論理式 A,B について、A→B と ¬B がともに真であるような任意の解釈において ¬A は必ず真になります。これは後件否定やモーダストレンスと呼ばれる推論規則です。
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後件否定

以下の命題が成り立ちます。

命題(後件否定)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\right) \wedge \lnot B\ \Rightarrow \ \lnot A
\end{equation*}
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上の命題より、任意の論理式\(A\)に関して以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ \lnot B\ \models \ \lnot A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\rightarrow B\)と\(\lnot B\)がともに真であるような任意の解釈において\(\lnot A\)は必ず真になります。これは後件否定(denying the consequent)やモーダストレンス(modus tollens)と呼ばれる推論規則です。

例(後件否定)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&x\text{が犬ならば吠える} \\
&&x\text{は吠えない} \\
&&\text{したがって、}x\text{は犬ではない}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域はすべての生き物からなる集合であるものとします。さらに命題関数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は犬である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は吠える}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) ,\ \lnot Q\left( x\right) \ \therefore \ \lnot P\left( x\right)
\end{equation*}と定式化されます。後件否定よりこれは妥当な推論です。

次回は選言三段論法と呼ばれる推論規則について学びます。

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