必要十分条件

論理式 \(A,B\) について同等\(A\leftrightarrow B\)が恒真式であるならば、すなわち、任意の解釈のもとで\(A\leftrightarrow B\) の値が\(1\)であるならば、\(A\)と\(B\) はお互いに一方が他方であるための必要十分条件であると言います。
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必要十分条件

論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、それらに関する同等\(A\leftrightarrow B\)は恒真式であるとは限りません。つまり、解釈によっては\(A\leftrightarrow B\)から得られる命題が偽になる可能性があります。一方、同等\(A\leftrightarrow B\)が恒真式である場合には、すなわち、任意の解釈において\(A\leftrightarrow B\)から得られる命題が真であるならば、このことを、\begin{equation*}
A\Leftrightarrow B
\end{equation*}と表記します。またこのとき、\(A\)と\(B\)は論理的に同値(logically equivlent)であるとか、\(A\)と\(B\)はお互いに一方が他方であるための必要十分条件(necessary and sufficient condition)であると言います。

例(必要十分条件)
変数\(x\in X\)を持つ命題関数\(P\left( x\right) \)に関する以下の論理式\begin{equation}
P\left( x\right) \leftrightarrow \left( P\left( x\right) \wedge P\left(
x\right) \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}について考えます。解釈を任意に選んだ上で、そのときに\(P\left( x\right) \)から得られる命題を\(P\left( \overline{x}\right) \)で表記すると、\(\left( 1\right) \)から得られる命題は、\begin{equation}
P\left( \overline{x}\right) \leftrightarrow \left( P\left( \overline{x}\right) \wedge P\left( \overline{x}\right) \right) \quad\cdots (2)
\end{equation}となります。ベキ等律より、\begin{equation*}
P\left( \overline{x}\right) \Leftrightarrow P\left( \overline{x}\right)
\wedge P\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( 2\right) \)は恒真式です。任意の解釈のもとで同様の議論が成立するため、\(\left( 1\right) \)が恒真式であること、すなわち、\begin{equation*}
P\left( x\right) \Leftrightarrow \left( P\left( x\right) \wedge P\left(
x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(P\left( x\right) \)と\(P\left( x\right) \wedge P\left( x\right) \)はお互いに、一方が他方であるための必要十分条件です。
例(必要十分条件)
変数\(x\in X\)を持つ命題関数\(P\left( x\right) \)に関する以下の論理式\begin{equation}
\left( \exists x\in X:\lnot P\left( x\right) \right) \leftrightarrow \lnot
\left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}について考えます。量化記号\(\forall ,\exists \)の定義より、上の論理式は、\begin{equation}
\bigvee\limits_{x\in X}\lnot P\left( x\right) \leftrightarrow \lnot \left(
\bigwedge\limits_{x\in X}P\left( x\right) \right) \quad\cdots (2)
\end{equation}と言い換え可能です。解釈を任意に選んだ上で、そのときに\(P\left( x\right) \)から得られる命題を\(P\left( \overline{x}\right) \)で表記すると、\(\left( 1\right) \)から得られる命題は、\begin{equation}
\bigvee\limits_{x\in X}\lnot P\left( \overline{x}\right) \leftrightarrow
\lnot \left( \bigwedge\limits_{x\in X}P\left( \overline{x}\right) \right)
\quad\cdots (3)
\end{equation}となります。ド・モルガンの法則より、\begin{equation*}
\bigvee\limits_{x\in X}\lnot P\left( \overline{x}\right) \Leftrightarrow
\lnot \left( \bigwedge\limits_{x\in X}P\left( \overline{x}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( 3\right) \)は恒真式です。任意の解釈のもとで同様の議論が成立するため、\(\left( 1\right) \)が恒真式であること、すなわち、\begin{equation*}
\left( \exists x\in X:\lnot P\left( x\right) \right) \Leftrightarrow \lnot
\left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(\exists x\in X:\lnot P\left( x\right) \)と\(\lnot \left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right) \)はお互いに、一方が他方であるための必要十分条件です。

 

必要十分条件の代替的な定義

復習になりますが、論理式\(A,B\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}
\phi \left( A\leftrightarrow B\right) =\phi \left( \left( A\rightarrow
B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意の解釈において、同等\(A\leftrightarrow B\)の値は論理式\(\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) \)の値と常に一致するということです。\(A\Leftrightarrow B\)が成り立つこととは任意の解釈において\(A\leftrightarrow B\)の値が\(1\)であることとして定義されますが、先の議論より、これは任意の解釈において\(\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) \)の値が\(1\)であることと言い換え可能です。さらに、\(\wedge \)の定義より、これは、任意の解釈において\(A\rightarrow B\)と\(B\rightarrow A\)の値がともに\(1\)であること、すなわち\(A\Rightarrow B\)と\(B\Rightarrow A\)がともに成り立つことと言い換え可能です。つまり、\(A\Leftrightarrow B\)が成り立つことは、\(A\Rightarrow B\)と\(B\Rightarrow A\)がともに成り立つこととして定義することも可能です。

以上を踏まえると、\(A\)が\(B\)であるための必要十分条件であることは、\(A\)が\(B\)であるための必要条件であるとともに、\(A\)が\(B\)であるための十分条件であることを意味します。同様に、\(B\)が\(A\)であるための必要十分条件であることは、\(B\)が\(A\)であるための必要条件であるとともに、\(B\)が\(A\)であるための十分条件であることを意味します。

次回から同値変形について学びます。

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