論理式 A が真であるような任意の解釈のもとで ¬(¬A) は必ず真になります。これは二重否定導入と呼ばれる推論規則です。

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二重否定導入

以下の命題が成り立ちます。

命題(二重否定導入)
任意の論理式\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A\ \Rightarrow \ \lnot \left( \lnot A\right)
\end{equation*}
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上の命題より、任意の論理式\(A\)に関して以下の推論規則\begin{equation*}
A\ \models \ \lnot \left( \lnot A\right)
\end{equation*}が成立します。つまり、\(A\)が真であるような任意の解釈のもとで\(\lnot \left( \lnot A\right) \)は必ず真になります。これは二重否定導入(double negation introduction)と呼ばれる推論規則です。

例(二重否定導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x\text{さんは}y\text{さんを好きである} \\
&&\text{したがって、}x\text{さんは}y\text{さんを好きではないことはない}
\end{eqnarray*}変数\(x,y\)の定義域はいずれもある集団に属するすべての人からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P\)を、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) :x\text{さんは}y\text{さんを好き}
\end{equation*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) \ \therefore \ \lnot \lnot P\left( X,y\right)
\end{equation*}と定式化されます。二重否定導入よりこれは妥当な推論です。

次回は二重否定除去と呼ばれる推論規則について学びます。

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