存在除去
論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、変数\(x\)に関する存在命題\begin{equation}\exists x\in X:A\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は、以下の論理式\begin{equation*}
\bigvee_{x\in X}A\left( x\right)
\end{equation*}と必要十分なものとして定義されます。したがって、仮に変数\(x\)がとり得る個々の値を、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}と具体的に特定できるのであれば、\(\left( 1\right) \)が成り立つこととは、変数\(x\)に対して\(X\)中の個々の値を代入して得られる以下の命題\begin{equation}P\left( x_{1}\right) ,\ P\left( x_{2}\right) ,\ P\left( x_{3}\right) ,\cdots
\quad \cdots (2)
\end{equation}の中の少なくとも1つが真であることを意味します。ただ、同じことをもう少し一般的な形で表現することもできます。
変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値\(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \)とは異なる記号\(c\)を導入します。この記号\(c\)は論理式\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表すものであり、変数\(x\)そのものや、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値\(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \)とは区別されます。その上で、論理式\(A\left( x\right) \)中の変数\(x\)に定義域\(X\)中の何らかの値を代入して得られる命題が真になることを、すなわち\(\left( 2\right) \)の中の少なくとも1つが真であることを、\begin{equation}A\left( c\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}と表記します。以上を踏まえた上で、以下のような操作\begin{equation*}
\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}が可能であることを認め、これを存在例化（existential instantiation）と呼びます。
存在命題\begin{equation*}
\exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が意味するのは、ある対象について\(A\left( x\right) \)が成り立つということだけであり、その対象が具体的に何であるかは分かりません。そこで、その対象を仮に\(c\)と表記して議論を進めるために、\begin{equation*}A\left( c\right)
\end{equation*}とすることができるというのが存在例化の意味するところです。その後、得られた\(A\left( c\right) \)から推論を続けて何らかの結論\(B\)を導くことが前提となっています。逆に言うと、存在例化\begin{equation*}\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}を適用した時点で議論を止めることはできません。なぜなら、この時点で議論を止めてしまうと、「ある性質を満たす対象が存在する」という主張から「特定の対象がその性質を満たす」という主張へ飛躍していることになってしまうからです。存在例化は単独で適用するものではなく、存在例化から命題\(A\left( c\right) \)を得た後、それを用いて何らかの結論\(B\)を導くプロセス全体の一部として適用する必要があります。しかも、結論\(B\)の中に記号\(c\)は含まれていてはいけません。存在例化で導入した記号\(c\)は一時的に議論を進めるためだけに用いられる記号であり、最終的な結論の中に残すことはできません。いずれにせよ、存在例化を用いながら、最終的に\(c\)を含まない結論\(B\)を導くために行われる一連の推論プロセス\begin{eqnarray*}
\exists x\in X:A\left( x\right) &\models &A\left( c\right) \\
&\models &\cdots \\
&\models &B
\end{eqnarray*}を存在除去（existential elimination）や\(\exists \)除去（\(\exists \) elimination）などと呼びます。
繰り返しになりますが、存在例化中の\(c\)は論理式\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号です。では、\(c\)が変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号である場合にも、\begin{equation*}\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか。成り立ちません。なぜなら、論理式\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に何らかの値を代入すれば真になる場合、変数\(x\)にどのような値を代入しても真になるとは限らないからです。また、変数\(x\)がとり得る具体的な値\(x_{i}\in X\)を選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( x_{i}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。なぜなら、\(\exists x\in X:A\left( x\right) \)が真である場合には何らかの具体的な値\(x_{j}\in X\)について命題\(A\left( x_{j}\right) \)が真であることを意味するものの、\(x_{j}\not=x_{i}\)である場合、命題\(A\left( x_{i}\right) \)は真であるとは限らないからです。
\end{equation*}が与えられているものとします。存在例化より、\begin{equation*}
P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、この結論には記号\(c\)が含まれているため、ここで推論を終えることはできません。最終的に\(c\)を含まない結論で推論を終える必要があります。
Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。存在例化より、\begin{equation*}
\exists y\in X:\left( P\left( c,y\right) \rightarrow Q\left( c\right)
\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、この結論には記号\(c\)が含まれているため、ここで推論を終えることはできません。最終的に\(c\)を含まない結論で推論を終える必要があります。
\exists x\in \mathbb{R} :x>0
\end{equation*}が与えられているものとします。正の実数を表す記号\(c\)について、存在例化より、\begin{equation*}c>0
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、この結論には記号\(c\)が含まれているため、ここで推論を終えることはできません。最終的に\(c\)を含まない結論で推論を終える必要があります。
&&\text{期末試験で80点以上とった学生の成績はいずれも優である} \\
&&\text{期末試験で90点とった学生が存在する} \\
&&\text{したがって、優をとった学生が存在する}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての学生からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は期末試験で80点以上とる} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{の成績は優である}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{eqnarray}
&\forall x\in &X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \quad \cdots (1) \\
&\exists x\in &X:P\left( x\right) \quad \cdots (2) \\
&\therefore &\exists x\in X:Q\left( x\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定式化されます。\(\left( 1\right) \)に全称除去を適用すると、命題関数\(Q\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、\begin{equation}P\left( c\right) \rightarrow Q\left( c\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を得ます。\(\left( 2\right) \)に存在例化を適用すると、\begin{equation}P\left( c\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。その上で、\(\left( 4\right) ,\left( 5\right) \)に含意除去を適用すると、\begin{equation}Q\left( c\right) \quad \cdots (6)
\end{equation}を得ます。\(\left( 6\right) \)に存在導入を適用すると、\begin{equation*}\exists x\in X:Q\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。以上で\(\left(3\right) \)が導かれました。結論\(\left( 3\right) \)には記号\(c\)が含まれていないため、ここで推論を終えても問題はありません。
存在除去に関する制約
先に指摘したように、存在例化\begin{equation*}
\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}の結論には記号\(c\)が含まれているため、ここで推論を終えることはできません。最終的に\(c\)を含まない結論\(B\)で推論を終える必要があります。その上で、その一連のプロセス\begin{eqnarray*}
\exists x\in X:A\left( x\right) &\models &A\left( c\right) \\
&\models &\cdots \\
&\models &B
\end{eqnarray*}を存在除去と呼びます。
\quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。存在例化より、\begin{equation*}
c\text{は医師である}
\end{equation*}を得ます。ただし、ここで推論を終えることはできません。なぜなら、\(\left( 1\right) \)は「医師が少なくとも1人存在する」という主張である一方で、\(\left(2\right) \)は「\(c\)さんは医師である」という、あたかも実在する特定人物について述べた命題であり、ここで議論を止めてしまうと論理の飛躍があるからです。\(c\)はあくまでも存在する医師を表すために導入された記号であり、後に続く議論において使われ、最終的な結論からは消去されている必要があります。
\exists x\in \mathbb{R} :x=\pi
\end{equation*}が与えられているものとします。存在例化より、\begin{equation}
c=\pi \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。ただし、ここで推論を終えることはできません。仮に、ここで議論を終えて、次の命題\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} :x=e
\end{equation*}に存在例化を適用すると、\begin{equation}
c=e \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ますが、すると\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\pi =e
\end{equation*}となり、誤った結論が導かれてしまいます。これは明らかに誤った推論です。このような問題が起きた理由は、\(\left( 1\right) \)に登場した記号\(c\)を消去せずに次の議論へ移行してしまったからです。存在例化で導入する記号は局所的な議論の中だけで使ってよく、外に持ち出すことはできません。
演習問題
&&\text{生物学上の父を持つ人はいずれも生物学上の母を持つ} \\
&&\text{生物学上の父を持つ人が存在する} \\
&&\text{したがって、ある人は生物学上の母を持つ}
\end{eqnarray*}
&&\text{偶数である整数はすべて整数である。} \\
&&\text{偶数である整数が存在する。} \\
&&\text{したがって、整数が存在する。}
\end{eqnarray*}
\text{実数解を持つ方程式}x^{2} &=&1\text{が存在する} \\
\text{したがって、ある実数}c\text{は}x^{2} &=&1\text{の解である。}
\end{eqnarray*}
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