論理式\(A,B\)に対する推論規則\(A\rightarrow B,\ A\ \models \ B \)を含意除去と呼びます。
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含意除去

以下の命題が成り立ちます。

命題(含意除去)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\right) \wedge A\ \Rightarrow \ B
\end{equation*}
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この命題より、任意の論理式\(A,B\)に対して以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ A\ \models \ B
\end{equation*}が成立します。つまり、任意の解釈において、\(A\rightarrow B\)と\(A\)が真である場合には\(B\)も真になります。これは含意除去(implication elimination)、前件肯定(affirming the antecedent)、\(\rightarrow \)除去(\(\rightarrow \ \)elimination)、またはモーダスポネンス(modus ponens)などと呼ばれる推論規則です。

例(含意除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{学生}x\text{が講義}y\text{に出席する} \\
&&\text{学生}x\text{が講義}y\text{に出席するならば、学生}x\text{は講義}y\text{の単位を取得する} \\
&&\text{ゆえに、学生}x\text{は講義}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}変数\(x\)は問題としているすべての学生からなる集合\(X\)を定義域とし、変数\(y\)は問題としているすべての講義からなる集合\(Y\)を定義域とするものとします。さらに命題関数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x,y\right) &:&x\text{が}y\text{に出席する} \\
Q\left( x,y\right) &:&x\text{が}y\text{の単位を取得する}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) ,\ P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x,y\right) \ \therefore \ Q\left( x,y\right)
\end{equation*}と定式化されます。含意除去よりこれは妥当な推論です。

後ほど解説しますが、含意除去は条件付き証明という証明方法の理論的な根拠になるという意味でも重要です。

 

後件肯定

含意の前件を肯定する前件肯定は妥当である一方で、含意の後件を肯定する後件肯定(affirming the consequent)は妥当ではありません。すなわち、\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ B\ \not\models \ A
\end{equation*}となります。これは論理式\(\left( A\rightarrow B\right) \wedge B\rightarrow A\)が恒真式でないことから明らかです。例えば、\begin{eqnarray*}
&&\text{学生}x\text{が講義}y\text{に出席するならば、学生}x\text{は講義}y\text{の単位を取得する} \\
&&\text{学生}x\text{は講義}y\text{の単位を取得する} \\
&&\text{ゆえに、学生}x\text{が講義}y\text{に出席する}
\end{eqnarray*}という推論は、先の例と同様の表記を用いると、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x,y\right) ,\ Q\left( x,y\right) \ \therefore \ P\left( x,y\right)
\end{equation*}と定式化できますが、これは妥当ではありません。なぜなら、何らかの講義に出席せずにその講義の単位を取得する学生が存在し得るからです。つまり、\(P\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)は偽で\(Q\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)は真であるような学生\(\overline{x}\)と講義\(\overline{y}\)に対して、推論の前提に相当する\(P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x,y\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)はともに真である一方で、推論の結論に相当する\(P\left( x,y\right) \)は偽です。したがって推論は妥当ではありません。

次回は含意導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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