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交換律

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交換律

論理式\(A,B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)でそれぞれ表記します。すると命題論理における\(\wedge \)に関する交換律より、\begin{equation*}
\overline{A}\wedge \overline{B}\Leftrightarrow \overline{B}\wedge \overline{A}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A
\end{equation*}が成り立つことが示されました。\(\left( a\right) \)において\(\wedge \)を\(\vee \)に置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、述語論理においても論理積や論理和について交換律(commutative law)が成り立つということです。

命題(交換律)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A \\
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}
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例(交換律)
命題変数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)について、交換律より、\begin{equation*}
P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \Leftrightarrow Q\left(
x,y\right) \wedge P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(交換律)
命題変数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)について、交換律より、\begin{equation*}
\forall x\ \left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \forall x\ \left( Q\left( x\right) \wedge P\left( x\right)
\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(交換律)
任意の命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)と\(R\left( x\right) \)について、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) \vee \left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right)
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \left( R\left( x\right) \vee Q\left(
x\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( R\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \vee
P\left( x\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right) \vee
P\left( x\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(交換律)
任意の命題変数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)と\(R\left( x\right) \)について、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right)
\right) &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( R\left( x\right)
\vee Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{交換律}
\\
&\Leftrightarrow &\left( R\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\wedge P\left( x\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right)
\wedge P\left( x\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(交換律)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。論理式\begin{equation*}
x\text{は偶数であり、なおかつ}y\text{は奇数である}
\end{equation*}が与えられたとき、交換律より、これは以下の論理式\begin{equation*}
y\text{は奇数であり、なおかつ}x\text{は偶数である}
\end{equation*}と論理的に同値です。

次回は結合律について学びます。

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