論理式どうしの論理和や論理積の値は、論理式の順序を入れ替えても変わりません。論理積と論理和が満たすこの性質を交換律と呼びます。
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交換律

論理式\(A,B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、変数の自由な現れに代入し得る値の組\(x\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in \phi \left( A\wedge B\right) &\Leftrightarrow &x\in \phi \left(
A\right) \wedge x\in \phi \left( B\right) \quad \because \wedge \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \left( B\right) \wedge x\in \phi \left( A\right)
\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \left( B\wedge A\right) \quad \because \wedge
\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\phi \left( A\wedge B\right) =\phi \left( B\wedge A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈について同様の議論が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A
\end{equation*}であることが示されました。\(\left( a\right) \)において\(\wedge \)を\(\vee \)に置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、述語論理においても論理積や論理和について交換律(commutative law)が成り立つということです。

命題(交換律)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A \\
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}
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例(交換律)
命題変数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)について、交換律より、\begin{equation*}
P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \Leftrightarrow Q\left(
x,y\right) \wedge P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(交換律)
命題変数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right)\)について、交換律より、\begin{equation*}
\forall x\ \left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \forall x\ \left( Q\left( x\right) \wedge P\left( x\right)
\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(交換律)
任意の命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)と\(R\left( x\right) \)について、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) \vee \left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right)
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \left( R\left( x\right) \vee Q\left(
x\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( R\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \vee
P\left( x\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right) \vee
P\left( x\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(交換律)
任意の命題変数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)と\(R\left( x\right) \)について、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right)
\right) &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( R\left( x\right)
\vee Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{交換律}
\\
&\Leftrightarrow &\left( R\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\wedge P\left( x\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right)
\wedge P\left( x\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

次回は結合律について学びます。

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