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PREDICATE LOGIC

述語論理における論理積

目次

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論理積

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\wedge \)を作用させることで得られる\(A\wedge B\)もまた論理式です。\(\wedge \)は論理積(logical product)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\wedge B\)を\(A\)と\(B\)の論理積(logical product of \(A\) and \(B\))と呼びます。これは「\(A\)かつ\(B\)(\(A\) and \(B\))」という表現に対応する論理式です。

例(論理積)
以下の主張\begin{equation*}
x\text{は偶数であり、なおかつ}y\text{は奇数である}
\end{equation*}はどのような論理式として定式化できるでしょうか。命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( y\right) \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\\
Q\left( y\right) &:&y\text{は奇数である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の主張は\(P\left( x\right) \wedge Q\left( y\right) \)という論理式として定式化されます。同様に考えると、\begin{equation*}x\text{は偶数ではなく、なおかつ}y\text{は奇数ではない}
\end{equation*}という主張は\(\lnot P\left( x\right)\wedge \lnot Q\left( y\right) \)という論理式として定式化されます。では、以下の主張\begin{equation*}x\text{は偶数かつ}y\text{は奇数であり、なおかつ}x+y\geq 4\text{である}
\end{equation*}はどのような論理式として定式化できるでしょうか。新たな命題関数\(R\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}R\left( x,y\right) :x+y\geq 4
\end{equation*}とおくと、この主張は\(\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( y\right) \right) \wedge R\left( x,y\right) \)という論理式として定式化されます。
例(論理積)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x,z\right) \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}P\left( x,y\right) &:&x\text{と}y\text{は知り合いである} \\
Q\left( x,z\right) &:&x\text{と}z\text{は知り合いである}
\end{eqnarray*}とおくとき、\begin{eqnarray*}
P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いであり、なおかつ}x\text{は}z\text{の知り合いである} \\
P\left( x,y\right) \wedge \lnot Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いだが、}x\text{は}z\text{の知り合いではない} \\
\lnot P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いではないが、}x\text{は}z\text{の知り合いである} \\
\lnot P\left( x,y\right) \wedge \lnot Q\left( x,z\right) &:&x\text{は}y\text{の知り合いではなく、なおかつ}x\text{は}z\text{の知り合いでもない}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

論理積の解釈

論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であり、論理式\(B\)が変数\(y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(B\left( y,z\right) \)であるものとします。このとき、\(A\)と\(B\)の論理積\(A\wedge B\)は変数\(x,y,z\)の自由な現れを持つ開論理式\(\left( A\wedge B\right)\left( x,y,z\right) \)であるものと定めます。開論理式の値を特定するためには解釈、すなわち以下の3つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{議論領域}D \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A,B\text{を構成するすべての命題関数の形状} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\left(
\overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。解釈を任意に選んだ上で、\(A\left( x,y\right) \)から得られる命題を\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)で、\(B\left( y,z\right) \)から得られる命題を\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)で、\(\left( A\wedge B\right) \left( x,y,z\right) \)から得られる命題を\(\left(A\wedge B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)で表記します。その上で、\(\left( A\wedge B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)は\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)と\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)の(命題論理における意味での)論理積であるものと定めます。つまり、これら3つの命題の真理値の間には、以下の真理値表

$$\begin{array}{ccc}\hline
A\left( \overline{x},\overline{y}\right) & B\left( \overline{y},\overline{z}\right) & \left( A\wedge B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理積の値

で表される関係が成り立つものと定めるということです。任意の解釈において同様に考えます。

開論理式である\(A\left( x,y\right) \)と\(B\left( y,z\right) \)に対して、議論領域および\(A\left( x,y\right) \)と\(B\left( y,z\right) \)を構成するすべての命題関数の形状が具体的に与えられている状況を想定します。あとは変数\(x,y,z\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x},\overline{y},\overline{z}\)を指定すれば\(A\left( x,y\right) \)から命題\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が得られ、\(B\left( y,z\right) \)から命題\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が得られ、さらに論理積\(\left( A\wedge B\right) \left( x,y,z\right) \)から命題\(\left(A\wedge B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が得られます。\(A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)からなる集合が\(A\left(x,y\right) \)の真理集合\(\phi \left( A\right) \)であり、\(B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)からなる集合が\(B\left( y,z\right) \)の真理集合\(\phi \left( B\right) \)であり、\(\left( A\wedge B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)からなる集合が\(\left(A\wedge B\right) \left( x,y,z\right) \)の真理集合\(\phi \left( A\wedge B\right) \)です。論理積の定義より、任意の値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in X\times Y\times Z\)に対して、\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)
\text{は真}\Leftrightarrow A\left( \overline{x},\overline{y}\right) \text{と}B\left( \overline{y},\overline{z}\right) \text{がともに真}
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、真理集合を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \in \phi \left( A\wedge
B\right) \Leftrightarrow \left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi
\left( A\right) \wedge \left( \overline{y},\overline{z}\right) \in \phi
\left( B\right)
\end{equation*}となります。つまり、値の組\(\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z}\right) \)が論理積\(A\wedge B\)の真理集合の要素であることと、値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が\(A\)の真理集合の要素であり、なおかつ値の組\(\left( \overline{y},\overline{z}\right) \)が\(B\)の真理集合の要素であることは必要十分です。

ここでは話を一般化するために論理式\(A\)だけが持つ変数の自由な現れ\(x\)、論理式\(B\)だけが持つ変数の自由な現れ\(z\)、そして\(A\)と\(B\)が共有する変数の自由な現れ\(y\)について考えましたが、実際には\(A\)と\(B\)が共通の変数の自由な現れだけを持っていたり、逆に、共通の変数の自由な現れを持たない場合も起こり得ます。また、\(x,y,z\)それぞれに相当する変数の自由な現れが複数存在する場合も上と同様の議論が成り立ちます。また、論理式\(A,B\)が変数の自由な現れを持たない場合、それは閉論理式であることを意味しますが、その場合にも上と同様の議論が成り立ちます。また、開論理式と閉論理式の論理積や、閉論理式どうしの論理積についても同様に考えます。

例(論理積の解釈)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x^{2}=1
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x>0
\end{equation*}と定義すると、これらの真理集合は、\begin{eqnarray*}
\phi \left( P\right) &=&\left\{ -1,1\right\} \\
\phi \left( Q\right) &=&\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となります。一方、論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) \)は、\begin{equation*}x^{2}=1\wedge x>0
\end{equation*}であり、その真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\wedge Q\right) =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}となります。任意の値\(x\in X\)について、\begin{equation*}x\in \phi \left( P\wedge Q\right) \Leftrightarrow x\in \phi \left( P\right)
\wedge x\in \phi \left( Q\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

例(論理積の解釈)
変数\(x,y\)の定義域\(X\)はすべての数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x^{2}=y
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は実数}
\end{equation*}と定義すると、論理積\(P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x\right) \)は、\begin{equation*}x^{2}=y\text{かつ}x\text{は実数}
\end{equation*}となります。値の組\(\left( x,y\right) =\left( -1,1\right) \)については、\(\left( -1\right) ^{2}=1\)が真であるとともに\(-1\)は実数であるため、\begin{eqnarray*}\left( -1,1\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
-1 &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( -1,1\right) &\in &\phi \left( P\wedge Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。値の組\(\left( x,y\right) =\left( 1,-1\right) \)については、\(1^{2}=-1\)は偽である一方で\(1\)は実数であるため、\begin{eqnarray*}\left( 1,-1\right) &\not\in &\phi \left( P\right) \\
1 &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( 1,-1\right) &\not\in &\phi \left( P\wedge Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。値の組\(\left( x,y\right) =\left( i,-1\right) \)については、\(i^{2}=-1\)は真である一方で\(i\)は実数ではないため、\begin{eqnarray*}\left( i,-1\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
i &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( i,-1\right) &\not\in &\phi \left( P\wedge Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(論理積の解釈)
変数\(x,y,z\)は共通の定義域\(X\)を持っており、これはある街の住人からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( y,z\right) \)を、\begin{equation*}y\text{と}z\text{は知り合い}
\end{equation*}と定義すると、論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x,y,z\right) \)は、\begin{equation*}x\text{は}y\text{の知り合いであり、なおかつ}y\text{は}z\text{の知り合い}
\end{equation*}となります。3人の住人\(A,B,C\in X\)について、彼らがお互いに知り合いであるならば、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,C\right) &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,B,C\right) &\in &\phi \left( P\wedge Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\(A\)と\(B\)が知り合いであり、\(B\)と\(C\)が知り合いである一方で、\(A\)と\(C\)が知り合いでない場合には、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,C\right) &\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,B,C\right) &\in &\phi \left( P\wedge Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\(A\)と\(B\)が知り合いであり、\(B\)と\(C\)は知り合いではなく、\(A\)と\(C\)が知り合いである場合には、\begin{eqnarray*}\left( A,B\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( B,C\right) &\not\in &\phi \left( Q\right) \\
\left( A,B,C\right) &\not\in &\phi \left( P\wedge Q\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。任意の\(A,B,C\in X\)について、\begin{equation*}\left( A,B,C\right) \in \phi \left( P\wedge Q\right) \Leftrightarrow \left(
A,B\right) \in \phi \left( P\right) \wedge \left( B,C\right) \in \phi \left(
Q\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

例(論理積の解釈)
変数\(x\in X\)および命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)から以下の論理式\begin{equation}\forall x\in X:(\lnot P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) ) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。これと命題関数\begin{equation}
P\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}の論理積をとると、以下の論理式\begin{equation}
\left( \forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right)
\right) \right) \wedge P\left( x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) \)は閉論理式である一方、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域\(D\)と関数\(P,Q\)の形状を適当に定めた上で、変数\(x\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x}\)を適当に選ぶと、\(\left( 1\right),\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)から以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in X:(\lnot P\left( x\right) \wedge Q\left(
x\right) ) \\
&&\left( b\right) \ P\left( \overline{x}\right) \\
&&\left( c\right) \ \left( \forall x\in X:(\lnot P\left( x\right) \wedge
Q\left( x\right) )\right) \wedge P\left( \overline{x}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。論理積の定義より、\(\left( a\right) \)と\(\left(b\right) \)がともに真であるならば\(\left( c\right) \)もまた真です。一方、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)の少なくとも一方が偽ならば\(\left( c\right) \)もまた偽です。

 

演習問題

問題(論理積)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x\text{は偶数}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}5\leq x\leq 10
\end{equation*}と定義します。このとき、\(P\left( x\right) \)および\(Q\left(x\right) \)およびそれらの論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
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問題(論理積)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x<0
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x\right) \)を、\begin{equation*}x^{2}=2
\end{equation*}と定義します。論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x\right) \)の真理集合を求めてください。
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問題(論理積)
変数\(x\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ m_{1},m_{2},w_{1}\right\}
\end{equation*}であり、これはある組織のメンバーからなる集合であるものとします。変数\(y\)の定義域は、\begin{equation*}Y=\left\{ m_{3},w_{2},w_{3}\right\}
\end{equation*}であり、これは別の組織のメンバーからなる集合であるものとします。ただし、\(m_{i}\)は男性であり\(w_{i}\)は女性です。命題関数\(P\left(x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{と}y\text{は知り合いである}
\end{equation*}と定義し、命題関数\(Q\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}x\text{と}y\text{は異性である}
\end{equation*}と定義します。\(m_{1}\)は\(m_{4},m_{5},w_{3}\)と知り合いであり、\(m_{2}\)は\(w_{3}\)と知り合いであり、\(w_{1}\)は\(m_{3},w_{2}\)と知り合いであり、それ以外にはお互いが知り合いでないものとします。このとき、\(P\left( x,y\right) \)および\(Q\left( x,y\right) \)およびそれらの論理積\(\left( P\wedge Q\right) \left( x,y\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
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