。なぜなら、全称命題\(\forall x\in X:A\left( x\right) \)が真であるためには、変数\(x\)がとり得る「すべての値」について、それを\(A\left( x\right) \)に代入して得られる命題が真でなければならないからです。同様の理由により、変数\(x\)がとり得る具体的な値\(x_{i}\in X\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}A\left( x_{i}\right) \ \models \ \forall x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}は成り立ちません。命題\(A\left( x_{i}\right) \)が真である場合でも、\(x_{i}\)とは異なる値\(x_{j}\in X\)に関する命題\(A\left( x_{j}\right) \)が真であるとは限らないからです。少なくとも1つの値\(x_{j}\in X\)について命題\(A\left( x_{j}\right) \)が偽である場合、全称命題\(\forall x\in X:A\left(x\right) \)は偽になるため、上の推論規則は成り立ちません。

例(全称導入)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right)
\end{equation*}について考えます。変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、全称導入より、\begin{equation*}P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right) \ \models \ \forall x\in X:\left(
P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}は成り立ちます。一方、具体的な値\(\overline{x}\in X\)に関しては、\begin{equation*}P\left( \overline{x}\right) \wedge Q\left( \overline{x}\right) \ \models \
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}は成り立ちません。

例(全称導入)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x\right) \)関する論理式\begin{equation*}P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}について考えます。変数\(y\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、全称導入より、\begin{equation*}P\left( x,c\right) \rightarrow Q\left( x\right) \ \models \ \forall y\in
Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、具体的な値\(\overline{x}\in X\)に関しては、\begin{equation*}P\left( x,x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \ \models \ \forall y\in
Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}は成り立ちません。

例(全称導入)
全称導入より、以下の推論規則\begin{equation*}
c^{2}\geq 0\ \models \ \forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\geq 0
\end{equation*}は妥当です。ただし、\(c\)は「すべての実数」を代表的な形で表す記号です。一方、例えば、具体的な実数\(1\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1^{2}\geq 0\ \models \ \forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\geq 0
\end{equation*}は成り立ちません。

例(全称導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{運転手はいずれも運転免許を持っている} \\
&&\text{運転免許を持っている人はいずれも18歳以上である} \\
&&\text{したがって、運転手はいずれも18歳以上である}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は運転手である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は運転免許を持っている} \\
R\left( x\right) &:&x\text{は18歳以上である}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{eqnarray}
&\forall x\in &X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \quad \cdots (1) \\
&\forall x\in &X:\left( Q\left( x\right) \rightarrow R\left( x\right)
\right) \quad \cdots (2) \\
&\therefore &\ \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow R\left(
x\right) \right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定式化されます。\(\left( 1\right) \)に全称除去を適用すると、\begin{equation}P\left( c\right) \rightarrow Q\left( c\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を得て、\(\left( 2\right) \)に全称除去を適用すると、\begin{equation}Q\left( c\right) \rightarrow R\left( c\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。ただし、\(c\)は変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号です。\(\left( 4\right) ,\left( 5\right) \)に仮言三段論法を適用すると、\begin{equation*}P\left( c\right) \rightarrow R\left( c\right)
\end{equation*}を得るため、これに全称導入を適用すると、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow R\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。したがって、与えられた推論は妥当であることが示されました。

 

演習問題

問題(全称導入)
以下の推論が妥当であることを示してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての人間はDNAを持っている。} \\
&&\text{ロボットはDNAを持っていない。} \\
&&\text{したがって、ロボットは人間ではない。}
\end{eqnarray*}
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