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PREDICATE LOGIC

仮言三段論法

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仮言三段論法

以下の命題が成り立ちます。

命題(仮言三段論法)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A\rightarrow B\ \wedge \ B\rightarrow C\ \Rightarrow \ A\rightarrow C
\end{equation*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B,C\)に関して以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ B\rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\rightarrow B\)と\(\ B\rightarrow C\)がともに真であるような任意の解釈のもとで\(A\rightarrow C\)は必ず真になります。これは仮言三段論法(hypothetical syllogism)と呼ばれる推論規則です。

例(仮言三段論法)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x\text{が自然数ならば}x\text{は整数である} \\
&&x\text{が整数ならば}x\text{は実数である} \\
&&\text{したがって、}x\text{が自然数ならば}x\text{は実数である}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域はすべての数からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は自然数である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は整数である}
\\
R\left( x\right) &:&x\text{は実数である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) ,\ Q\left( x\right) \rightarrow R\left( x\right) \ \therefore \ P\left( x\right) \rightarrow R\left( x\right)
\end{equation*}と定式化されます。仮言三段論法よりこれは妥当な推論です。

次回は構成的ジレンマと呼ばれる推論規則について学びます。

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