選言導入
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の推論規則\begin{equation*}A\ \models \ A\vee B
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が真であるような任意の解釈において\(A\vee B\)は真になります。同様に、\begin{equation*}B\ \models \ A\vee B
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(B\)が真であるような任意の解釈において\(A\vee B\)は真になります。以上の推論規則を選言導入（disjunction introduction）や\(\vee \)導入（\(\vee \)introduction）などと呼びます。
選言導入は、「真であることが分かっている命題に、もう一つの可能性を付け加えても真である」という推論規則です。例えば、「今日は雨である」が真ならば、「今日は雨である、または明日は晴れである」も必ず真になります。
命題（選言導入）
任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\ &\models &\ A\vee B \\
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
例（選言導入）
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が任意に与えられたとき、選言導入より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ P\left( x\right) \ \models \ P\left( x\right) \vee
Q\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ Q\left( x\right) \ \models \ P\left( x\right) \vee
Q\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
Q\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ Q\left( x\right) \ \models \ P\left( x\right) \vee
Q\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
例（選言導入）
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{任意の偶数は}2\text{で割り切れる} \\
&&\text{ゆえに、任意の偶数は}2\text{または}3\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての偶数からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は}2\text{で割り切れる} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は}3\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論は、\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x\right) \ \therefore \ \forall x\in X:\left( P\left(
x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}と定式化されます。推論の前提に全称除去を適用すると、\begin{equation*}
P\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。これに選言導入を適用すると、\begin{equation*}
P\left( c\right) \vee Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。さらにこれに全称導入を適用すると、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得るため、推論が妥当であることが示されました。
&&\text{任意の偶数は}2\text{で割り切れる} \\
&&\text{ゆえに、任意の偶数は}2\text{または}3\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての偶数からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は}2\text{で割り切れる} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は}3\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}を定義すると、先の推論は、\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x\right) \ \therefore \ \forall x\in X:\left( P\left(
x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}と定式化されます。推論の前提に全称除去を適用すると、\begin{equation*}
P\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。これに選言導入を適用すると、\begin{equation*}
P\left( c\right) \vee Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。さらにこれに全称導入を適用すると、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得るため、推論が妥当であることが示されました。
選言導入の一般化
選言導入は以下のような形で一般化可能です。
命題（選言導入）
論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が任意に与えられたとき、その中の1つの論理式\(A_{k}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}A_{k}\ \models \ \bigvee_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題において\(n=2\)とおくと、\begin{eqnarray*}A_{1}\ &\models &\ A_{1}\vee A_{2} \\
A_{2}\ &\models &\ A_{1}\vee A_{2}
\end{eqnarray*}などが得られますが、これは先に示した選言導入に他なりません。
例（選言導入）
命題関数\(P_{1}\left( x\right) ,\cdots ,P_{n}\left(x\right) \)が任意に与えられたとき、その中の1つの命題関数\(P_{k}\left( x\right) \)を任意に選ぶと、先の命題より、\begin{equation*}P_{k}\left( x\right) \ \models \ \bigvee_{i=1}^{n}P_{i}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
問題（選言導入）
任意の論理式\(A,B,C,D\)に関して、以下の推論規則\begin{equation*}\left( A\vee B\vee C\right) \rightarrow D\ \models \ A\rightarrow D
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
問題（選言導入）
任意の論理式\(A,B,C,D\)に関して、以下の推論規則\begin{equation*}A,\ B\ \models \ \left( A\vee C\right) \wedge \left( B\vee D\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
問題（選言導入）
任意の論理式\(A,B,C,D\)に関して、以下の推論規則\begin{equation*}A\wedge B\ \models \ \left( A\vee C\right) \wedge \left( B\vee D\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
問題（選言導入）
任意の論理式\(A,B,C,D\)に関して、以下の推論規則\begin{equation*}A\rightarrow C\ \models \ \left( A\vee B\right) \rightarrow C
\end{equation*}は成り立つでしょうか。議論してください。
\end{equation*}は成り立つでしょうか。議論してください。
