破壊的ジレンマ

論理式 A,B,C,D について、A→B, C→D, ¬B∨¬D がいずれも真であるような任意の解釈のもとでは ¬A∨¬C は必ず真になります。これは破壊的ジレンマと呼ばれる推論規則です。
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破壊的ジレンマ

以下の命題が成り立ちます。

命題(破壊的ジレンマ)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\right) \ \wedge \ \left( C\rightarrow D\right) \ \wedge \ \left( \lnot B\vee \lnot D\right) \ \Rightarrow \ \lnot A\vee \lnot C
\end{equation*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B,C,D\)に関して以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ \lnot B\vee \lnot D\ \models \ \lnot A\vee \lnot C
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ \lnot B\vee \lnot D\)がいずれも真であるような任意の解釈のもとでは\(\lnot A\vee \lnot C\)は必ず真になります。これは破壊的ジレンマ(destructive dilemma)と呼ばれる推論規則です。

次回は存在導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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