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PREDICATE LOGIC

全称除去(普遍例化)

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全称除去

論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、変数\(x\)に関する全称命題\begin{equation}\forall x\in X:A\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は、以下の論理式\begin{equation*}
\bigwedge_{x\in X}A\left( x\right)
\end{equation*}と必要十分なものとして定義されます。したがって、仮に変数\(x\)がとり得る個々の値を、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}と具体的に特定できるのであれば、\(\left( 1\right) \)が成り立つこととは、変数\(x\)に対して\(X\)中の個々の値を代入して得られる以下の命題\begin{equation}P\left( x_{1}\right) ,\ P\left( x_{2}\right) ,\ P\left( x_{3}\right) ,\
\cdots \quad \cdots (2)
\end{equation}がすべて真であることを意味します。ただ、同じことをもう少し一般的な形で表現することもできます。具体的には、まず、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値\(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \)とは異なる記号\(c\)を導入します。この記号\(c\)は変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表すものであり、変数\(x\)そのものや、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値\(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \)とは区別されます。その上で、論理式\(A\left( x\right) \)中の変数\(x\)に定義域\(X\)中のいかなる値を代入した場合においても得られる命題が必ず真になることを、\begin{equation}A\left( c\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}と表記します。これは\(\left( 2\right) \)を一般的な形で表現したものです。以上を踏まえた上で、以下の推論規則\begin{equation*}\forall x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}が成り立つものと定め、これを全称除去(universal elimination)や\(\forall \)除去(\(\forall \) elimination)、全称例化(universal instantiation)、普遍例化(universalinstantiation)などと呼びます。

繰り返しになりますが、全称導入中の\(c\)は変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号です。したがって、\(c\)が変数\(x\)がとり得る「何らかの値」を代表的な形で表す記号である場合においても、全称除去のもとでは、\begin{equation*}\forall x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、変数\(x\)がとり得る具体的な値\(x_{i}\in X\)を任意に選んだ場合にも、全称除去のもとでは、\begin{equation*}\forall x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(全称除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての人間はDNAを持っている。} \\
&&\text{太郎は人間である。} \\
&&\text{したがって、太郎はDNAを持っている。}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は人間である}
\\
Q\left( x\right) &:&x\text{はDNAを持っている}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
,\ P\left( \text{太郎}\right) \ \therefore \ Q\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}と定式化されます。前提の1つである、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}に対して全称導入を適用すると、\begin{equation*}
P\left( \text{太郎}\right) \rightarrow Q\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}を得ます。これともう一つの前提である、\begin{equation*}
P\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}に対して含意除去を適用すると、\begin{equation*}
Q\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}が得られるため、与えられた推論が妥当であることが示されました。

例(全称除去)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が真であるならば、全称除去より、\begin{equation*}
P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。ただし、\(c\)は変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号です。もちろん、具体的な値\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \overline{x}\right) \wedge Q\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}も真になります。

例(全称除去)
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x\right) \)関する論理式\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow
Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が真であるならば、全称除去より、\begin{equation*}
\forall y\in Y:P\left( c,y\right) \rightarrow Q\left( c\right)
\end{equation*}を得ます。ただし、\(c\)は変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号です。もちろん、具体的な値\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall y\in Y:P\left( \overline{x},y\right) \rightarrow Q\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}も真になります。

 

演習問題

問題(全称除去)
以下の推論が妥当であることを証明してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{いかなる人間も空を飛ぶことはできない。} \\
&&\text{太郎は人間である。} \\
&&\text{したがって、太郎は空を飛ぶことはできない。}
\end{eqnarray*}
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次回は全称導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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