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PREDICATE LOGIC

存在除去(存在例化)

目次

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存在除去

論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、変数\(x\)に関する存在命題\begin{equation}\exists x\in X:A\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は、以下の論理式\begin{equation*}
\bigvee_{x\in X}A\left( x\right)
\end{equation*}と必要十分なものとして定義されます。したがって、仮に変数\(x\)がとり得る個々の値を、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}と具体的に特定できるのであれば、\(\left( 1\right) \)が成り立つこととは、変数\(x\)に対して\(X\)中の個々の値を代入して得られる以下の命題\begin{equation}P\left( x_{1}\right) ,\ P\left( x_{2}\right) ,\ P\left( x_{3}\right) ,\cdots
\quad \cdots (2)
\end{equation}の中の少なくとも1つが真であることを意味します。ただ、同じことをもう少し一般的な形で表現することもできます。具体的には、まず、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値\(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \)とは異なる記号\(c\)を導入します。この記号\(c\)は命題関数\(A\left( x\right) \)の変数\(x \)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表すものであり、変数\(x\)そのものや、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値\(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \)とは区別されます。その上で、論理式\(A\left( x\right) \)中の変数\(x\)に定義域\(X\)中の何らかの値を代入して得られる命題が真になることを、\begin{equation*}A\left( c\right)
\end{equation*}と表記します。これは\(\left( 2\right) \)中の少なくとも1つが真であることを一般的な形で表現したものです。以上を踏まえた上で、以下の推論規則\begin{equation*}\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}が成り立つものと定め、これを存在除去(existential elimination)や\(\exists \)除去(\(\exists \) elimination)、存在例化(existential instantiation)などと呼びます。

繰り返しになりますが、存在除去中の\(c\)は命題関数\(A\left( x\right) \)の変数\(x \)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号です。では、\(c\)が変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号である場合についても、\begin{equation*}\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか。成り立ちません。なぜなら、命題関数\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に何らかの値を代入すれば真になる場合、変数\(x\)にどのような値を代入しても真になるとは限らないからです。また、変数\(x\)がとり得る具体的な値\(x_{i}\in X\)を選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( x_{i}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。なぜなら、\(\exists x\in X:A\left( x\right) \)が真である場合には何らかの具体的な値\(x_{j}\in X\)について命題\(A\left( x_{j}\right) \)が真であることを意味するものの、\(x_{j}\not=x_{i}\)である場合、命題\(A\left( x_{i}\right) \)は真であるとは限らないからです。

例(存在除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{期末試験で80点以上とった学生の成績はいずれも優である} \\
&&\text{期末試験で90点とった学生が存在する} \\
&&\text{したがって、ある学生}c\text{の成績は優である}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての学生からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は期末試験で80点以上とる} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{の成績は優である}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{eqnarray}
&\forall x\in &X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \quad \cdots (1) \\
&\exists x\in &X:P\left( x\right) \quad \cdots (2) \\
&\therefore &\ Q\left( c\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定式化されます。ただし、\(c\)は命題関数\(Q\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号です。\(\left( 2\right) \)に存在除去を適用すると、\begin{equation}P\left( c\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を得ます。また、\(\left(1\right) \)に全称除去を適用すると、\begin{equation}P\left( c\right) \rightarrow Q\left( c\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。\(\left( 4\right) \)と\(\left(5\right) \)に含意除去を適用すると、\begin{equation*}Q\left( c\right)
\end{equation*}を得るため、与えられた推論が妥当であることが明らかになりました。

例(存在除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x^{2}=1\text{を満たす実数解}x\text{が存在する} \\
&&\text{したがって、ある実数}c\text{は}x^{2}=1\text{の解である}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は}x^{2}=1\text{の実数解である}
\end{equation*}と定義すると、与えられた推論は、\begin{eqnarray}
&\exists x\in &X:P\left( x\right) \quad \cdots (1) \\
&\therefore &\ P\left( c\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}と定式化されます。ただし、\(c\)は命題関数\(P\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号です。\(\left( 1\right) \)に存在除去を適用すると、\begin{equation*}P\left( c\right)
\end{equation*}となるため、与えられた推論が妥当であることが明らかになりました。

例(存在除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x^{2}=1\text{を満たす実数解}x\text{が存在する} \\
&&\text{したがって、実数}2\text{は}x^{2}=1\text{の解である}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は}x^{2}=1\text{の実数解である}
\end{equation*}と定義すると、与えられた推論は、\begin{eqnarray}
&\exists x\in &X:P\left( x\right) \quad \cdots (1) \\
&\therefore &\ P\left( 2\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}と定式化されます。\(2\)は変数\(x\)がとり得る具体的な値の1つであるため、\(\left( 1\right) \)に対して存在除去を適用して\(\left( 2\right) \)を得ることはできません。したがって、与えられた推論が妥当であることを存在除去を用いて示すことはできません。ちなみに、\(2^{2}=4\not=1\)であるため、与えられた推論は妥当ではありません。
例(存在除去)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}について考えます。論理式\(P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)を導入すると、存在除去より、\begin{equation*}P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。一方、変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)に対しては存在除去は適用できないため、そのような\(c\)に対しては、\begin{equation*}P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}を導くことができません。

例(存在除去)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\exists x\in X,\ \exists y\in X:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow
Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}について考えます。論理式\(\exists y\in X:\left( P\left( x,y\right)\rightarrow Q\left( x\right) \right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)を導入すると、存在除去より、\begin{equation*}\exists y\in X:\left( P\left( c,y\right) \rightarrow Q\left( c\right) \right)
\end{equation*}を得ます。一方、変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)に対しては存在除去は適用できないため、そのような\(c\)に対しては、\begin{equation*}\exists y\in X:\left( P\left( c,y\right) \rightarrow Q\left( c\right) \right)
\end{equation*}を導くことができません。

 

演習問題

問題(存在除去)
以下の推論が妥当であることを証明してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{生物学上の父を持つ人はいずれも生物学上の母を持つ} \\
&&\text{生物学上の父を持つ人が存在する} \\
&&\text{したがって、ある人}c\text{は生物学上の母を持つ}
\end{eqnarray*}
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次回は存在導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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