含意除去
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の推論規則\begin{equation*}A\rightarrow B,\ A\ \models \ B
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\rightarrow B\)と\(A\)がともに真である場合には\(B\)が真になることが保証されます。これは含意除去（implication elimination）や前件肯定（affirming the antecedent）、\(\rightarrow \)除去（\(\rightarrow \ \)elimination）、モーダスポネンス（modus ponens）などと呼ばれる推論規則です。
命題（含意除去）
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ A\ \models \ B
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
含意除去\begin{equation}
A\rightarrow B,\ A\ \models \ B \quad \cdots (1)
\end{equation}は推論規則であるため、\(\left( 1\right) \)を構成する\(A,B\)にそれぞれどのような具体的な論理式\(\alpha,\beta \)を入れた場合においても、\begin{equation*}\alpha \rightarrow \beta ,\ \alpha \ \models \ \beta
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\alpha \rightarrow \beta \)と\(\alpha \)が真である場合には\(\beta \)もまた真になることが保証されます。逆に、結論として採用した具体的な論理式\(\beta \)が偽である場合、前提である\(\alpha \rightarrow \beta \)と\(\alpha \)の少なくとも一方が偽であることが保証されます。なぜなら、仮に\(\alpha \rightarrow \beta \)と\(\alpha \)がともに真である場合、含意除去\(\left( 1\right) \)より\(\beta \)が真であることが導き出され、これは\(\beta \)が偽であることと矛盾するからです。
例（含意除去）
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、含意除去より、\begin{equation*}P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) ,\ P\left( x\right) \ \models
\ Q\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\ Q\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例（含意除去）
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の整数}x\text{について、}x\text{が偶数ならば}x^{2}\text{は偶数である} \\
&&c\text{は偶数である} \\
&&\text{ゆえに、}c^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域はすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)です。また、\(c\)はすべての整数を代表的に表す記号です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{Z} :\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right) ,\ P\left(
c\right) \ \therefore \ Q\left( c\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。この推論は妥当でしょうか。前提の1つである、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{Z} :\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}に全称除去を適用すると、\begin{equation*}
P\left( c\right) \rightarrow Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。これともう一方の前提である\(P\left( c\right) \)に対して含意除去を適用すると\(Q\left( c\right) \)を得るため、\(\left( 1\right) \)が妥当であることが示されました。
&&\text{任意の整数}x\text{について、}x\text{が偶数ならば}x^{2}\text{は偶数である} \\
&&c\text{は偶数である} \\
&&\text{ゆえに、}c^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域はすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)です。また、\(c\)はすべての整数を代表的に表す記号です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{Z} :\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right) ,\ P\left(
c\right) \ \therefore \ Q\left( c\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。この推論は妥当でしょうか。前提の1つである、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{Z} :\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}に全称除去を適用すると、\begin{equation*}
P\left( c\right) \rightarrow Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。これともう一方の前提である\(P\left( c\right) \)に対して含意除去を適用すると\(Q\left( c\right) \)を得るため、\(\left( 1\right) \)が妥当であることが示されました。
例（含意除去）
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の学生}x\text{および講義}y\text{について、}x\text{が}y\text{に出席すればその単位を取得できる} \\
&&\text{太郎は線型代数の講義に出席する} \\
&&\text{ゆえに、太郎は線形代数の単位を取得する}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての学生からなる集合であり、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべての講義からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{に出席する} \\
Q\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation}
\left( \forall x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right) \rightarrow
Q\left( x,y\right) \right) ,\ P\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \ \therefore \ Q\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。この推論は妥当でしょうか。前提の1つである、\begin{equation*}
\left( \forall x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right) \rightarrow
Q\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}に全称除去を適用すると、\begin{equation*}
P\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \rightarrow Q\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right)
\end{equation*}を得ます。これともう一方の前提である\(P\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \)に対して含意除去を適用すると\(Q\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \)を得るため、\(\left( 1\right) \)が妥当であることが示されました。
&&\text{任意の学生}x\text{および講義}y\text{について、}x\text{が}y\text{に出席すればその単位を取得できる} \\
&&\text{太郎は線型代数の講義に出席する} \\
&&\text{ゆえに、太郎は線形代数の単位を取得する}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての学生からなる集合であり、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべての講義からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{に出席する} \\
Q\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation}
\left( \forall x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right) \rightarrow
Q\left( x,y\right) \right) ,\ P\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \ \therefore \ Q\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。この推論は妥当でしょうか。前提の1つである、\begin{equation*}
\left( \forall x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right) \rightarrow
Q\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}に全称除去を適用すると、\begin{equation*}
P\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \rightarrow Q\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right)
\end{equation*}を得ます。これともう一方の前提である\(P\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \)に対して含意除去を適用すると\(Q\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \)を得るため、\(\left( 1\right) \)が妥当であることが示されました。
後件肯定
含意の前件を肯定する前件肯定は妥当である一方で、含意の後件を肯定する後件肯定（affirming the consequent）は妥当ではありません。すなわち、\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ B\ \not\models \ A
\end{equation*}となります。
命題（後件肯定）
論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ B\ \not\models \ A
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
例（後件肯定）
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の学生}x\text{と講義}y\text{について、}x\text{が}y\text{に出席するならば}x\text{は}y\text{の単位を取得する} \\
&&\text{学生である太郎は線型代数の単位を取得した} \\
&&\text{ゆえに、太郎は線型代数の講義に出席した}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての学生からなる集合であり、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべての講義からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{に出席する} \\
Q\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation}
\left( \forall x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right) \rightarrow
Q\left( x,y\right) \right) ,\ Q\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \ \therefore \ P\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。この推論は妥当ではありません。実際、太郎が線型代数の講義に出席しなかったにも関わらず線形代数の単位を取得したのであれば（例えば、期末試験だけを受けて高得点を取った場合）、\(\left( 1\right) \)の前提がともに真である一方で結論が偽である状況が起こり得ることになるため、\(\left( 1\right) \)は妥当ではないことになります。
&&\text{任意の学生}x\text{と講義}y\text{について、}x\text{が}y\text{に出席するならば}x\text{は}y\text{の単位を取得する} \\
&&\text{学生である太郎は線型代数の単位を取得した} \\
&&\text{ゆえに、太郎は線型代数の講義に出席した}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての学生からなる集合であり、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべての講義からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{に出席する} \\
Q\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation}
\left( \forall x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right) \rightarrow
Q\left( x,y\right) \right) ,\ Q\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \ \therefore \ P\left( \text{太郎},\text{線型代数}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。この推論は妥当ではありません。実際、太郎が線型代数の講義に出席しなかったにも関わらず線形代数の単位を取得したのであれば（例えば、期末試験だけを受けて高得点を取った場合）、\(\left( 1\right) \)の前提がともに真である一方で結論が偽である状況が起こり得ることになるため、\(\left( 1\right) \)は妥当ではないことになります。
例（後件肯定）
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の整数}x\text{について、}x\text{が偶数ならば}x^{2}\text{は偶数である} \\
&&2^{2}\text{は偶数である} \\
&&\text{ゆえに、}2\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域はすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論を、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{Z} :\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right) ,\ Q\left(
2\right) \ \therefore \ P\left( 2\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化できます。\(\left( 1\right) \)の前提がともに真であるとともに結論も真であるため、\(\left( 1\right) \)は妥当です。ただし、これは前提と結論が偶然に真である例であり、後件肯定が推論規則として常に妥当であることを意味するわけではありません。
&&\text{任意の整数}x\text{について、}x\text{が偶数ならば}x^{2}\text{は偶数である} \\
&&2^{2}\text{は偶数である} \\
&&\text{ゆえに、}2\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域はすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論を、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{Z} :\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right) ,\ Q\left(
2\right) \ \therefore \ P\left( 2\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化できます。\(\left( 1\right) \)の前提がともに真であるとともに結論も真であるため、\(\left( 1\right) \)は妥当です。ただし、これは前提と結論が偶然に真である例であり、後件肯定が推論規則として常に妥当であることを意味するわけではありません。
演習問題
問題（含意除去）
以下の推論が妥当であることを示してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の自然数について、それが}5\text{の倍数ならば整数である。} \\
&&25\text{は}5\text{の倍数である。} \\
&&\text{ゆえに、}25\text{は整数である。}
\end{eqnarray*}
&&\text{任意の自然数について、それが}5\text{の倍数ならば整数である。} \\
&&25\text{は}5\text{の倍数である。} \\
&&\text{ゆえに、}25\text{は整数である。}
\end{eqnarray*}
問題（含意除去）
以下の推論が妥当であることを示してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての人間はDNAを持っている。} \\
&&c\text{は人間である。} \\
&&\text{ゆえに、}c\text{はDNAを持っている。}
\end{eqnarray*}ただし、\(c\)はすべての人間を代表的に表す記号です。
&&\text{すべての人間はDNAを持っている。} \\
&&c\text{は人間である。} \\
&&\text{ゆえに、}c\text{はDNAを持っている。}
\end{eqnarray*}ただし、\(c\)はすべての人間を代表的に表す記号です。
問題（含意除去）
「任意の学生\(x\)について、\(x\)が期末試験で70点以上をとるかすべての講義に出席するかの少なくとも一方を満たすならば、\(x\)の成績は良以上である。学生である太郎は期末試験で70点以上をとるかすべての講義に出席するかの少なくとも一方を満たした。したがって、太郎の成績は良以上である。」という推論が妥当であることを示してください。
問題（推論の妥当性）
以下の推論が妥当であるか判断してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の実数について、それが正ならば}0\text{ではない。} \\
&&-2\text{は}0\text{ではない。} \\
&&\text{ゆえに、}-2\text{は正である。}
\end{eqnarray*}
&&\text{任意の実数について、それが正ならば}0\text{ではない。} \\
&&-2\text{は}0\text{ではない。} \\
&&\text{ゆえに、}-2\text{は正である。}
\end{eqnarray*}
問題（推論の妥当性）
以下の推論が妥当であるか判断してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の整数について、それが}4\text{の倍数ならば偶数である。} \\
&&8\text{は偶数である。} \\
&&\text{ゆえに、}8\text{は}4\text{の倍数である。}
\end{eqnarray*}
&&\text{任意の整数について、それが}4\text{の倍数ならば偶数である。} \\
&&8\text{は偶数である。} \\
&&\text{ゆえに、}8\text{は}4\text{の倍数である。}
\end{eqnarray*}
問題（推論の妥当性）
以下の推論が妥当であるか判断してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の学生は学生証を持っている。} \\
&&\text{太郎は学生である。} \\
&&\text{学生証を持っているならば図書館を利用できる。} \\
&&\text{ゆえに、太郎は図書館を利用できる。}
\end{eqnarray*}
&&\text{任意の学生は学生証を持っている。} \\
&&\text{太郎は学生である。} \\
&&\text{学生証を持っているならば図書館を利用できる。} \\
&&\text{ゆえに、太郎は図書館を利用できる。}
\end{eqnarray*}
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