論理式 A が真であるような任意の解釈や、論理式 B が真であるような任意の解釈のもとでは A∨B は必ず真になります。これは選言導入と呼ばれる推論規則です。

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選言導入

以下の命題が成り立ちます。

命題(選言導入)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A &\Rightarrow &A\vee B \\
\left( b\right) \ B &\Rightarrow &A\vee B
\end{eqnarray*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B\)に関して、以下の推論規則\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\ &\models &\ A\vee B \\
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}がともに成立します。つまり、\(A\)が真であるような任意の解釈のもとで\(A\vee B\)は必ず真になり、\(B\)が真であるような任意の解釈のもとで\(A\vee B\)は必ず真になります。これは選言導入(disjunction introduction)や\(\vee \)導入(\(\vee \) introduction)と呼ばれる推論規則です。

例(選言導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は}x\text{曜日である。} \\
&&\text{ゆえに、今日は}x\text{曜日であるか、もしくは現在}y\text{時だ。}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての曜日からなる集合、変数\(y\)の定義域\(Y \)はすべての時刻からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&\text{今日は}x\text{曜日である} \\
Q\left( y\right) &:&\text{現在は}y\text{時である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \ \therefore \ P\left( x\right) \vee Q\left( y\right)
\end{equation*}と定式化されます。選言導入よりこれは妥当な推論です。

次回は選言除去と呼ばれる推論規則について学びます。

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