既知の事柄を前提とした上で、未知の事柄に関して結論を導き出すことを推論と呼びます。また、前提がすべて真であるような任意の解釈のもとで結論もまた真になるならば、その推論は妥当であると言います。妥当な推論を推論式と呼びます。
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推論

既知の事柄を前提(premise)とした上で、未知の事柄に関して結論(conclusion)を導き出すことを推論(inference)と呼びます。より正確には、推論とは任意の解釈において前提に相当する有限個の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が真であるような任意の解釈のもとでは結論に相当する論理式\(B\)もまた真であること示すことであり、これを、\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \therefore \ B
\end{equation*}と定式化します。これを推論式(inference formula)と呼びます。以降では推論式とそれが表す推論と区別せずに、推論式を推論と呼ぶこともあります。

前提を持たず結論\(B\)だけを持つ推論を考える際には、それを、\begin{equation*}
\therefore \ B
\end{equation*}と記述します。これは論理式\(B\)が恒真式であるという主張です。

 

妥当な推論:推論規則

前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)と結論\(B\)に関する推論に関して、任意の解釈において前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真である場合に結論\(B\)もまた真であるならば、この推論は妥当である(valid)と言い、このことを、\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ B
\end{equation*}で表します。これを推論規則(inference rule)と呼びます。

前提を持たず結論\(B\)だけを持つ推論が妥当であることは、\begin{equation*}
\models \ B
\end{equation*}で表します。これは論理式\(B\)が恒真式であることを意味します。

例(妥当な推論)
論理式\(A,B\)に関する以下の推論\begin{equation*}
A\vee B,\ A\rightarrow B\ \therefore \ B
\end{equation*}について考えます。論理式\(A,B\)の解釈を任意に選び、その解釈のもとで\(A,B\)から生成される命題を同じく\(A,B\)で表します。様々な解釈のもとで\(A,B\)はそれぞれ\(0\)と\(1\)の 2 通りの値を取り得るため、起こり得る値の組み合わせについて真理値表を書くと、

$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\vee B & A\rightarrow B \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:妥当な推論

を得ます。真理値表の 1 行目と 3 行目より、前提\(A\vee B,\ A\rightarrow B\)がともに真の場合には結論\(B\)は常に真ですから、この推論は妥当です。

 

妥当ではない推論

前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)と結論\(B\)に関する推論が妥当でないならば、すなわち、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真である場合に結論\(B\)が偽になるような解釈が存在する場合には、この推論は妥当でない(invalid)と言い、このことを、\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \not\models \ B
\end{equation*}で表します。

例(妥当ではない推論)
論理式\(A,B\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\lnot A,\ A\rightarrow B\ \therefore \ \lnot B
\end{equation*}について考えます。論理式\(A,B\)の解釈を任意に選び、その解釈のもとで\(A,B\)から生成される命題を同じく\(A,B\)で表します。様々な解釈のもとで\(A,B\)はそれぞれ\(0\)と\(1\)の 2 通りの値を取り得るため、起こり得る値の組み合わせについて真理値表を書くと、

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
A & B & \lnot A & \lnot B & A\rightarrow B \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:妥当な推論

を得ます。真理値表の 3 行目より、前提\(\lnot A,\ A\rightarrow B\)がともに真の場合には結論\(\lnot B\)は偽ですから、この推論は妥当ではありません。

 

推論規則を導く方法

推論の妥当性を示す方法はいくつか存在します。1つ目の方法は、すべての前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の値が\(1\)であるような任意の解釈のもとでは結論\(B\)もまた\(1\)になることを示すというものです。例えば、論理式\(A,B\)に関する、\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ A\ \therefore \ B
\end{equation*}という推論について、\(A\rightarrow B\)と\(A\)の値がともに\(1\)になるような任意の解釈のもとでは、\(\rightarrow \)の定義より\(B\)の値は必ず\(1\)になります。したがって、上の推論は妥当です。

推論の妥当性を示すための 2 つ目の方法は、推論から以下の論理式\begin{equation}
\bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\ \rightarrow \ B \tag{1}
\end{equation}を構成した上で、これが恒真式であること、すなわち、\begin{equation}
\bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\ \Rightarrow \ B \tag{2}
\end{equation}が成り立つことを示すというものです。実際、解釈を任意に選んだとき、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真である場合には\(\left( 2\right) \)の前件\(\bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\)は真になり、したがって恒真式の定義より、この場合には\(B\)は必ず真です。したがって推論は妥当です。一方、論理式\(\left( 1\right) \)が恒真式でない場合には、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真でも結論\(B\)が偽になる解釈が存在するため、この場合には推論は妥当ではありません。例えば、論理式\(A,B\)に関する、\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ \lnot B\ \therefore \ \lnot A
\end{equation*}という推論に対応する論理式は\(\left[ \left( A\rightarrow B\right) \wedge \lnot B\right] \rightarrow \lnot A\)です。様々な解釈のもとで\(A,B\)はそれぞれ\(0\)または\(1\)を値として取り得るため、それぞれの場合を真理値表を用いて表現すると、

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
A & B & \lnot A & \lnot B & A\rightarrow B & \left( A\rightarrow B\right) \wedge \lnot B & \left[ \left( A\rightarrow B\right) \wedge \lnot B\right] \rightarrow \lnot A \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:推論の妥当性

となります。したがって、論理式\(\left[ \left( A\rightarrow B\right) \wedge \lnot B\right] \rightarrow \lnot A\)は恒真式ですから、先の推論は妥当です。

推論の妥当性を示すための 3 つ目の方法は、前提\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)を出発点にして、推論規則を用いて結論を次々に導出し、最終的に当初の推論式の結論\(B\)を導出するというものです。これは証明(proof)と呼ばれる手続きですが、証明については後ほど詳しく解説することにして、まずは証明において役に立つ推論規則をいくつか提示します。

次回から具体的な推論規則について学びます。

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