WIIS

述語論理

述語論理における破壊的ジレンマ

目次

Mailで保存
Xで共有

破壊的ジレンマ

論理式\(A,B,C,D\)を任意に選んだとき、以下の推論規則\begin{equation*}A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ \lnot B\vee \lnot D\ \models \ \lnot A\vee
\lnot C
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\rightarrow B\)と\(C\rightarrow D\)と\(\lnot B\vee \lnot D\)がいずれも真であるような任意の解釈のもとで\(\ \lnot A\vee \lnot C\)は必ず真になります。これは破壊的ジレンマ(destructive dilemma)と呼ばれる推論規則です。

命題(破壊的ジレンマ)

論理式\(A,B,C,D\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ \lnot B\vee \lnot D\ \models \ \lnot A\vee
\lnot C
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

破壊的ジレンマ\begin{equation}
A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ \lnot B\vee \lnot D\ \models \ \lnot A\vee
\lnot C \quad \cdots (1)
\end{equation}は推論規則であるため、\(\left( 1\right) \)を構成する\(A,B,C,D\)にそれぞれどのような具体的な論理式\(\alpha ,\beta ,\psi ,\delta \)を入れた場合においても、\begin{equation*}\alpha \rightarrow \beta ,\ \psi \rightarrow \delta ,\ \lnot \beta \vee
\lnot \delta \ \models \ \lnot \alpha \vee \lnot \psi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\alpha \rightarrow \beta \)と\(\psi \rightarrow\delta \)と\(\lnot \beta \vee \lnot \delta \)が真である場合には\(\lnot \alpha \vee \lnot\psi \)は真になります。同時に、\(\lnot \alpha \vee \lnot \psi \)が偽である場合には、\(\alpha \rightarrow \beta \)または\(\psi \rightarrow \delta \)または\(\lnot \beta \vee \lnot \delta \)の中の少なくとも1つが偽になることが保証されます。なぜなら、仮にこれらがすべて真である場合、破壊的ジレンマ\(\left( 1\right) \)より\(\lnot \alpha \vee \lnot \psi \)が真であることが導き出されますが、これは\(\lnot \alpha \vee \lnot\psi \)が偽であることと矛盾するからです。

例(破壊的ジレンマ)
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) ,R\left(x\right) ,S\left( x\right) \)を任意に選びます。命題関数は論理式であるため、破壊的ジレンマより、\begin{equation*}P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) ,\ R\left( x\right)
\rightarrow S\left( x\right) ,\ \lnot Q\left( x\right) \vee \lnot S\left(
x\right) \ \models \ \lnot P\left( x\right) \vee \lnot R\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \)と\(R\left( x\right) \rightarrow S\left( x\right) と \lnot Q\left( x\right) \vee \lnot S\left( x\right) \)がいずれも真である場合には\(\lnot P\left( x\right) \vee \lnot R\left( x\right) \)は真になります。同時にこれは、\(\lnot P\left( x\right) \vee \lnot R\left(x\right) \)が偽である場合には\(P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \)または\(R\left( x\right) \rightarrow S\left( x\right) \)または\(\lnot Q\left( x\right) \vee \lnot S\left( x\right) \)の中の少なくとも1つが偽であることを意味します。

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録