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PREDICATE LOGIC

述語論理における交換律

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交換律

論理式\(A,B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)でそれぞれ表記します。すると命題論理における\(\wedge \)に関する交換律より、\begin{align*}& \left( a\right) \ \overline{A}\wedge \overline{B}\Leftrightarrow \overline{B}\wedge \overline{A} \\
& \left( b\right) \ \overline{A}\vee \overline{B}\Leftrightarrow \overline{B}\vee \overline{A}
\end{align*}を得ます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A \\
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}がともに成り立つことが示されました。つまり、述語論理においても論理積や論理和について交換律(commutative law)が成り立つということです。

命題(交換律)
任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A \\
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}が成り立つ。

ベキ等律と\(\Leftrightarrow \)に関する推移性より、任意の論理式\(A\)に対して、\begin{equation*}\left( c\right) \ A\wedge A\Leftrightarrow A\vee B
\end{equation*}という関係もまた成立します。つまり、同一の論理式どうしの論理積と論理和は論理的に同値です。

例(交換律)
命題関数である\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、交換律より、\begin{equation*}P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \Leftrightarrow Q\left(
x,y\right) \wedge P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(交換律)
命題関数である\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)と\(R\left( x\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) \vee \left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right)
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \left( R\left( x\right) \vee Q\left(
x\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( R\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \vee
P\left( x\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right) \vee
P\left( x\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(交換律)
命題関数である\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)と\(R\left( x\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right)
\right) &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( R\left( x\right)
\vee Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{交換律}
\\
&\Leftrightarrow &\left( R\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\wedge P\left( x\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right)
\wedge P\left( x\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(交換律)
命題関数である\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、交換律より、\begin{equation*}\left( \forall x\in X:P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \left( \forall x\in X:Q\left( x\right) \wedge P\left(
x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(交換律)
命題関数である\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、交換律より、\begin{equation*}\left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right) \wedge \left( \exists x\in
X:Q\left( x\right) \right) \Leftrightarrow \left( \exists x\in X:Q\left(
x\right) \right) \wedge \left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(交換律)
変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての整数からなる集合であるものとします。論理式\begin{equation*}x\text{は偶数であり、なおかつ}y\text{は奇数である}
\end{equation*}が与えられたとき、交換律より、これは以下の論理式\begin{equation*}
y\text{は奇数であり、なおかつ}x\text{は偶数である}
\end{equation*}と論理的に同値です。

 

演習問題

問題(交換律)
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、排他的論理和\(\veebar \)に関する交換律は、\begin{equation*}A\veebar B\Leftrightarrow B\veebar A
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。

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問題(交換律)
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、含意\(\rightarrow \)に関する交換律は、\begin{equation*}A\rightarrow B\Leftrightarrow B\rightarrow A
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。

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問題(交換律)
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、同等\(\leftrightarrow \)に関する交換律は、\begin{equation*}A\leftrightarrow B\Leftrightarrow B\leftrightarrow A
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。

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次回は結合律について学びます。

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