消去法
推論の結論が論理和の形をしている場合には消去法(proof by elimination)と呼ばれる証明方法が有用です。まずは根拠となる命題を提示します。
命題(消去法)
論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n},B,C\)について、以下の2つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ B\vee C \\
&&\left( b\right) \ A_{1},\cdots ,\ A_{n},\lnot B\ \Rightarrow \ C
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。
&&\left( b\right) \ A_{1},\cdots ,\ A_{n},\lnot B\ \Rightarrow \ C
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。
上の命題はどのような意味において有用なのでしょうか。前提が\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)であり結論が論理和\(B\vee C\)であるような推論規則\begin{equation}A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ B\vee C \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを証明しようとしている状況を想定してください。先の命題より、この推論規則は以下の推論規則\begin{equation}
A_{1},\cdots ,\ A_{n},\lnot B\ \Rightarrow \ C \quad \cdots (2)
\end{equation}と必要十分であるため、\(\left( 1\right) \)のかわりに\(\left( 2\right) \)を示しても構わないということになります。\(\left( 1\right) \)の結論\(B\vee C\)を構成する一方の論理式\(B\)の否定\(\lnot B\)を前提に加えた上で、最終的にもう一方の論理式\(C\)が真であることを示せばよいということになります。このような証明法法を消去法(proof by elimination)と呼びます。
例(消去法)
「任意の実数\(x\)について、\(x=x^{2}\)が成り立つ場合には\(x=0\)と\(x=1\)の少なくとも一方が成り立つ」という推論は妥当でしょうか。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x=x^{2} \\
Q\left( x\right) &:&x=0 \\
R\left( x\right) &:&x=1
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation}
\therefore \ \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow \left(
Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right) \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。実数\(c\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( c\right) \rightarrow \left( Q\left( c\right) \vee R\left( c\right)
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
P\left( c\right) \ \therefore \ Q\left( c\right) \vee R\left( c\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを示せば、全称導入より\(\left( 1\right) \)が妥当になるため、以下では\(\left( 2\right) \)を示します。消去法より、以下の推論\begin{equation*}P\left( c\right) ,\ \lnot Q\left( c\right) \ \therefore \ R\left( c\right)
\end{equation*}が妥当であることを示しても問題ありません。つまり、「実数\(c\)が\(c=c^{2}\)と\(c\not=0\)を満たす場合には\(c=1\)が成り立つ」という推論の妥当性を示すことが目標になります。実際、\(c=c^{2}\)と\(c\not=0\)がともに成り立つ場合には\(c=c^{2}\)の両辺を\(c\)で割ることにより\(1=c\)すなわち\(x=c\)を得るため証明が完了しました。
Q\left( x\right) &:&x=0 \\
R\left( x\right) &:&x=1
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation}
\therefore \ \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow \left(
Q\left( x\right) \vee R\left( x\right) \right) \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。実数\(c\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( c\right) \rightarrow \left( Q\left( c\right) \vee R\left( c\right)
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
P\left( c\right) \ \therefore \ Q\left( c\right) \vee R\left( c\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを示せば、全称導入より\(\left( 1\right) \)が妥当になるため、以下では\(\left( 2\right) \)を示します。消去法より、以下の推論\begin{equation*}P\left( c\right) ,\ \lnot Q\left( c\right) \ \therefore \ R\left( c\right)
\end{equation*}が妥当であることを示しても問題ありません。つまり、「実数\(c\)が\(c=c^{2}\)と\(c\not=0\)を満たす場合には\(c=1\)が成り立つ」という推論の妥当性を示すことが目標になります。実際、\(c=c^{2}\)と\(c\not=0\)がともに成り立つ場合には\(c=c^{2}\)の両辺を\(c\)で割ることにより\(1=c\)すなわち\(x=c\)を得るため証明が完了しました。
演習問題
問題(消去法)
「任意の実数\(x\)について、\(x^{2}-5x+6\geq 0\)が成り立つ場合には\(x\leq 2\)と\(x\geq 3\)の少なくとも一方が成り立つ」という推論が妥当であることを消去法を用いて証明してください。
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