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PREDICATE LOGIC

存在導入(存在汎化)

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存在導入

復習になりますが、論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、存在除去とは、\begin{equation*}\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}と定義される推論規則です。ただし、記号\(c\)は命題関数\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表すものであり、変数\(x\)そのものや、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値とは区別されます。したがって、存在除去の結論である\(A\left(c\right) \)とは、論理式\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に定義域\(X\)中の何らかの値を代入して得られる命題が真になることを意味します。したがってこの場合、存在除去の前提である\(\exists x\in X:A\left(x\right) \)もまた成り立ちます。以上を踏まえた上で、以下の推論規則\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものと定め、これを存在導入(existential introduction)や\(\exists \)導入(\(\exists \) introduction)、存在汎化(existential generalization)などと呼びます。

繰り返しになりますが、存在導入中の\(c\)は命題関数\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号です。したがって、\(c\)が変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号である場合においても、存在導入のもとでは、\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、変数\(x\)がとり得る具体的な値\(x_{i}\in X\)を任意に選んだ場合にも、存在導入のもとでは、\begin{equation*}A\left( x_{i}\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(存在導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{太郎は日本人である} \\
&&\text{したがって、日本人が存在する}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{equation*}P\left( x\right) :x\text{は日本人である}
\end{equation*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x\right) \ \therefore \ \exists x\in X:P\left(
x\right)
\end{equation*}と定式化されます。前提である、\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}に全称除去を適用すると、\begin{equation*}
P\left( c\right)
\end{equation*}を得るため、これに存在導入を適用すると、\begin{equation*}
\exists x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、与えられた推論が妥当であることが示されました。

例(存在導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{運転手はいずれも運転免許を持っている} \\
&&\text{運転手であるような女性が存在する} \\
&&\text{したがって、運転免許を持っている女性が存在する}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は運転手である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は運転免許を持っている} \\
R\left( x\right) &:&x\text{は女性である}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{eqnarray}
&\forall x\in &X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \quad \cdots (1) \\
&\exists x\in &X:\left( P\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \right)
\quad \cdots (2) \\
&\therefore &\ \exists x\in X:\left( Q\left( x\right) \wedge R\left(
x\right) \right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定式化されます。論理式\(P\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)を導入します。\(\left( 1\right) \)に全称除去を適用すると、\begin{equation}P\left( c\right) \rightarrow Q\left( c\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を得て、\(\left( 2\right) \)に存在除去を適用すると、\begin{equation}P\left( c\right) \wedge R\left( c\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。\(\left( 5\right) \)から\(P\left( c\right) \)が得られるため、これと\(\left( 4\right) \)に含意除去を適用すると、\begin{equation}Q\left( c\right) \quad \cdots (6)
\end{equation}を得ます。また、\(\left(5\right) \)から、\begin{equation}R\left( c\right) \quad \cdots (7)
\end{equation}を得ます。\(\left( 6\right) ,\left( 7\right) \)から、\begin{equation*}Q\left( c\right) \wedge R\left( c\right)
\end{equation*}を得るため、これに存在導入を適用すると、\begin{equation*}
\exists x\in X:\left( Q\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得るため、与えられた推論が妥当であることが示されました。

例(存在導入)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)とある値\(\overline{x}\in X\)について、\begin{equation*}P\left( \overline{x}\right) \wedge Q\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が真ならば、存在導入より、\begin{equation*}
\exists x\in X\ \left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}は真です。

例(存在導入)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x\right) \)と値\(\overline{x}\in X\)に関する、\begin{equation}P\left( \overline{x},y\right) \rightarrow Q\left( \overline{x}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}という開論理式が与えられたとき、存在導入より、\begin{equation}
\exists x\in X\ \left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}という開論理式が導かれます。つまり、\(\left( 1\right) \)が真であるような任意の解釈において\(\left( 2\right) \)も真になります。

 

存在導入に関する制約

繰り返しになりますが、論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、存在導入とは、\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}と定義される推論規則です。ただし、この推論規則の前提に相当する\(A\left( c\right) \)において変数\(x\)の自由な現れが存在する場合、上の推論規則は妥当ではなくなってしまいます。以下の例より明らかです。

例(存在導入に関する制約)
変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はいずれもすべての実数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\not=y\vee x>y
\end{equation*}と定義します。存在導入を無批判に適用すると、例えば、\begin{equation}
P\left( x,c\right) \ \models \ \exists x\in X:P\left( x,x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\left( x\not=c\vee x>c\right) \ \models \ \exists x\in X:\left( x\not=x\vee
x>x\right)
\end{equation*}を得ますが、結論は恒偽式であるため、上の推論規則は成り立ちません。このような問題をもたらした原因は、\(\left( 1\right) \)の前提\(P\left( x,c\right) \)が変数\(x\)の自由な現れを持つにも関わらず、それに対して無批判に存在導入を適用してしまったからです。

以上の例から明らかになったように、存在導入\begin{equation*}
A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}を適用する際には、前提である論理式\(A\left(x\right) \)が変数\(x\)の自由な現れを持たないことを確認する必要があります。

次回から証明について学びます。

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