構成的証明
変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)が与えられたとき、存在導入より、\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、上の主張中の\(c\)は論理式\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると、真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号です。したがって、変数\(x\)がとり得る「具体的な」値\(x_{i}\in X\)についても、存在導入のもとでは、\begin{equation*}A\left( x_{i}\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実はどのような意味において有用なのでしょうか。
変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)に関する存在命題\begin{equation}\exists x\in X:A\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを証明しようとしている状況を想定します。先の議論より、\begin{equation}
A\left( x_{i}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が真になるような値\(x_{i}\in X\)を具体的に提示すれば\(\left( 1\right) \)が成り立つことを示したことになるため、\(\left( 1\right) \)のかわりに\(\left( 2\right) \)が真になるような値\(x_{i}\in X\)を具体的に提示しても構いません。このような証明法を構成法（construction）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つことを示す代わりに、構成法より、\begin{equation*}
P\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が真になるような値\(x_{i}\in X\)を具体的に提示しても構いません。
\end{equation*}を導入します。以下の主張\begin{equation*}
\exists x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標であるため、構成法より、\begin{equation*}
P\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が真になるような値\(x_{i}\in X\)を具体的に提示しても構いません。つまり、地球の大気圏の外に存在している生命体を具体的に提示すれば証明が完了します。
\end{equation*}が成り立つことを示す代わりに、構成法より、\begin{equation*}
P\left( x_{i},y_{i}\right)
\end{equation*}が真になるような値\(x_{i}\in X\)および\(y_{i}\in Y\)を具体的に提示しても構いません。
pq\in \mathbb{Q} \end{equation*}が真になるような2つの有理数\(p,q\in \mathbb{R} \)を具体的に提示しても構いません。実際、\begin{eqnarray*}p &=&\sqrt{2} \\
q &=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}に注目したとき、\(p\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)かつ\(q\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)であるとともに、\begin{eqnarray*}pq &=&\sqrt{2}\sqrt{2} \\
&=&2 \\
&\in &\mathbb{Q} \end{eqnarray*}が成り立つため、構成法より証明が完了しました。
\end{equation*}が成り立つことを示す代わりに、構成法より、\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x,y_{i}\right)
\end{equation*}が真になるような値\(y_{i}\in Y\)を具体的に提示しても構いません。
\end{equation*}を満たす実数\(x\in \mathbb{R} \)が存在することを示します。以上の主張を定式化すると、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall b\in \mathbb{R} ,\ \exists x\in \mathbb{R} :ax+b=0
\end{equation*}となります。構成法より、\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall b\in \mathbb{R} ,\ ax_{i}+b=0
\end{equation*}を満たす\(x_{i}\in \mathbb{R} \)を具体的に提示しても構いません。そこで、以下の具体的な実数\begin{equation*}x_{i}=-\frac{b}{a}\in \mathbb{R} \end{equation*}に注目すると、任意の\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)および\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}ax_{i}+b &=&a\left( -\frac{b}{a}\right) +b \\
&=&-b+b \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
演習問題
\end{equation*}という形で表されるものが存在することを構成的証明によって示してください。
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