述語論理

命題関数

命題とは物事の判断について述べた文や式の中でも、客観的に真偽を判断できるもののことです。では、\(x\)が任意の実数を値として取り得るとき、以下の不等式\begin{equation*}
x>1
\end{equation*}は命題でしょうか。\(x=3\)を代入すれば\(3>1\)となり、これは真な命題です。また、\(x=0\)を代入すれば\(0>1\)となり、これは偽な命題です。つまり、不等式\(x>1\)に含まれる\(x\)に具体的な値を代入すれば命題が得られますが、不等式\(x>1\)そのままでは真偽を判定できないため、これは命題ではありません。

先の不等式\(x>1\)に含まれる\(x\)のように、未知の数・対象を表す文字や記号のことを変数（variable）と呼びます。変数を含む文や式は変数に具体的な値を代入することによりはじめて命題となり、その真偽を判定できるようになります。逆に言うと、変数を含む文や式はそのままでは真偽を判定できないため、命題ではありません。一般に、変数を含む文や式を命題関数（propositional function）と呼びます。

複数の変数に関する命題関数を考えることもできます。命題関数が複数の変数を持つ場合には、すべての変数に具体的な値を代入することによりはじめて命題となり、その真偽を判定できるようになります。

命題関数の具体例をいくつか提示しましたが、述語論理では議論を一般化するため、個々の命題関数が具体的に何について言及しているかを問題とせず、命題関数を大文字のアルファベットと括弧に囲まれた変数を用いて表記します。具体例を挙げると、変数\(x\)に関する命題関数を\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) ,\cdots \)などで表記し、変数\(x,y\)に関する命題関数を\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x,y\right) ,\cdots \)などで表記するということです。3つ以上の変数を持つ命題関数についても同様です。

述語論理

述語論理において議論の対象となる論理的な主張や推論はいずれも、命題関数どうしを一定のルールのもとで組み合わせることで得られる式として表現されます。そのような式を論理式（formula）や一階論理式（first-order formula）などと呼びます。論理式については後ほど正確に定義しますが、最も重要な点は、命題関数の組み合わせである論理式もまた、そこに含まれる変数に具体的な値を導入することではじめて命題となる命題関数であり、論理式の真理値は、変数に代入する値の組み合わせに応じて決定されるということです。

述語論理の目的は、論理式に含まれる個々の変数に代入する値の組み合わせによって、その論理式の真理値がどのように定まるかを規定するルールを定めた上で、そのルールを出発点としたときに、推論に関して何が言えるかを明らかにすることにあります。

次回から論理式について学びます。