式\(A,B\)に論理演算子\(\leftrightarrow \)を作用させることで得られる\(A\leftrightarrow B\)は\(D\)の論理式です。\(\leftrightarrow \)は同等と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\leftrightarrow B\)を\(A\)と\(B\)の同等と呼びます。
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同等の解釈

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\leftrightarrow \)を作用させることで得られる\(A\leftrightarrow B\)もまた論理式です。\(\leftrightarrow \)は同等(equivalent)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\leftrightarrow B\)を\(A\)と\(B\)の同等(equivalent of \(A\) to \(B\))と呼びます。

論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であり、論理式\(B\)が変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)であるものとします。ここでは話を一般化するために\(A\)だけが持つ変数の自由な現れ\(x\)、\(B\)だけが持つ変数の自由な現れ\(z\)、そして\(A\)と\(B\)が共有する変数の自由な現れ\(y\)について考えていますが、実際には、\(A\)と\(B\)が共通の変数の自由な現れだけを持っていたり、逆に、共通の変数の自由な現れを持たない場合も起こり得ます。また、\(x,y,z\)それぞれに相当する変数の自由な現れが複数存在する場合も以下の議論と同様の議論が成り立ちます。また、論理式\(A,B\)が変数の自由な現れを持たない場合、それは閉論理式であることを意味しますが、その場合にも以下の議論と同様の議論が成り立ちます。

繰り返しになりますが、論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であり、論理式\(B\)が変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)であるものとします。このとき、\(A\)と\(B\)の同等\(A\leftrightarrow B\)は変数\(x,y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(\left( A\leftrightarrow B\right) \left( x,y,z\right) \)であるものと定めます。開論理式を解釈することとは以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}
\end{eqnarray*}を具体的に特定することを意味し、解釈を任意に選ぶと3つの命題\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)と\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)と\(\left( A\leftrightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が得られます。このとき、\(\left( A\leftrightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)を\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)と\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)の同等と同一視します。つまり、これらの命題の真理値の間には、以下の真理値表で表される関係が成り立つということです。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
A\left( \overline{x},\overline{y}\right) & B\left( \overline{y},\overline{z}\right) & \left( A\leftrightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:同等の値

開論理式と閉論理式の同等や、閉論理式どうしの同等についても同様に考えます。

例(同等の解釈)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)はともに変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{1}\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{は}-1\text{以上}1\text{以下の整数からなる集合} \\
&&\left( b_{1}\right) \ P\left( x\right) :x^{2}=1 \\
&&\left( b_{2}\right) \ Q\left( x\right) :x>0
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。同等\(P\left( x\right) \leftrightarrow Q\left( x\right) \)もまた変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式であり、その形状は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \leftrightarrow Q\left( x\right) :x^{2}=1\leftrightarrow x>0
\end{equation*}となります。例えば、値\(x=-1\)については、\begin{eqnarray*}
P\left( -1\right) &:&\left( -1\right) ^{2}=1 \\
Q\left( -1\right) &:&-1>0
\end{eqnarray*}となりますが、\(P\left( -1\right) \)は真で\(Q\left( -1\right) \)は偽であるため、同等の定義より、\begin{equation*}
P\left( 1\right) \leftrightarrow Q\left( 1\right) :1^{2}=1\leftrightarrow 1>0
\end{equation*}は偽です。また、値\(x=0\)については、\begin{eqnarray*}
P\left( 0\right) &:&0^{2}=1 \\
Q\left( 0\right) &:&0>0
\end{eqnarray*}はともに偽であるため、同等の定義より、\begin{equation*}
P\left( 0\right) \leftrightarrow Q\left( 0\right) :0^{2}=1\leftrightarrow 0>0
\end{equation*}は真です。また、値\(x=1\)については、\begin{eqnarray*}
P\left( 1\right) &:&1^{2}=1 \\
Q\left( 1\right) &:&1>0
\end{eqnarray*}はともに真であるため、同等の定義より、\begin{equation*}
P\left( 1\right) \leftrightarrow Q\left( 1\right) :1^{2}=1\leftrightarrow 1>0
\end{equation*}は真です。
例(同等の解釈)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式であり、命題関数\(Q\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{1}\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{はすべての自然数からなる集合} \\
&&\left( b_{1}\right) \ P\left( x,y\right) :x+y\leq 4 \\
&&\left( b_{2}\right) \ Q\left( x\right) :x\leq 2
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。同等\(P\left( x,y\right) \leftrightarrow Q\left( x\right) \)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式であり、その形状は、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) \leftrightarrow Q\left( x\right) :x+y\leq
4\leftrightarrow x\leq 2
\end{equation*}となります。例えば、値の組\(\left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \)については、\begin{eqnarray*}
P\left( 1,1\right) &:&1+1\leq 4 \\
Q\left( 1\right) &:&1\leq 2
\end{eqnarray*}となりますが、これらはともに真であるため、同等の定義より、\begin{equation*}
P\left( 1,1\right) \leftrightarrow Q\left( 1\right) :1+1\leq
4\leftrightarrow 1\leq 2
\end{equation*}もまた真です。また、値の組\(\left( x,y\right) =\left( 3,1\right) \)については、\begin{eqnarray*}
P\left( 3,1\right) &:&3+1\leq 4 \\
Q\left( 3\right) &:&3\leq 2
\end{eqnarray*}となりますが、\(P\left( 3,1\right) \)は真で\(Q\left( 3\right) \)は偽であるため、同等の定義より、\begin{equation*}
P\left( 3,1\right) \leftrightarrow Q\left( 3\right) :3+1\leq
4\leftrightarrow 3\leq 2
\end{equation*}は偽です。

 

同等の真理集合

繰り返しになりますが、論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であり、論理式\(B\)が変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)であるとき、これらの同等\(A\leftrightarrow B\)は変数\(x,y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(\left( A\leftrightarrow B\right) \left( x,y,z\right) \)となります。今、開論理式の解釈の中でも、議論領域と、論理式を構成するすべての命題関数の形状を指定すれば、\(A\)の真理集合\(\phi \left( A\right) \)と\(B\)の真理集合\(\phi \left( B\right) \)、そして\(A\leftrightarrow B\)の真理集合\(\phi \left( A\leftrightarrow B\right) \)がそれぞれ得られます。さらに、変数の自由な現れに代入する値\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left(
A\leftrightarrow B\right) &\Leftrightarrow &\left( A\leftrightarrow
B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \text{は真}\quad \because \phi \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \text{は真}\leftrightarrow B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \text{は真}\quad \because \leftrightarrow \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi \left(
A\right) \leftrightarrow \left( \overline{y},\overline{z}\right) \in \phi
\left( B\right) \quad \because \phi \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left(
A\leftrightarrow B\right) \Leftrightarrow \left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi \left( A\right) \leftrightarrow \left( \overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が\(A\leftrightarrow B\)の真理集合の要素であることは、\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が\(A\)の真理集合の要素であるとともに\(\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が\(B\)の真理集合の要素であるか、もしくは、\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が\(A\)の真理集合の要素でないとともに\(\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が\(B\)の真理集合の要素でないことを意味します。

例(同等の真理集合)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)はともに変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{1}\right) \ \text{変数}x\text{の定義域}X\text{は}1\text{以上}9\text{以下の整数からなる集合} \\
&&\left( b_{1}\right) \ P\left( x\right) :x\leq 3 \\
&&\left( b_{2}\right) \ Q\left( x\right) :x\text{は偶数}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、\begin{eqnarray*}
\phi \left( P\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
\phi \left( Q\right) &=&\left\{ 2,4,6,8\right\}
\end{eqnarray*}であるため、同等の定義より、\begin{equation*}
\phi \left( P\leftrightarrow Q\right) =\left\{ 2,5,7,9\right\}
\end{equation*}となります。
例(同等の真理集合)
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式であり、命題関数\(Q\left( y,z\right) \)は変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状を選んだ上で、そこでの\(P,Q\)の真理集合を\(\phi \left( P\right) ,\phi \left( Q\right) \)で表します。論理式\(\lnot P\left( x,y\right) \leftrightarrow Q\left( y,z\right) \)は変数\(x,y,z\)の自由な現れを持つ開論理式であり、その真理集合を\(\phi \left( \lnot P\leftrightarrow Q\right) \)で表します。このとき、それぞれの値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)について、\begin{eqnarray*}
\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left( \lnot
P\leftrightarrow Q\right) &\Leftrightarrow &\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi \left( \lnot P\right) \leftrightarrow \left( \overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left( Q\right) \quad \because \leftrightarrow
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( \overline{x},\overline{y}\right) \not\in \phi
\left( P\right) \leftrightarrow \left( \overline{y},\overline{z}\right) \in
\phi \left( Q\right) \quad \because \lnot \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、それぞれの\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)において、命題\(P\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)の値と命題\(Q\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)の値が一致しない場合にのみ、命題\(\left( \lnot P\leftrightarrow Q\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)は真になります。

 

同等と含意・否定・論理和の関係

論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であり、論理式\(B\)が変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)であるものとします。今、開論理式の解釈の中でも、議論領域と、論理式を構成するすべての命題関数の形状をした上で、変数の自由な現れに代入する値\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)を任意に選ぶと、同等の言い換えより、\begin{equation*}
A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \leftrightarrow B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \Leftrightarrow \left( A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \rightarrow B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \right) \wedge
\left( B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \rightarrow A\left(
\overline{x},\overline{y}\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
\left( A\leftrightarrow B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \Leftrightarrow \left( \left( A\rightarrow B\right) \wedge \left(
B\rightarrow A\right) \right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\phi \left( A\leftrightarrow B\right) =\phi \left( \left( A\rightarrow
B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の解釈において、同等\(A\leftrightarrow B\)の値は論理式\(\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) \)の値と常に一致するということです。この事実は、同等\(\leftrightarrow \)は論理積\(\wedge \)と含意\(\rightarrow \)から間接的に定義可能であることを意味します。また、復習になりますが、含意\(A\rightarrow B\)と論理式\(\lnot A\vee B\)の値は任意の解釈のもとで一致するため、含意\(\rightarrow \)は否定\(\lnot \)と論理和\(\vee \)から間接的に定義可能です。以上を踏まえると、\(\leftrightarrow \)が\(\wedge \)と\(\rightarrow \)から間接的に定義可能であることは、\(\leftrightarrow \)が\(\lnot \)と\(\vee \)から間接的に定義可能であることを意味します。したがって、否定と論理和さえ定義されていれば、同等を新たな論理演算として定義する必要はありません。とは言え、同等を独立した論理演算として定義しておくと何かと便利ですので、以降でも引き続き\(\leftrightarrow \)を採用します。

次回は全称命題の値について学びます。

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