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PREDICATE LOGIC

述語論理における含意除去(モーダスポネンス)

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含意除去

論理式\(A,B\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( \left( A\rightarrow B\right) \wedge A\right) \Rightarrow B
\end{equation*}が成り立つことが示されるため、ここから以下の推論規則を得ます。

命題(含意除去)
任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ A\ \models \ B
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題より、解釈を任意に選んだとき、\(A\rightarrow B\)と\(A\)から得られる命題がともに真である場合、\(B\)から得られる命題もまた真になることが保証されます。この推論規則を含意除去(implicationelimination)や前件肯定(affirming the antecedent)、\(\rightarrow \)除去(\(\rightarrow \ \)elimination)、モーダスポネンス(modus ponens)などと呼びます。

例(含意除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x\text{が偶数ならば、}x^{2}\text{は偶数である} \\
&&x\text{は偶数である} \\
&&\text{ゆえに、}x^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論を、\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) ,\ P\left( x\right) \
\therefore \ Q\left( x\right)
\end{equation*}と定式化できます。含意除去よりこれは妥当であるため、\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) ,\ P\left( x\right) \ \models
\ Q\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、具体的な整数\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \overline{x}\right) \rightarrow Q\left( \overline{x}\right) ,\
P\left( \overline{x}\right) \ \models \ Q\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(P\left( \overline{x}\right) \rightarrow Q\left( \overline{x}\right) \)と\(P\left( \overline{x}\right) \)が真の命題である場合には\(Q\left( \overline{x}\right) \)もまた真の命題になることが保証されるということです。逆に、ある具体的な整数\(\overline{x}\in X\)のもとで命題\(Q\left( \overline{x}\right) \)が偽である場合には、\(P\left( \overline{x}\right) \rightarrow Q\left( \overline{x}\right) \)と\(P\left( \overline{x}\right) \)の少なくとも一方の命題が偽になります。
例(含意除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{学生}x\text{が講義}y\text{に出席するならば、学生}x\text{は講義}y\text{の単位を取得する} \\
&&\text{学生}x\text{が講義}y\text{に出席する} \\
&&\text{ゆえに、学生}x\text{は講義}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての学生からなる集合であり、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべての講義からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{に出席する} \\
Q\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論を、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x,y\right) ,\ P\left( x,y\right) \
\therefore \ Q\left( x,y\right)
\end{equation*}と定式化できます。含意除去よりこれは妥当であるため、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x,y\right) ,\ P\left( x,y\right) \
\models \ Q\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、具体的な学生\(\overline{x}\in X\)と講義\(\overline{y}\in Y\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \overline{x},y\right) \rightarrow Q\left( \overline{x},y\right) ,\
P\left( \overline{x},y\right) \ \models \ Q\left( \overline{x},y\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(P\left( \overline{x},y\right) \rightarrow Q\left( \overline{x},y\right) \)と\(P\left( \overline{x},y\right) \)が真の命題である場合には\(Q\left( \overline{x},y\right) \)もまた真の命題になることが保証されるということです。逆に、ある具体的な学生\(\overline{x}\in X\)と講義\(\overline{y}\in Y\)に関して命題\(Q\left( \overline{x},y\right) \)が偽である場合には、\(P\left( \overline{x},y\right)\rightarrow Q\left( \overline{x},y\right) \)と\(P\left( \overline{x},y\right) \)の少なくとも一方の命題が偽になります。

 

後件肯定

含意の前件を肯定する前件肯定は妥当である一方で、含意の後件を肯定する後件肯定(affirming the consequent)は妥当ではありません。すなわち、\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ B\ \not\models \ A
\end{equation*}となります。

命題(後件肯定)
任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ B\ \not\models \ A
\end{equation*}が成り立つ。

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例(後件肯定)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{学生}x\text{が講義}y\text{に出席するならば、学生}x\text{は講義}y\text{の単位を取得する} \\
&&\text{学生}x\text{は講義}y\text{の単位を取得する} \\
&&\text{ゆえに、学生}x\text{が講義}y\text{に出席する}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての学生からなる集合、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべての講義からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{に出席する} \\
Q\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論を、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x,y\right) ,\ Q\left( x,y\right) \
\therefore \ P\left( x,y\right)
\end{equation*}と定式化できます。これは後件否定であるため妥当ではありません。実際、ある学生\(\overline{x}\in X\)がある講義\(\overline{y}\in Y\)に出席しなかったにも関わらず単位を取得したのであれば(例えば、期末試験だけを受けて高得点を取った場合)、\(P\left( \overline{x},\overline{y}\right) \rightarrow Q\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)と\(Q\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)はともに真である一方で\(P\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)は偽です。このような解釈が存在することは上の推論が妥当ではないことを意味します。

ただし、後件否定に相当が成り立つようなケースもあります。

例(後件肯定)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x\text{が偶数ならば、}x^{2}\text{は偶数である} \\
&&x^{2}\text{は偶数である} \\
&&\text{ゆえに、}x^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論を、\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) ,\ Q\left( x\right) \
\therefore \ P\left( x\right)
\end{equation*}と定式化できます。\(P\left( \overline{x}\right) \rightarrow Q\left( \overline{x}\right) \)と\(Q\left( \overline{x}\right) \)がともに真になるような整数\(\overline{x}\in X\)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\overline{x}\text{が偶数ならば、}\overline{x}^{2}\text{は偶数である} \\
&&\overline{x}^{2}\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}がともに真であるような整数\(\overline{x}\)を任意に選ぶということです。この場合には\(\overline{x}\)が偶数であること、すなわち\(P\left( \overline{x}\right) \)が真になることが保証されるため、先の推論が妥当になります。ただし、先に例示したように、一般には後件肯定は成り立つとは限りません。

 

演習問題

問題(含意除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x\text{はDNAを持っている} \\
&&x\text{は人間である} \\
&&\text{ゆえに、}x\text{はDNAを持っている}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての対象からなる集合であるものとします。この推論が妥当であることを示してください。
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問題(含意除去)
「学生\(x\)が期末試験で70点以上をとるかすべての講義に出席するかの少なくとも一方を満たすならば、学生\(x\)の成績は良以上である。学生\(x\)は期末試験で70点以上をとるかすべての講義に出席するかの少なくとも一方を満たした。したがって、学生\(x\)の成績は良以上である。」という推論が妥当であることを示してください。
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次回は含意導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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