論理式 A,B がともに真であるような任意の解釈において論理式 C が真であることが示された場合には、A が真であるような任意の解釈のもとで B→C が真であることを示したことになります。これは含意導入と呼ばれる推論規則です。
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含意導入

移出律より、任意の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n},B,C\)に対して、\begin{equation*}
\left( \bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\right) \wedge B\ \rightarrow \ C\ \Rightarrow \ \bigwedge\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\ \rightarrow \ \left( B\rightarrow C\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、以下の 2 つの推論\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A_{1},\cdots ,\ A_{n},\ B\ \therefore \ C \\
&&\left( b\right) \ A_{1},\cdots ,\ A_{n}\ \therefore \ B\rightarrow C
\end{eqnarray*}について、\(\left( a\right) \)が妥当ならば\(\left( b\right) \)もまた妥当です。言い換えると、\(A_{1},\cdots ,\ A_{n},\ B\)がすべて真であるような任意の解釈のもとで\(C\)が真である場合には、そのような任意の解釈において、\(A_{1},\cdots ,\ A_{n}\)がすべて真である場合には\(B\rightarrow C\)もまた真になります。これは含意導入(implication introduction)や\(\rightarrow \)導入(\(\rightarrow \) introduction)と呼ばれる推論規則です。

移出律について復習する

前提\(A_{1},\cdots ,\ A_{n}\)から含意を含む結論\(B\rightarrow C\)を導くことが目的である場合には、与えられた前提\(A_{1},\cdots ,\ A_{n}\)に加えて\(B\)が真であるような任意の解釈のもとで\(C\)が真であることを導きます。すると含意導入より、\(B\)が真であるということを仮定せずとも\(B\rightarrow C\)が真になることを示したことになります。後ほど詳しく解説しますが、これは条件付き証明と呼ばれる証明方法です。

例(含意導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{現在は}x\text{曜日または}y\text{時であるならば、店}z\text{は閉店中だ} \\
&&\text{ゆえに、現在が}x\text{曜日ならば、店}z\text{は閉店中だ}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての曜日からなる集合、変数\(y\)の定義域\(Y\)はすべての時刻からなる集合、そして変数\(z\)の定義域\(Z\)は問題としているすべての店からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&\text{現在は}x\text{曜日である} \\
Q\left( y\right) &:&\text{現在は}y\text{時である} \\
R\left( z\right) &:&\text{店}z\text{は閉店中である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \vee Q\left( y\right) \rightarrow R\left( z\right) \
\therefore \ P\left( x\right) \rightarrow R\left( z\right)
\end{equation*}と定式化されます。含意導入より、この推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
P\left( x\right) \vee Q\left( y\right) \rightarrow R\left( z\right) ,\ P\left( x\right) \ \therefore \ R\left( z\right)
\end{equation*}が妥当であることを示しても構いません。そこで、\(P\left( x\right) \vee Q\left( y\right) \rightarrow R\left( z\right) \)と\(P\left( x\right) \)が真であるような解釈を任意に選びます。\(P\left( x\right) \)が真である場合には\(P\left( x\right) \vee Q\left( y\right) \)もまた真です。このとき\(P\left( x\right) \vee Q\left( y\right) \rightarrow R\left( z\right) \)が真であるためには\(R\left( z\right) \)は真でなければならないため、推論の妥当性が示されました。

次回は連言導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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