WIIS

述語論理

述語論理における論理積

目次

Mailで保存
Xで共有

論理積

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\wedge \)を作用させることで得られる、\begin{equation*}A\wedge B
\end{equation*}もまた論理式です。\(\wedge \)は論理積(logical product)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\wedge B\)を\(A\)\(B\)の論理積(logical product of \(A\) and \(B\))と呼びます。これは「\(A\)かつ\(B\)(\(A\) and \(B\))」という表現に対応する論理式です。

例(論理積)
以下の主張\begin{equation*}
x\text{は偶数であり、なおかつ}y\text{は奇数である}
\end{equation*}をどのような論理式として定式化できるでしょうか。命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( y\right) \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( y\right) &:&y\text{は奇数である}
\end{eqnarray*}とおけば、先の主張は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \wedge Q\left( y\right)
\end{equation*}と定式化されます。同様に考えると、\begin{equation*}
x\text{は偶数ではなく、なおかつ}y\text{は奇数ではない}
\end{equation*}という主張は、先の命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( y\right) \)を用いて、\begin{equation*}\lnot P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( y\right)
\end{equation*}と定式化されます。では、以下の主張\begin{equation*}
x\text{は偶数かつ}y\text{は奇数であり、なおかつ}x+y\geq 4\text{である}
\end{equation*}はどのような論理式として定式化できるでしょうか。先の命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( y\right) \)に加えて新たな命題関数\(R\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}R\left( x,y\right) :x+y\geq 4
\end{equation*}とおけば、この主張は、\begin{equation*}
\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( y\right) \right) \wedge R\left(
x,y\right)
\end{equation*}と定式化されます。

例(論理積)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x,z\right) \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{と}y\text{は知り合いである} \\
Q\left( x,z\right) &:&x\text{と}z\text{は知り合いである}
\end{eqnarray*}とおくとき、\begin{eqnarray*}
P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いであり、なおかつ}x\text{は}z\text{の知り合いである} \\
P\left( x,y\right) \wedge \lnot Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いだが、}x\text{は}z\text{の知り合いではない} \\
\lnot P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いではないが、}x\text{は}z\text{の知り合いである} \\
\lnot P\left( x,y\right) \wedge \lnot Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いではなく、なおかつ}x\text{は}z\text{の知り合いでもない}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

論理積の解釈

2つの論理式\(A,B\)が与えられたとき、それらの論理積\(A\wedge B\)もまた論理式です。論理式の値を特定するためには何らかの解釈を与える必要があります。解釈が与えられたとき、\(A,B\)から得られる命題を\(\overline{A},\overline{B}\)でそれぞれ表記し、同じ解釈のもとで\(A\wedge B\)から得られる命題を\(\overline{A\wedge B}\)で表記するものと定めます。その上で、任意の解釈のもとで\(\overline{A\wedge B}\)は命題論理の意味での\(\overline{A}\)と\(\overline{B}\)の論理積であるものと定めます。つまり、解釈を任意に選んだとき、以下の真理値表

$$\begin{array}{ccc}
\hline
\overline{A} & \overline{B} & \overline{A\wedge B} \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

で表される関係が成り立つものとして論理積\(\wedge \)を定義するということです。

以上が述語論理における論理積の定義です。定義を踏まえた上で、以下では、論理式\(A,B\)が開論理式である場合や閉論理式である場合など様々なケースにおいて、それらの論理積\(A\wedge B\)がどのようなものになるのかを整理するとともに具体例を提示します。

 

開論理式どうしの論理積

変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) ,B\left(x\right) \)が与えられたとき、それらの論理積\(\left(A\wedge B\right) \left( x\right) \)もまた変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。開論理式の値を特定するためには解釈、すなわち以下の3つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域(}x\text{の定義域)} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A,B\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要がありますが、論理積の定義より、解釈としてどのようなものを選んだ場合においても、\(\left( A\wedge B\right)\left( x\right) \)から得られる命題は\(A\left( x\right) ,B\left( x\right) \)から得られる2つの命題の論理積になります。つまり、解釈を任意に選んだ上で、\(A\left( x\right) \)から得られる命題を\(\overline{A}\left( \overline{x}\right) \)で表記し、\(B\left(x\right) \)から得られる命題を\(\overline{B}\left( \overline{x}\right) \)で表記し、\(\left( A\wedge B\right) \left( x\right) \)から得られる命題を\(\left( \overline{A\wedge B}\right) \left( \overline{x}\right) \)で表記するとき、この3つの命題の真理値の間には、以下の真理値表

$$\begin{array}{ccc}
\hline
\overline{A}\left( \overline{x}\right) & \overline{B}\left( \overline{x} \right) & \left( \overline{A\wedge B}\right) \left( \overline{x}\right)
\\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

で表される関係が常に成り立つということです。

例(論理積の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x\right) :x^{2}=1
\end{equation*}と定め、命題関数\(Q\left(x\right) \)を、\begin{equation*}Q\left( x\right) :x>0
\end{equation*}と定めると、これらの論理積は\(\left( P\wedge Q\right) \left(x\right) \)は、\begin{equation*}\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) :x^{2}=1\wedge x>0
\end{equation*}となります。変数\(x\)の自由な表れに値\(1\)を代入すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( 1\right) &:&1^{2}=1 \\
Q\left( 1\right) &:&1>0 \\
\left( P\wedge Q\right) \left( 1\right) &:&1^{2}=1\wedge 1>0
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left(1\right) \)と\(Q\left( 1\right) \)は真であるため、論理積の定義より\(\left( P\wedge Q\right) \left( 1\right) \)は真です。また、変数\(x\)の自由な表れに値\(2\)を代入すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( 2\right) &:&2^{2}=1 \\
Q\left( 2\right) &:&2>0 \\
\left( P\wedge Q\right) \left( 2\right) &:&2^{2}=1\wedge 2>0
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left(2\right) \)は偽である一方\(Q\left(2\right) \)は真であるため、論理積の定義より\(\left(P\wedge Q\right) \left( 2\right) \)は偽です。
例(論理積の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)は、\begin{equation*}X=\left\{ \text{茨城},\text{栃木},\text{群馬},\text{埼玉},\text{千葉},\text{東京},\text{神奈川}\right\}
\end{equation*}であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}と定め、命題関数\(Q\left(x\right) \)を、\begin{equation*}Q\left( x\right) :x\text{は海に面している}
\end{equation*}と定めると、これらの論理積は\(\left( P\wedge Q\right) \left(x\right) \)は、\begin{equation*}\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) :x\text{は人口が}800\text{万人以上でなおかつ海に面している}
\end{equation*}となります。変数\(x\)の自由な表れに値「東京」を代入すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( \text{東京}\right) &:&\text{東京の人口は}800\text{万人以上} \\
Q\left( \text{東京}\right) &:&\text{東京は海に面している} \\
\left( P\wedge Q\right) \left( \text{東京}\right) &:&\text{東京は人口が}800\text{万人以上でなおかつ海に面している}
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left( \text{東京}\right) \)と\(Q\left( \text{東京}\right) \)は真であるため、論理積の定義より\(\left(P\wedge Q\right) \left( \text{東京}\right) \)は真です。また、変数\(x\)の自由な表れに値「茨城」を代入すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( \text{茨城}\right) &:&\text{茨城の人口は}800\text{万人以上} \\
Q\left( \text{茨城}\right) &:&\text{茨城は海に面している} \\
\left( P\wedge Q\right) \left( \text{茨城}\right) &:&\text{茨城は人口が}800\text{万人以上でなおかつ海に面している}
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left( \text{茨城}\right) \)は偽である一方で\(Q\left( \text{茨城}\right) \)は真であるため、論理積の定義より\(\left( P\wedge Q\right)\left( \text{茨城}\right) \)は偽です。

同じことを真理集合を用いて表現すると以下のようになります。

命題(論理積の真理集合)
変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) ,B\left(x\right) \)が与えられているものとする。\(x\)の定義域\(X\)および\(A,B\)を構成するすべての命題関数の形状を任意に選んだ上で、その場合に\(A\left( x\right) ,B\left( x\right) \)から得られる論理式を\(\overline{A}\left( x\right) ,\overline{B}\left( x\right) \)で表記し、論理積\(\left( A\wedge B\right) \left( x\right) \)から得られる論理式を\(\left( \overline{A\wedge B}\right) \left( x\right) \)で表記する。変数\(x\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\overline{x}\in \phi \left( \overline{A\wedge B}\right) \Leftrightarrow
\overline{x}\in \phi \left( \overline{A}\right) \wedge \overline{x}\in \phi
\left( \overline{B}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(論理積の真理集合)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x\right) :x^{2}=1
\end{equation*}と定め、命題関数\(Q\left(x\right) \)を、\begin{equation*}Q\left( x\right) :x>0
\end{equation*}と定めると、これらの論理積は\(\left( P\wedge Q\right) \left(x\right) \)は、\begin{equation*}\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) :x^{2}=1\wedge x>0
\end{equation*}となります。これらの真理集合は、\begin{eqnarray*}
\phi \left( P\right) &=&\left\{ 1,-1\right\} \\
\phi \left( Q\right) &=&\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \\
\phi \left( P\wedge Q\right) &=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}です。任意の整数\(x\in X\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in \phi \left( P\wedge Q\right) \Leftrightarrow x\in \phi \left( P\right)
\wedge x\in \phi \left( Q\right)
\end{equation*}が成立しています。

例(論理積の真理集合)
変数\(x\)の定義域\(X\)は、\begin{equation*}X=\left\{ \text{茨城},\text{栃木},\text{群馬},\text{埼玉},\text{千葉},\text{東京},\text{神奈川}\right\}
\end{equation*}であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x\right) :x\text{の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}と定め、命題関数\(Q\left(x\right) \)を、\begin{equation*}Q\left( x\right) :x\text{は海に面している}
\end{equation*}と定めると、これらの論理積は\(\left( P\wedge Q\right) \left(x\right) \)は、\begin{equation*}\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) :x\text{は人口が}800\text{万人以上でなおかつ海に面している}
\end{equation*}となります。これらの真理集合は、\begin{eqnarray*}
\phi \left( P\right) &=&\left\{ \text{東京},\text{神奈川}\right\} \\
\phi \left( Q\right) &=&\left\{ \text{茨城},\text{千葉},\text{東京},\text{神奈川}\right\} \\
\phi \left( P\wedge Q\right) &=&\left\{ \text{東京},\text{神奈川}\right\}
\end{eqnarray*}です。任意の\(x\in X\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in \phi \left( P\wedge Q\right) \Leftrightarrow x\in \phi \left( P\right)
\wedge x\in \phi \left( Q\right)
\end{equation*}が成立しています。

開論理式どうしが異なる変数の現れを持つ場合にも同様に考えます。

変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)と、変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)が与えられたとき、それらの論理積\(\left( A\wedge B\right) \left( x,y,z\right) \)は変数\(x,y,z\)の自由な現れを持つ開論理式です。開論理式の値を特定するためには解釈、すなわち以下の3つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域(}x,y,z\text{の定義域)} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A,B\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x,y,z\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x},\overline{y},\overline{z}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。論理積の定義より、解釈としてどのようなものを選んだ場合においても、\(\left( A\wedge B\right) \left(x,y,z\right) \)から得られる命題は\(A\left( x,y\right) ,B\left( y,z\right) \)から得られる2つの命題の論理積になります。つまり、\(A\left( x,y\right) ,B\left( y,z\right) \)から得られる命題を\(\overline{A}\left( \overline{x},\overline{y}\right) ,\overline{B}\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)でそれぞれ表記し、\(\left( A\wedge B\right) \left( x,y,z\right) \)から得られる命題を\(\left( \overline{A\wedge B}\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)で表記するとき、この3つの命題の真理値の間には、以下の真理値表

$$\begin{array}{ccc}
\hline
\overline{A}\left( \overline{x},\overline{y}\right) & \overline{B}\left( \overline{y},\overline{z}\right) & \left( \overline{A\wedge B}\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

で表される関係が常に成り立つということです。

ここでは話を一般化するために、開論理式\(A\)だけが持つ変数の自由な現れ\(x\)、開論理式\(B\)だけが持つ変数の自由な現れ\(z\)、そして\(A\)と\(B\)が共有する変数の自由な現れ\(y\)がいずれも存在するケースについて考えました。実際には、\(x\)に相当する変数の自由な現れが存在しない場合(\(A\left( y\right) ,B\left( y,z\right) \))や、\(y\)に相当する変数の自由な現れが存在しない場合(\(A\left( x\right) ,B\left( z\right) \))や、\(z\)に相当する変数の自由な現れが存在しない場合(\(A\left( x,y\right) ,B\left(y\right) \))など様々な状況が起こり得ます。また、\(x,y,z\)それぞれに相当する変数の自由な現れが複数存在する状況も起こり得ます。いずれの場合にも先と同様に考えます。

例(論理積の解釈)
変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はともにすべての数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x,y\right) :x^{2}=y
\end{equation*}と定め、命題関数\(Q\left(x\right) \)を、\begin{equation*}Q\left( x\right) :x\text{は実数}
\end{equation*}と定めると、論理積\(P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x\right) \)は、\begin{equation*}P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x\right) :x^{2}=y\text{かつ}x\text{は実数}
\end{equation*}となります。変数\(\left(x,y\right) \)の自由な表れに\(\left(-1,1\right) \)を代入すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( -1,1\right) &:&\left( -1\right) ^{2}=1 \\
Q\left( -1\right) &:&-1\text{は実数} \\
P\left( -1,1\right) \wedge Q\left( -1\right) &:&\left( -1\right) ^{2}=1\text{かつ}-1\text{は実数}
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left(-1,1\right) \)と\(Q\left( -1\right) \)は真であるため、論理積の定義より\(P\left( -1,1\right) \wedge Q\left( -1\right) \)は真です。また、変数\(\left( x,y\right) \)の自由な表れに\(\left( 1,-1\right) \)を代入すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( 1,-1\right) &:&1^{2}=-1 \\
Q\left( 1\right) &:&1\text{は実数} \\
P\left( 1,-1\right) \wedge Q\left( 1\right) &:&1^{2}=-1\text{かつ}1\text{は実数}
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left(1,-1\right) \)は偽である一方で\(Q\left( 1\right) \)は真であるため、論理積の定義より\(P\left( 1,-1\right) \wedge Q\left( 1\right) \)は偽です。また、変数\(\left( x,y\right) \)の自由な表れに\(\left( i,-1\right) \)を代入すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( i,-1\right) &:&i^{2}=-1 \\
Q\left( i\right) &:&i\text{は実数} \\
P\left( i,-1\right) \wedge Q\left( i\right) &:&i^{2}=-1\text{かつ}i\text{は実数}
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left(i,-1\right) \)は真である一方で\(Q\left( i\right) \)は偽であるため、論理積の定義より\(P\left( i,-1\right) \wedge Q\left( i\right) \)は偽です。
例(論理積の解釈)
変数\(x,y,z\)の定義域\(X,Y,Z\)は等しく、これはある街の住人からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x,y\right) :x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}と定め、命題関数\(Q\left(y,z\right) \)を、\begin{equation*}Q\left( y,z\right) :y\text{と}z\text{は知り合い}
\end{equation*}と定めると、論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x,y,z\right) \)は、\begin{equation*}\left( P\wedge Q\right) \left( x,y,z\right) :x\text{と}y\text{は知り合いであり、なおかつ}y\text{と}z\text{は知り合い}
\end{equation*}となります。変数\(\left(x,y,z\right) \)の自由な表れにお互いに知り合いであるような3人\(\left( A,B,C\right) \)を代入すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( A,B\right) &:&A\text{と}B\text{は知り合い} \\
Q\left( B,C\right) &:&B\text{と}C\text{は知り合い} \\
\left( P\wedge Q\right) \left( A,B,C\right) &:&A\text{と}B\text{は知り合いであり、なおかつ}B\text{と}C\text{は知り合い}
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left(A,B\right) \)と\(Q\left( B,C\right) \)はともに真であるため、論理積の定義より\(\left( P\wedge Q\right)\left( A,B,C\right) \)は真です。続いて、変数\(\left( x,y,z\right) \)の自由な表れに3人\(\left( D,E,F\right) \)を代入します。ただし、\(D\)は\(E,F\)の両方と知り合いである一方で、\(E\)と\(F\)は知り合いではないものとします。すると以下の命題\begin{eqnarray*}P\left( D,E\right) &:&D\text{と}E\text{は知り合い} \\
Q\left( E,F\right) &:&E\text{と}F\text{は知り合い} \\
\left( P\wedge Q\right) \left( D,E,F\right) &:&D\text{と}E\text{は知り合いであり、なおかつ}E\text{と}F\text{は知り合い}
\end{eqnarray*}が得られますが、\(P\left(D,E\right) \)は真である一方で\(Q\left( E,F\right) \)は偽であるため、論理積の定義より\(\left( P\wedge Q\right) \left( D,E,F\right) \)は偽です。

同じことを真理値表を用いて表現すると以下のようになります。証明は先の命題と同様です。

命題(論理積の真理集合)
変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)と変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)が与えられているものとする。\(x,y,z\)の定義域\(X,Y,Z\)および\(A,B\)を構成するすべての命題関数の形状を任意に選んだ上で、その場合に\(A\left(x,y\right) ,B\left( y,z\right) \)から得られる論理式を\(\overline{A}\left( x,y\right) ,\overline{B}\left( y,z\right) \)で表記し、論理積\(\left( A\wedge B\right) \left( x,y,z\right) \)から得られる論理式を\(\left( \overline{A\wedge B}\right) \left( x,y,z\right) \)で表記する。変数\(x,y,z\)の自由な現れに代入する値からなる組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in X\times Y\times Z\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left(
\overline{A\wedge B}\right) \Leftrightarrow \left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi \left( \overline{A}\right) \wedge \left( \overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left( \overline{B}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

例(論理積の真理集合)
変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)はともにすべての数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x,y\right) :x^{2}=y
\end{equation*}と定め、命題関数\(Q\left(x\right) \)を、\begin{equation*}Q\left( x\right) :x\text{は実数}
\end{equation*}と定めると、論理積\(P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x\right) \)は、\begin{equation*}P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x\right) :x^{2}=y\text{かつ}x\text{は実数}
\end{equation*}となります。これらの真理集合は、\begin{eqnarray*}
\phi \left( P\right) &=&\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( -1,1\right)
,\left( i,-1\right) ,\left( -i,-1\right) ,\cdots \right\} \\
\phi \left( Q\right) &=&\text{すべての実数からなる集合} \\
\phi \left( P\wedge Q\right) &=&\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
-1,1\right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。任意の\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)について、以下の関係\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \phi \left( P\wedge Q\right) \Leftrightarrow \left(
x,y\right) \in \phi \left( P\right) \wedge x\in \phi \left( Q\right)
\end{equation*}が成立しています。

例(論理積の真理集合)
変数\(x,y,z\)の定義域\(X,Y,Z\)は等しく、これはある街の住人からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x,y\right) :x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}と定め、命題関数\(Q\left(y,z\right) \)を、\begin{equation*}Q\left( y,z\right) :y\text{と}z\text{は知り合い}
\end{equation*}と定めると、論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x,y,z\right) \)は、\begin{equation*}\left( P\wedge Q\right) \left( x,y,z\right) :x\text{と}y\text{は知り合いであり、なおかつ}y\text{と}z\text{は知り合い}
\end{equation*}となります。これらの真理集合は、\begin{eqnarray*}
\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \Leftrightarrow A\text{と}B\text{は知り合い} \\
\left( B,C\right) &\in &\phi \left( Q\right) \Leftrightarrow B\text{と}C\text{は知り合い} \\
\left( A,B,C\right) &\in &\phi \left( P\wedge Q\right) \Leftrightarrow A\text{と}B\text{は知り合いかつ}B\text{と}C\text{は知り合い}
\end{eqnarray*}を満たします。任意の\(\left( A,B,C\right) \in X\times Y\times Z\)について、以下の関係\begin{equation*}\left( A,B,C\right) \in \phi \left( P\wedge Q\right) \Leftrightarrow \left(
A,B\right) \in \phi \left( P\right) \wedge \left( B,C\right) \in \phi \left(
Q\right)
\end{equation*}が成立しています。

 

開論理式と閉論理式の論理積

変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)と変数の自由な現れを持たない閉論理式\(B\)が与えられたとき、それらの論理積\(\left( A\wedge B\right)\left( x\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。開論理式の値を特定するためには解釈、すなわち以下の3つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域(}x\text{の定義域)} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A,B\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。論理積の定義より、解釈としてどのようなものを選んだ場合においても、\(\left( A\wedge B\right) \left(x\right) \)から得られる命題は\(A\left( x\right) ,B\)から得られる2つの命題の論理積になります。つまり、\(A\left( x\right) \)から得られる命題を\(\overline{A}\left( \overline{x}\right) \)で表記し、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)で表記し、\(\left( A\wedge B\right) \left( x\right) \)から得られる命題を\(\left( \overline{A\wedge B}\right) \left( \overline{x}\right) \)で表記するとき、この3つの命題の真理値の間には、以下の真理値表

$$\begin{array}{ccc}
\hline
\overline{A}\left( \overline{x}\right) & \overline{B} & \left( \overline{A\wedge B}\right) \left( \overline{x}\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

で表される関係が常に成り立つということです。

例(論理積の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合であるものとします。以下の閉論理式\begin{equation*}\forall x\in X:x^{2}\geq 0
\end{equation*}と、変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\begin{equation*}x>0
\end{equation*}が与えられたとき、これらの論理積は、\begin{equation*}
\left( \forall x\in X:x^{2}\geq 0\right) \wedge x>0
\end{equation*}となりますが、これは変数\(x\)の自由な現れ(\(x>0\)中の\(x\)だけが\(x\)の自由な現れ)を持つ開論理式です。変数\(x\)の自由な現れに値\(\overline{x}\)を代入すると以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in X:x^{2}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \overline{x}>0 \\
&&\left( c\right) \ \left( \forall x\in X:x^{2}\geq 0\right) \wedge
\overline{x}>0
\end{eqnarray*}が得られますが、論理積の定義より、\(\left(a\right) \)と\(\left( b\right) \)がともに真であるならば\(\left( c\right) \)もまた真です。一方、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)の少なくとも一方が偽ならば\(\left( c\right) \)もまた偽です。

 

閉論理式どうしの論理積

変数の自由な現れを持たない閉論理式\(A,B\)が与えられたとき、それらの論理積\(A\wedge B\)もまた閉論理式です。閉論理式の値を特定するためには解釈、すなわち以下の2つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A,B\text{を構成するすべての命題関数の形状}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。論理積の定義より、解釈としてどのようなものを選んだ場合においても、\(A\wedge B\)から得られる命題は\(A,B\)から得られる2つの命題の論理積になります。つまり、\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で表記し、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)で表記し、\(A\wedge B\)から得られる命題を\(\overline{A}\wedge \overline{B}\)で表記するとき、この3つの命題の真理値の間には、以下の真理値表

$$\begin{array}{ccc}
\hline
\overline{A} & \overline{B} & \overline{A}\wedge \overline{B} \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

で表される関係が常に成り立つということです。

例(論理積の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合であるものとします。以下の閉論理式\begin{eqnarray}\forall x &\in &X:x^{2}\geq 0 \quad \cdots (1) \\
\exists x &\in &X:x^{3}\geq 0 \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}の論理積は、\begin{equation}
\left( \forall x\in X:x^{2}\geq 0\right) \wedge \left( \exists x\in
X:x^{3}\geq 0\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}ですが、これもまた閉論理式です。論理積の定義より、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに真であるならば\(\left( 3\right) \)もまた真です。一方、\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の少なくとも一方が偽ならば\(\left(3\right) \)もまた偽です。詳細は後述しますが、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)はともに真であるため\(\left( 3\right) \)もまた真です。

 

演習問題

問題(論理積)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は偶数}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}5\leq x\leq 10
\end{equation*}と定義します。このとき、\(P\left( x\right) \)および\(Q\left(x\right) \)およびそれらの論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(論理積)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x<0
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x^{2}=2
\end{equation*}と定義します。論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) \)の真理集合を求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(論理積)
変数\(x\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ m_{1},m_{2},w_{1}\right\}
\end{equation*}であり、これはある組織のメンバーからなる集合であるものとします。変数\(y\)の定義域は、\begin{equation*}Y=\left\{ m_{3},w_{2},w_{3}\right\}
\end{equation*}であり、これは別の組織のメンバーからなる集合であるものとします。ただし、\(m_{i}\)は男性であり\(w_{i}\)は女性です。命題関数\(P\left(x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{と}y\text{は知り合いである}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{と}y\text{は異性である}
\end{equation*}と定義します。\(m_{1}\)は\(m_{2},m_{3},w_{3}\)と知り合いであり、\(m_{2}\)は\(w_{3}\)と知り合いであり、\(w_{1}\)は\(m_{3},w_{2}\)と知り合いであり、それ以外にはお互いが知り合いでないものとします。このとき、\(P\left( x,y\right) \)および\(Q\left( x,y\right) \)およびそれらの論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x,y\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録