述語論理における仮言三段論法

任意の論理式\(A,B,C\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ B\rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}が成り立つ。

命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) ,R\left(x\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、仮言三段論法より、\begin{equation*}P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) ,\ Q\left( x\right)
\rightarrow R\left( x\right) \ \models \ P\left( x\right) \rightarrow
R\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) ,R\left(x\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、仮言三段論法より、\begin{equation*}P\left( x\right) \rightarrow \lnot Q\left( x\right) ,\ \lnot Q\left(
x\right) \rightarrow R\left( x\right) \ \models \ P\left( x\right)
\rightarrow R\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の自然数は整数である} \\
&&\text{任意の整数は実数である} \\
&&\text{したがって、任意の自然数は実数である}
\end{eqnarray*}以下の命題関数\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は自然数である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は整数である}
\\
R\left( x\right) &:&x\text{は実数である}
\end{eqnarray*}を定義します。ただし、変数\(x\)の定義域はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)です。すると、先の推論は、\begin{eqnarray}\forall x &\in &\mathbb{R} :P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \quad \cdots (1) \\
\forall x &\in &\mathbb{R} :Q\left( x\right) \rightarrow R\left( x\right) \quad \cdots (2) \\
&\therefore &\forall x\in \mathbb{R} :P\left( x\right) \rightarrow R\left( x\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定式化されます。推論の前提\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)に全称除去を適用すると、\begin{eqnarray*}P\left( c\right) &\rightarrow &Q\left( c\right) \\
Q\left( c\right) &\rightarrow &R\left( c\right)
\end{eqnarray*}を得ます。これらに仮言三段論法を適用すると、\begin{equation*}
P\left( c\right) \rightarrow R\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。さらにこれに全称導入を適用すると、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :P\left( x\right) \rightarrow R\left( x\right)
\end{equation*}を得ますが、これは\(\left( 3\right) \)に他なりません。したがって、推論が妥当であることが示されました。

以下の推論が妥当であることを示してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{本を沢山読む人は多くのことを知っている} \\
&&\text{多くのことを知っている人は軽率ではない} \\
&&\text{したがって、本を沢山読む人は軽率ではない}
\end{eqnarray*}

以下の推論が妥当であることを示してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{本を読まない人は多くのことを知らない} \\
&&\text{多くのことを知らない人は軽率である} \\
&&\text{したがって、本を読まない人は軽率である}
\end{eqnarray*}