逆・裏・対偶
論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}B\rightarrow A
\end{equation*}を含意\(A\rightarrow B\)の逆（converse）と呼び、\begin{equation*}\lnot A\rightarrow \lnot B
\end{equation*}を\(A\rightarrow B\)の裏（inverse）と呼び、\begin{equation*}\lnot B\rightarrow \lnot A
\end{equation*}を\(A\rightarrow B\)の対偶（contraposition）と呼びます。
Q\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}と定義すると、\begin{equation*}
P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) :x\text{が}4\text{の倍数であるならば偶数である}
\end{equation*}となります。逆、裏、対偶はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
Q\left( x\right) &\rightarrow &P\left( x\right) :x\text{が偶数であるならば}4\text{の倍数である} \\
\lnot P\left( x\right) &\rightarrow &\lnot Q\left( x\right) :x\text{が}4\text{の倍数でなければ偶数ではない} \\
\lnot Q\left( x\right) &\rightarrow &\lnot P\left( x\right) :x\text{が偶数でなければ}4\text{の倍数ではない}
\end{eqnarray*}などとなります。
\right)
\end{equation*}の逆、裏、対偶はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
\text{逆} &:&\left( Q\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \right)
\rightarrow P\left( x\right) \\
\text{裏} &:&\lnot P\left( x\right) \rightarrow \lnot \left( Q\left(
x\right) \wedge R\left( x\right) \right) \\
\text{対偶} &:&\lnot \left( Q\left( x\right) \wedge R\left(
x\right) \right) \rightarrow \lnot P\left( x\right)
\end{eqnarray*}となります。ド・モルガンの法則より、\begin{equation*}
\lnot \left( Q\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \lnot Q\left( x\right) \vee \lnot R\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、裏および対偶を、\begin{eqnarray*}
\text{裏} &:&\lnot P\left( x\right) \rightarrow \lnot Q\left( x\right)
\vee \lnot R\left( x\right) \\
\text{対偶} &:&\lnot Q\left( x\right) \vee \lnot R\left(
x\right) \rightarrow \lnot P\left( x\right)
\end{eqnarray*}と表すこともできます。
対偶律
論理式\(A,B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)でそれぞれ表記します。すると命題論理における対偶律より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \overline{A}\rightarrow \overline{B}\Leftrightarrow
\lnot \overline{B}\rightarrow \lnot \overline{A} \\
&&\left( b\right) \ \overline{B}\rightarrow \overline{A}\Leftrightarrow
\lnot \overline{A}\rightarrow \lnot \overline{B}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\rightarrow B\Leftrightarrow \lnot B\rightarrow \lnot A
\\
&&\left( b\right) \ B\rightarrow A\Leftrightarrow \lnot A\rightarrow \lnot B
\end{eqnarray*}がともに成り立つことが示されました。つまり、述語論理においても対偶律（law of contraposition）が成り立つということです。
\\
&&\left( b\right) \ B\rightarrow A\Leftrightarrow \lnot A\rightarrow \lnot B
\end{eqnarray*}が成り立つ。
上の命題は、含意\(A\rightarrow B\)とその対偶が論理的に同値であること、含意\(A\rightarrow B\)の逆と裏が論理的に同値であるという主張です。
\Leftrightarrow \lnot Q\left( x\right) \rightarrow \lnot P\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ Q\left( x\right) \rightarrow P\left( x\right)
\Leftrightarrow \lnot P\left( x\right) \rightarrow \lnot Q\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
量化と対偶律
対偶律を踏まえると、全称命題や存在命題に関して以下が成り立ちます。
\Leftrightarrow \forall x\in X:\left( \lnot B\rightarrow \lnot A\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists x\in X:\left( A\rightarrow B\right)
\Leftrightarrow \exists x\in X:\left( \lnot B\rightarrow \lnot A\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
Q\left( x\right) \right) \Leftrightarrow \forall x\in X:\left( \lnot Q\left(
x\right) \rightarrow \lnot P\left( x\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ \exists x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow
Q\left( x\right) \right) \Leftrightarrow \exists x\in X:\left( \lnot Q\left(
x\right) \rightarrow \lnot P\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation}となりますが、先の命題より、この論理式は、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{Z} :\left( \lnot \left( x\text{は奇数}\right) \rightarrow
\lnot \left( 7x+9\text{は偶数}\right) \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{Z} :\left( x\text{は偶数}\rightarrow 7x+9\text{は奇数}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と論理的に同値です。偶数であるような整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選びます。偶数の定義より、何らかの整数\(a\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}x=2a
\end{equation*}と表すことができます。このとき、\begin{eqnarray*}
7x+9 &=&7\left( 2a\right) +9 \\
&=&14a+9 \\
&=&2\left( 7a+4\right) +1
\end{eqnarray*}となり、これは奇数であるため\(\left( 2\right) \)が真であることが示されました。したがって、\(\left( 2\right) \)と論理的に同値である\(\left( 1\right) \)もまた真です。
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