選言三段論法

論理式 A,B について、A∨B と ¬A がともに真であるような任意の解釈のもとで B は真になります。これは選言三段論法と呼ばれる推論規則です。
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選言三段論法

以下の命題が成り立ちます。

命題(選言三段論法)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\vee B\right) \ \wedge \ \lnot A\ \Rightarrow \ B
\end{equation*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B\)に関して以下の推論規則\begin{equation*}
A\vee B,\ \lnot A\ \models \ B
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\vee B\)と\(\lnot A\)がともに真であるような任意の解釈のもとで\(B\)は真になります。これは選言三段論法(disjunctive syllogism)と呼ばれる推論規則です。

例(選言三段論法)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x\text{は偶数または奇数である} \\
&&x\text{は偶数ではない} \\
&&\text{したがって、}x\text{は奇数である}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域はすべての整数からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は奇数である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) ,\ \lnot P\left( x\right) \ \therefore \ Q\left( x\right)
\end{equation*}と定式化されます。選言三段論法よりこれは妥当な推論です。

次回は仮言三段論法と呼ばれる推論規則について学びます。

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