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PREDICATE LOGIC

述語論理における論理和

目次

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論理和

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\vee \)を作用させることで得られる\(A\vee B\)もまた論理式です。\(\vee \)は論理和(logical sum)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\vee B\)を\(A\)と\(B\)の論理和(logical sum of \(A\) and \(B \))と呼びます。これは「\(A\)または\(B\)(\(A\) or \(B\))」という表現に対応する論理式です。

例(論理和)
以下の主張\begin{equation*}
x\text{は偶数または}y\text{は奇数である}
\end{equation*}はどのような論理式として定式化できるでしょうか。命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( y\right) \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( y\right) &:&y\text{は奇数である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の主張は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \vee Q\left( y\right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。同様に考えると、\begin{equation*}
x\text{は偶数ではない、または}y\text{は奇数ではない}
\end{equation*}という主張は、\begin{equation*}
\lnot P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( y\right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。

例(論理和)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x,z\right) \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{と}y\text{は知り合いである} \\
Q\left( x,z\right) &:&x\text{と}z\text{は知り合いである}
\end{eqnarray*}とおくとき、\begin{eqnarray*}
P\left( x,y\right) \vee Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いか、または}x\text{は}z\text{の知り合いである} \\
P\left( x,y\right) \vee \lnot Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いか、または}x\text{は}z\text{の知り合いではない} \\
\lnot P\left( x,y\right) \vee Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いではないか、または}x\text{は}z\text{の知り合いである} \\
\lnot P\left( x,y\right) \vee \lnot Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いではないか、または}x\text{は}z\text{の知り合いではない}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

論理和の解釈

論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であり、論理式\(B\)が変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)であるものとします。このとき、\(A\)と\(B\)の論理和\(A\vee B\)は変数\(x,y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(\left( A\vee B\right) \left(x,y,z\right) \)であるものと定めます。開論理式の値を特定するためには解釈、すなわち以下の3つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A,B\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\left(
\overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。解釈を任意に選んだ上で、\(A\left( x,y\right) \)から得られる命題を\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)で、\(B\left( y,z\right) \)から得られる命題を\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)で、\(\left( A\vee B\right) \left( x,y,z\right) \)から得られる命題を\(\left( A\vee B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)で表記します。その上で、\(\left( A\vee B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)は\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)と\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)の(命題論理における意味での)論理和であるものと定めます。つまり、これら3つの命題の真理値の間には、以下の真理値表
$$\begin{array}{ccc}\hline
A\left( \overline{x},\overline{y}\right) & B\left( \overline{y},\overline{z}\right) & \left( A\vee B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理和の値

で表される関係が成り立つものと定めるということです。任意の解釈において同様に考えます。

開論理式である\(A\left( x,y\right) \)と\(B\left( y,z\right) \)に対して、議論領域および\(A\left( x,y\right) \)と\(B\left( y,z\right) \)を構成するすべての命題関数の形状が具体的に与えられている状況を想定します。あとは変数\(x,y,z\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x},\overline{y},\overline{z}\)を指定すれば\(A\left( x,y\right) \)から命題\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が得られ、\(B\left( y,z\right) \)から命題\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が得られ、さらに論理和\(\left( A\vee B\right) \left( x,y,z\right) \)から命題\(\left( A\vee B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が得られます。\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)からなる集合が\(A\left( x,y\right) \)の真理集合\(\phi \left( A\right) \)であり、\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)からなる集合が\(B\left( y,z\right) \)の真理集合\(\phi \left( B\right) \)であり、\(\left( A\vee B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)からなる集合が\(\left( A\vee B\right) \left( x,y,z\right) \)の真理集合\(\phi\left( A\vee B\right) \)です。論理和の定義より、任意の値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in X\times Y\times Z\)に対して、\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)
\text{は真}\Leftrightarrow A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \text{と}B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \text{の少なくとも一方が真}
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、真理集合を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left( A\vee
B\right) \Leftrightarrow \left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi
\left( A\right) \vee \left( \overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left(
B\right)
\end{equation*}となります。つまり、値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が論理和\(A\vee B\)の真理集合の要素であることは、値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が\(A\)の真理集合の要素であるか、値の組\(\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が\(B\)の真理集合の要素であるかその少なくとも一方であることを意味します。

ここでは話を一般化するために論理式\(A\)だけが持つ変数の自由な現れ\(x\)、論理式\(B\)だけが持つ変数の自由な現れ\(z\)、そして\(A\)と\(B\)が共有する変数の自由な現れ\(y\)について考えましたが、実際には\(A\)と\(B\)が共通の変数の自由な現れだけを持っていたり、逆に、共通の変数の自由な現れを持たない場合も起こり得ます。また、\(x,y,z\)それぞれに相当する変数の自由な現れが複数存在する場合も上と同様の議論が成り立ちます。また、論理式\(A,B\)が変数の自由な現れを持たない場合、それは閉論理式であることを意味しますが、その場合にも上と同様の議論が成り立ちます。また、開論理式と閉論理式の論理和や、閉論理式どうしの論理和についても同様に考えます。

例(論理和の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての正の整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は}2\text{の倍数である}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は}3\text{の倍数である}
\end{equation*}と定義すると、これらの真理集合は、\begin{eqnarray*}
\phi \left( P\right) &=&\left\{ 2,4,6,8,\cdots \right\} \\
\phi \left( Q\right) &=&\left\{ 3,6,9,12,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となります。一方、論理和\(\left( P\vee Q\right) \left( x\right) \)は、\begin{equation*}x\text{は}2\text{の倍数または}3\text{の倍数}
\end{equation*}であり、その真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\vee Q\right) =\left\{ 2,3,4,6,\cdots \right\}
\end{equation*}となります。任意の正の整数\(x\in X\)について、\begin{equation*}x\in \phi \left( P\vee Q\right) \Leftrightarrow x\in \phi \left( P\right)
\vee x\in \phi \left( Q\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

例(論理和の解釈)
変数\(x,y\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x<y
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x=y
\end{equation*}と定義すると、論理和\(P\left( x,y\right) \vee Q\left( x,y\right) \)は、\begin{equation*}x<y\text{または}x=y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x\leq y
\end{equation*}となります。値の組\(\left( x,y\right) =\left( 1,2\right) \)については、\(1<2\)が真である一方で\(1=2\)は偽であるため、\begin{eqnarray*}\left( 1,2\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( 1,2\right) &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( 1,2\right) &\in &\phi \left( P\vee Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。値の組\(\left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \)については、\(1<1\)が偽である一方で\(1=1\)は真であるため、\begin{eqnarray*}\left( 1,1\right) &\not\in &\phi \left( P\right) \\
\left( 1,1\right) &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( 1,1\right) &\in &\phi \left( P\vee Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。値の組\(\left( x,y\right) =\left( 2,1\right) \)については、\(2<1\)と\(2=1\)がともに偽であるため、\begin{eqnarray*}\left( 2,1\right) &\not\in &\phi \left( P\right) \\
\left( 2,1\right) &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( 2,1\right) &\not\in &\phi \left( P\vee Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。任意の\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \phi \left( P\vee Q\right) \Leftrightarrow \left(
x,y\right) \in \phi \left( P\right) \vee \left( x,y\right) \in \phi \left(
Q\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

例(論理和)
変数\(x\)の定義域\(X\)はあるクラスの学生からなる集合であり、変数\(y\)の定義域\(Y\)は\(0\)以上\(100\)以下の整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{の数学の成績は}y\text{点以上である}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{の英語の成績は}y\text{点以上である}
\end{equation*}と定義すると、論理和\(\left( P\vee Q\right) \left( x\right) \)は、\begin{equation*}x\text{の数学か英語の少なくとも一方の成績は}y\text{点以上である}
\end{equation*}となります。今、数学と英語の少なくとも一方で\(80\)点以上をとった学生を抽出しようとしています。つまり、\begin{equation*}\left( x,80\right) \in \phi \left( P\vee Q\right)
\end{equation*}を満たす学生\(x\)を特定しようとしているということです。学生\(A\)の数学の成績が\(90\)点、英語の成績が\(40\)点であるならば、\begin{eqnarray*}\left( A,80\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( A,80\right) &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,80\right) &\in &\phi \left( P\vee Q\right)
\end{eqnarray*}となるため、学生\(A\)は条件を満たします。学生\(B\)の数学の成績が\(70\)点、英語の成績が\(100\)点であるならば、\begin{eqnarray*}\left( B,80\right) &\not\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,80\right) &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( B,80\right) &\in &\phi \left( P\vee Q\right)
\end{eqnarray*}となるため、学生\(B\)も条件を満たします。学生\(C\)の数学と英語の成績がともに\(69\)点であるならば、\begin{eqnarray*}\left( C,80\right) &\not\in &\phi \left( P\right) \\
\left( C,80\right) &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( C,80\right) &\not\in &\phi \left( P\vee Q\right)
\end{eqnarray*}となるため、学生\(C\)は条件を満たしません。任意の\(x\in X\)と\(y\in Y\)について、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \phi \left( P\vee Q\right) \Leftrightarrow \left(
x,y\right) \in \phi \left( P\right) \vee \left( x,y\right) \in \phi \left(
Q\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

例(論理和の解釈)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)から以下の論理式\begin{equation}\forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。これと命題関数\begin{equation}
P\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}の論理和をとると、以下の論理式\begin{equation}
\left( \forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right)
\right) \right) \vee P\left( x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) \)は閉論理式である一方、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状を適当に定めた上で、変数\(x\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x}\)を適当に選ぶと、\(\left( 1\right),\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)から以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \wedge
Q\left( x\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( \overline{x}\right) \\
&&\left( c\right) \ \left( \forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right)
\wedge Q\left( x\right) \right) \right) \vee P\left( \overline{x}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。論理和の定義より、\(\left( a\right) \)と\(\left(b\right) \)の少なくとも一方が真であるならば\(\left(c\right) \)もまた真です。一方、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)がともに偽ならば\(\left( c\right) \)もまた偽です。

 

演習問題

問題(論理和)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x^{2}=1
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x^{2}=4
\end{equation*}と定義します。このとき、\(P\left( x\right) \)および\(Q\left(x\right) \)およびそれらの論理和\(\left( P\vee Q\right) \left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
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問題(論理和)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x<-1
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\geq 1
\end{equation*}と定義します。このとき、\(P\left( x\right) \)および\(Q\left(x\right) \)およびそれらの論理和\(\left( P\vee Q\right) \left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
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問題(論理和)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x<1
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\geq -1
\end{equation*}と定義します。このとき、\(P\left( x\right) \)および\(Q\left(x\right) \)およびそれらの論理和\(\left( P\vee Q\right) \left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
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