論理式\(A,B\)に対して、\(B\rightarrow A\)を含意\(A\rightarrow B\)の逆と呼び、\(\lnot A\rightarrow \lnot B\)を\(A\rightarrow B\)の裏と呼び、\(\lnot B\rightarrow \lnot A\)を\(A\rightarrow B\)の対偶と呼びます。含意とその対偶は同値であり、含意の逆と裏は同値です。
    対偶
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逆・裏・対偶

論理式\(A,B\)に対して、\(B\rightarrow A\)を含意\(A\rightarrow B\)の(converse)と呼び、\(\lnot A\rightarrow \lnot B\)を\(A\rightarrow B\)の(inverse)と呼び、\(\lnot B\rightarrow \lnot A\)を\(A\rightarrow B\)の対偶(contraposition)と呼びます。

 

対偶律

含意とその対偶は同値であり、含意の逆と裏は同値です。

命題(逆・裏・対偶)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\rightarrow B\ \Leftrightarrow \ \lnot B\rightarrow \lnot A \\
& \left( b\right) \ B\rightarrow A\ \Leftrightarrow \ \lnot A\rightarrow \lnot B
\end{align*}
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\(B\)が偽である場合に\(A\)が偽であることを示すことができれば、対偶律より、\(A\)が真である場合に\(B\)が真であることも示されたものとみなすことができます。この考え方は対偶法と呼ばれる証明方法の根拠になることを後に解説します。

次回は量化と否定の関係について学びます。

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