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PREDICATE LOGIC

述語論理における含意

目次

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含意

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\rightarrow \)を作用させることで得られる\(A\rightarrow B\)もまた論理式です。\(\rightarrow\)は含意(implication)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\rightarrow B\)を\(A\)から\(B\)への含意(implication from \(A\) to \(B\))と呼びます。これは「\(A\)ならば\(B\)(if \(A\) then \(B\))」という表現に対応する論理式です。含意\(A\rightarrow B\)を構成する\(A\)を前件(antecedent)や前提(premise)、仮定(assumption)などと呼び、\(B\)を後件(consequent)や結論(conclusion)などと呼びます。

例(含意)
以下の主張\begin{equation*}
x\text{が}4\text{の倍数ならば、}x\text{は偶数である}
\end{equation*}はどのような論理式として定式化できるでしょうか。命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は}4\text{の倍数である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の主張は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。同様に考えると、\begin{equation*}
x\text{が}4\text{の倍数でないならば、}x\text{は偶数ではない}
\end{equation*}という主張は、\begin{equation*}
\lnot P\left( x\right) \rightarrow \lnot Q\left( x\right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。

例(含意)
以下の主張\begin{equation*}
x\text{と}y\text{が知り合いであり、}y\text{と}z\text{が知り合いならば、}x\text{と}z\text{は知り合いである}
\end{equation*}はどのような論理式として定式化できるでしょうか。以下の命題関数\begin{eqnarray*}
P\left( x,y\right) &:&x\text{と}y\text{は知り合いである} \\
Q\left( y,z\right) &:&y\text{と}z\text{は知り合いである} \\
R\left( x,z\right) &:&x\text{と}z\text{は知り合いである}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の主張は、\begin{equation*}
\left( P\left( x,y\right) \wedge Q\left( y,z\right) \right) \rightarrow
R\left( x,z\right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。また、\begin{equation*}
x\text{と}y\text{が知り合いではなく、}y\text{と}z\text{も知り合いでなければ、}x\text{と}z\text{は知り合いではない}
\end{equation*}という主張は、\begin{equation*}
\left( \lnot P\left( x,y\right) \wedge \lnot Q\left( y,z\right) \right)
\rightarrow \lnot R\left( x,z\right)
\end{equation*}と定式化されます。

 

含意の解釈

論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であり、論理式\(B\)が変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)であるものとします。このとき、\(A\)と\(B\)の含意\(A\rightarrow B\)は変数\(x,y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(\left( A\rightarrow B\right) \left(x,y,z\right) \)であるものと定めます。開論理式の値を特定するためには解釈、すなわち以下の3つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A,B\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\left(
\overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。解釈を任意に選んだ上で、\(A\left( x,y\right) \)から得られる命題を\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)で、\(B\left( y,z\right) \)から得られる命題を\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)で、\(\left( A\rightarrow B\right) \left( x,y,z\right) \)から得られる命題を\(\left(A\rightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)で表記します。その上で、\(\left( A\rightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)は\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)と\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)の(命題論理における意味での)含意であるものと定めます。つまり、これら3つの命題の真理値の間には、以下の真理値表
$$\begin{array}{ccc}\hline
A\left( \overline{x},\overline{y}\right) & B\left( \overline{y},\overline{z}\right) & \left( A\rightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:含意の値

で表される関係が成り立つものと定めるということです。任意の解釈において同様に考えます。

開論理式である\(A\left( x,y\right) \)と\(B\left( y,z\right) \)に対して、議論領域および\(A\left( x,y\right) \)と\(B\left( y,z\right) \)を構成するすべての命題関数の形状が具体的に与えられている状況を想定します。あとは変数\(x,y,z\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x},\overline{y},\overline{z}\)を指定すれば\(A\left( x,y\right) \)から命題\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が得られ、\(B\left( y,z\right) \)から命題\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が得られ、さらに含意\(\left( A\rightarrow B\right) \left( x,y,z\right) \)から命題\(\left(A\rightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が得られます。\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)からなる集合が\(A\left(x,y\right) \)の真理集合\(\phi \left( A\right) \)であり、\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)からなる集合が\(B\left( y,z\right) \)の真理集合\(\phi \left( B\right) \)であり、\(\left( A\rightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)からなる集合が\(\left(A\rightarrow B\right) \left( x,y,z\right) \)の真理集合\(\phi \left( A\rightarrow B\right) \)です。含意の定義より、任意の値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in X\times Y\times Z\)に対して、\begin{equation*}\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left(
A\rightarrow B\right) \Leftrightarrow \left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi \left( A\right) \rightarrow \left( \overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が含意\(A\rightarrow B\)の真理集合の要素であることは、値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が\(A\)の真理集合の要素である場合には値の組\(\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が\(B\)の真理集合の要素であることを意味します。

ここでは話を一般化するために論理式\(A\)だけが持つ変数の自由な現れ\(x\)、論理式\(B\)だけが持つ変数の自由な現れ\(z\)、そして\(A\)と\(B\)が共有する変数の自由な現れ\(y\)について考えましたが、実際には\(A\)と\(B\)が共通の変数の自由な現れだけを持っていたり、逆に、共通の変数の自由な現れを持たない場合も起こり得ます。また、\(x,y,z\)それぞれに相当する変数の自由な現れが複数存在する場合も上と同様の議論が成り立ちます。また、論理式\(A,B\)が変数の自由な現れを持たない場合、それは閉論理式であることを意味しますが、その場合にも上と同様の議論が成り立ちます。また、開論理式と閉論理式の含意や、閉論理式どうしの含意についても同様に考えます。

例(含意の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x^{2}=1
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x>0
\end{equation*}と定義すると、含意\(\left( P\rightarrow Q\right) \left( x\right) \)は、\begin{equation*}x^{2}=1\rightarrow x>0
\end{equation*}となります。値\(x=1\)については、\(1^{2}=1\)と\(1>0\)がともに真であるため、\begin{eqnarray*}1 &\in &\phi \left( P\right) \\
1 &\in &\phi \left( Q\right) \\
1 &\in &\phi \left( P\rightarrow Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。値\(x=-1\)については、\(\left( -1\right) ^{2}=1\)が真である一方で\(-1>0\)は偽であるため、\begin{eqnarray*}-1 &\in &\phi \left( P\right) \\
-1 &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
-1 &\not\in &\phi \left( P\rightarrow Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。値\(x=0\)については、\(0^{2}=1\)と\(0>0\)はともに偽であるため、\begin{eqnarray*}0 &\not\in &\phi \left( P\right) \\
0 &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
0 &\in &\phi \left( P\rightarrow Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。任意の整数\(x\in X\)について、\begin{equation*}x\in \phi \left( P\rightarrow Q\right) \Leftrightarrow x\in \phi \left(
P\right) \rightarrow x\in \phi \left( Q\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

例(含意の解釈)
変数\(x,y,z\)は共通の定義域\(X\)を持っており、これはある街の住人からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( y,z\right) \)を、\begin{equation*}y\text{と}z\text{は知り合い}
\end{equation*}と定義すると、含意\(\left( P\rightarrow Q\right) \left( x,y,z\right) \)は、\begin{equation*}x\text{と}y\text{が知り合いならば、}y\text{と}z\text{は知り合いである}
\end{equation*}となります。\(A\)と\(B\)が知り合いであるならば、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,A\right) &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,B,A\right) &\in &\phi \left( P\rightarrow Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\(A\)と\(B\)が知り合いであり、\(B\)と\(C\)が知り合いである場合には、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,C\right) &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,B,C\right) &\in &\phi \left( P\rightarrow Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\(A\)と\(B\)が知り合いであり、\(B\)と\(C\)は知り合いではない場合には、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,C\right) &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,B,C\right) &\not\in &\phi \left( P\rightarrow Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。任意の\(A,B,C\in X\)について、\begin{equation*}\left( A,B,C\right) \in \phi \left( P\rightarrow Q\right) \Leftrightarrow
\left( A,B\right) \in \phi \left( P\right) \rightarrow \left( B,C\right) \in
\phi \left( Q\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

例(含意の解釈)
先と同様、変数\(x,y,z\)の定義域\(X\)はある街の住人からなる集合であるとともに、以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{と}y\text{は知り合いである} \\
Q\left( y,z\right) &:&y\text{と}z\text{は知り合いである} \\
R\left( x,z\right) &:&x\text{と}z\text{は知り合いである}
\end{eqnarray*}を定義します。このとき、\begin{equation*}
x\text{と}y\text{が知り合いであり、}y\text{と}z\text{が知り合いならば、}x\text{と}z\text{は知り合いである}
\end{equation*}という主張は以下の論理式\begin{equation*}
\left( P\left( x,y\right) \wedge Q\left( y,z\right) \right) \rightarrow
R\left( x,z\right)
\end{equation*}として定式化されます。\(A,B,C\)が互いに知り合いであるならば、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,C\right) &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,C\right) &\in &\phi \left( \left( P\wedge Q\right) \rightarrow
R\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(A\)と\(B\)が知り合いであり、\(B\)と\(C\)が知り合いである一方、\(A\)と\(C\)が知り合いでない場合には、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,C\right) &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,C\right) &\not\in &\phi \left( \left( P\wedge Q\right) \rightarrow
R\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(A,B,C\)がお互いに知り合いでない場合には、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\not\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,C\right) &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,C\right) &\in &\phi \left( \left( P\wedge Q\right) \rightarrow
R\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(含意の解釈)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)から以下の論理式\begin{equation}\forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。これと命題関数\begin{equation}
P\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}の含意をとると、以下の論理式\begin{equation}
\left( \forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right)
\right) \right) \rightarrow P\left( x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) \)は閉論理式である一方、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状を適当に定めた上で、変数\(x\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x}\)を適当に選ぶと、\(\left( 1\right),\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)から以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \wedge
Q\left( x\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( \overline{x}\right) \\
&&\left( c\right) \ \left( \forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right)
\wedge Q\left( x\right) \right) \right) \rightarrow P\left( \overline{x}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。含意の定義より、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)がともに真である場合には\(\left( c\right) \)は真であり、\(\left( a\right) \)が真で\(\left( b\right) \)が偽である場合には\(\left( c\right) \)は偽です。また、\(\left( a\right) \)が偽である場合には\(\left( b\right) \)の真偽に関わらず\(\left( c\right) \)は真です。

 

演習問題

問題(含意)
変数\(x\)の定義域\(X\)は、\begin{equation*}X=\left\{ 1,2,\cdots ,10\right\}
\end{equation*}であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\leq 3
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は偶数}
\end{equation*}と定義します。このとき、\(P\left( x\right) \)および\(Q\left(x\right) \)およびそれらの含意\(\left( P\rightarrow Q\right) \left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
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問題(含意)
変数\(x\)の定義域\(X\)は、\begin{equation*}X=\left\{ 1,2,\cdots ,10\right\}
\end{equation*}であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は}4\text{の倍数}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は偶数}
\end{equation*}と定義します。このとき、\(P\left( x\right) \)および\(Q\left(x\right) \)およびそれらの含意\(\left( P\rightarrow Q\right) \left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
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命題論理における含意

含意 → は入力された論理式 A,B に対して、A と B の値がともに 1 である場合には 1 を値としてとり、A の値が 0 の場合には B の値によらず常に 1 を値としてとる論理式 A→B を出力する論理演算です。

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